Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumcube Unicode version

Theorem fsumcube 26010
Description: Express the sum of cubes in closed terms. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsumcube  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
Distinct variable group:    T, k

Proof of Theorem fsumcube
StepHypRef Expression
1 3nn0 10195 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 fsumkthpow 26006 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  T  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T ) ( k ^ 3 )  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0 ) )  /  ( 3  +  1 ) ) )
31, 2mpan 652 . 2  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly 
0 ) )  / 
( 3  +  1 ) ) )
4 df-4 10016 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
54oveq1i 6050 . . . . 5  |-  ( 4 BernPoly  ( T  +  1
) )  =  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  + 
1 ) )
64oveq1i 6050 . . . . 5  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0 )
75, 6oveq12i 6052 . . . 4  |-  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1
) )  -  (
( 3  +  1 ) BernPoly  0 ) )
87, 4oveq12i 6052 . . 3  |-  ( ( ( 4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0
) )  /  4
)  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0
) )  /  (
3  +  1 ) )
9 nn0cn 10187 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  NN0  ->  T  e.  CC )
10 peano2cn 9194 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T  +  1 )  e.  CC )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( T  +  1 )  e.  CC )
12 bpoly4 26009 . . . . . . 7  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( 4 BernPoly  ( T  +  1
) )  =  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
14 4nn 10091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
15 0exp 11370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  e.  NN  ->  (
0 ^ 4 )  =  0 )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 ^ 4 )  =  0
17 3nn 10090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  NN
18 0exp 11370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
2019oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) )  =  ( 2  x.  0 )
21 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
2221mul01i 9212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
2320, 22eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) )  =  0
2416, 23oveq12i 6052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  =  ( 0  -  0 )
25 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
2625subid1i 9328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  -  0 )  =  0
2724, 26eqtri 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  =  0
28 sq0 11428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
2927, 28oveq12i 6052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  =  ( 0  +  0 )
30 00id 9197 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  0 )  =  0
3129, 30eqtri 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  =  0
3231oveq1i 6050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  (
2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( 0  -  ( 1  / ; 3 0 ) )
33 bpoly4 26009 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
4 BernPoly  0 )  =  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
3425, 33ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )
35 df-neg 9250 . . . . . . . 8  |-  -u (
1  / ; 3 0 )  =  ( 0  -  (
1  / ; 3 0 ) )
3632, 34, 353eqtr4i 2434 . . . . . . 7  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  -u ( 1  / ; 3 0 )
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( 4 BernPoly 
0 )  =  -u ( 1  / ; 3 0 ) )
3813, 37oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  -  -u (
1  / ; 3 0 ) ) )
39 4nn0 10196 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN0
40 expcl 11354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  e.  CC )
4139, 40mpan2 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 4 )  e.  CC )
42 expcl 11354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( T  + 
1 ) ^ 3 )  e.  CC )
431, 42mpan2 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 3 )  e.  CC )
44 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) )  e.  CC )
4521, 43, 44sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) )  e.  CC )
4641, 45subcld 9367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  e.  CC )
47 sqcl 11399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
4846, 47addcld 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4910, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
509, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  e.  CC )
51 0nn0 10192 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
521, 51deccl 10352 . . . . . . . . 9  |- ; 3 0  e.  NN0
5352nn0cni 10189 . . . . . . . 8  |- ; 3 0  e.  CC
5452nn0rei 10188 . . . . . . . . 9  |- ; 3 0  e.  RR
55 10pos 10048 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  10
5617, 51, 51, 55declti 10363 . . . . . . . . 9  |-  0  < ; 3
0
5754, 56gt0ne0ii 9519 . . . . . . . 8  |- ; 3 0  =/=  0
5853, 57reccli 9700 . . . . . . 7  |-  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC
59 subcl 9261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  e.  CC )
6050, 58, 59sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  e.  CC )
61 subneg 9306 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  e.  CC  /\  (
1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  -  -u ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
6260, 58, 61sylancl 644 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  -  -u ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
63 npcan 9270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
6449, 58, 63sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
659, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
66 2p2e4 10054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  2 )  =  4
6766eqcomi 2408 . . . . . . . . . 10  |-  4  =  ( 2  +  2 )
6867oveq2i 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  =  ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )
69 df-3 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
7069oveq2i 6051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 ) ^ 3 )  =  ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  1 ) )
7170oveq2i 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) )  =  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) )
7268, 71oveq12i 6052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )
7372oveq1i 6050 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )
74 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
75 expadd 11377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
7674, 74, 75mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
77 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
78 expadd 11377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) )
7974, 77, 78mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) )
8079oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )
8176, 80oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
8210, 81syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
8310sqcld 11476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
8483mulid1d 9061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )
8584eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )
8682, 85oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
8710exp1d 11473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 1 )  =  ( T  + 
1 ) )
8887oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) )  =  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )
8988oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )
9089oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
9187, 10eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 1 )  e.  CC )
92 mul12 9188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) )  =  ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )
9321, 92mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) )  =  ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )
9483, 91, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )
9594oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
96 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( T  +  1
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )
9721, 10, 96sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )
9883, 83, 97subdid 9445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
9990, 95, 983eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
10099oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
10183, 97subcld 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  e.  CC )
102 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
103 adddi 9035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) ) )
104102, 103mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) ) )
10583, 101, 104syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
106100, 105eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) ) )
107 adddi 9035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  T  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
10821, 102, 107mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
10921mulid1i 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
110109oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  2 )
111108, 110syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  2 ) )
112111oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  T )  +  2 )  - 
1 ) )
113 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 2  x.  T
)  e.  CC )
11421, 113mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  T )  e.  CC )
115 addsubass 9271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  T
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
11621, 102, 115mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  T )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
117114, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
118 2m1e1 10051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  -  1 )  =  1
119118oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 )
120117, 119syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )
121112, 120eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )
122121oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
123 subsub 9287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )
124102, 123mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )
12583, 97, 124syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )
126 binom21 11452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 ) )
127 sqcl 11399 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T ^ 2 )  e.  CC )
128 addass 9033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  T
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T
) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
129102, 128mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  T
)  e.  CC )  ->  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
130127, 114, 129syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T ^
2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
131126, 130eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
132131oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
133 peano2cn 9194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  T )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  T
)  +  1 )  e.  CC )
134114, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  T
)  +  1 )  e.  CC )
135127, 134pncand 9368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T ^
2 )  +  ( ( 2  x.  T
)  +  1 ) )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( T ^
2 ) )
136132, 135eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( T ^
2 ) )
137122, 125, 1363eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 )  =  ( T ^
2 ) )
138137oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( T ^ 2 ) ) )
13983, 127mulcomd 9065 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( T ^ 2 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
140106, 138, 1393eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
14186, 140eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
1429, 141syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14373, 142syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14465, 143eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14538, 62, 1443eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
146145oveq1d 6055 . . 3  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( 4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0
) )  /  4
)  =  ( ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
1478, 146syl5eqr 2450 . 2  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0
) )  /  (
3  +  1 ) )  =  ( ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
1483, 147eqtrd 2436 1  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007   NN0cn0 10177  ;cdc 10338   ...cfz 10999   ^cexp 11337   sum_csu 12434   BernPoly cbp 25996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-pred 25382  df-bpoly 25997
  Copyright terms: Public domain W3C validator