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Theorem fsumcube 30027
Description: Express the sum of cubes in closed terms. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsumcube  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
Distinct variable group:    T, k

Proof of Theorem fsumcube
StepHypRef Expression
1 3nn0 10834 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 fsumkthpow 30023 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  T  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T ) ( k ^ 3 )  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0 ) )  /  ( 3  +  1 ) ) )
31, 2mpan 670 . 2  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly 
0 ) )  / 
( 3  +  1 ) ) )
4 df-4 10617 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
54oveq1i 6306 . . . . 5  |-  ( 4 BernPoly  ( T  +  1
) )  =  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  + 
1 ) )
64oveq1i 6306 . . . . 5  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0 )
75, 6oveq12i 6308 . . . 4  |-  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1
) )  -  (
( 3  +  1 ) BernPoly  0 ) )
87, 4oveq12i 6308 . . 3  |-  ( ( ( 4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0
) )  /  4
)  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0
) )  /  (
3  +  1 ) )
9 nn0cn 10826 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  NN0  ->  T  e.  CC )
10 peano2cn 9769 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T  +  1 )  e.  CC )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( T  +  1 )  e.  CC )
12 bpoly4 30026 . . . . . . 7  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( 4 BernPoly  ( T  +  1
) )  =  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
14 4nn 10716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
15 0exp 12204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  e.  NN  ->  (
0 ^ 4 )  =  0 )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 ^ 4 )  =  0
17 3nn 10715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  NN
18 0exp 12204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
2019oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) )  =  ( 2  x.  0 )
21 2t0e0 10712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
2220, 21eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) )  =  0
2316, 22oveq12i 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  =  ( 0  -  0 )
24 0m0e0 10666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  -  0 )  =  0
2523, 24eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  =  0
26 sq0 12262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
2725, 26oveq12i 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  =  ( 0  +  0 )
28 00id 9772 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2927, 28eqtri 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  =  0
3029oveq1i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  (
2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( 0  -  ( 1  / ; 3 0 ) )
31 0cn 9605 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
32 bpoly4 30026 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
4 BernPoly  0 )  =  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )
34 df-neg 9827 . . . . . . . 8  |-  -u (
1  / ; 3 0 )  =  ( 0  -  (
1  / ; 3 0 ) )
3530, 33, 343eqtr4i 2496 . . . . . . 7  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  -u ( 1  / ; 3 0 )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( 4 BernPoly 
0 )  =  -u ( 1  / ; 3 0 ) )
3713, 36oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  -  -u (
1  / ; 3 0 ) ) )
38 4nn0 10835 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN0
39 expcl 12187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  e.  CC )
4038, 39mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 4 )  e.  CC )
41 2cn 10627 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
42 expcl 12187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( T  + 
1 ) ^ 3 )  e.  CC )
431, 42mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 3 )  e.  CC )
44 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) )  e.  CC )
4541, 43, 44sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) )  e.  CC )
4640, 45subcld 9950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  e.  CC )
47 sqcl 12233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
4846, 47addcld 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4910, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
509, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  e.  CC )
51 0nn0 10831 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
521, 51deccl 11014 . . . . . . . . 9  |- ; 3 0  e.  NN0
5352nn0cni 10828 . . . . . . . 8  |- ; 3 0  e.  CC
5452nn0rei 10827 . . . . . . . . 9  |- ; 3 0  e.  RR
55 10pos 10659 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  10
5617, 51, 51, 55declti 11025 . . . . . . . . 9  |-  0  < ; 3
0
5754, 56gt0ne0ii 10110 . . . . . . . 8  |- ; 3 0  =/=  0
5853, 57reccli 10295 . . . . . . 7  |-  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC
59 subcl 9838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  e.  CC )
6050, 58, 59sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  e.  CC )
61 subneg 9887 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  e.  CC  /\  (
1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  -  -u ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
6260, 58, 61sylancl 662 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  -  -u ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
63 npcan 9848 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
6449, 58, 63sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
659, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
66 2p2e4 10674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  2 )  =  4
6766eqcomi 2470 . . . . . . . . . 10  |-  4  =  ( 2  +  2 )
6867oveq2i 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  =  ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )
69 df-3 10616 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
7069oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 ) ^ 3 )  =  ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  1 ) )
7170oveq2i 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) )  =  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) )
7268, 71oveq12i 6308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )
7372oveq1i 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )
74 2nn0 10833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
75 expadd 12211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
7674, 74, 75mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
77 1nn0 10832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
78 expadd 12211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) )
7974, 77, 78mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) )
8079oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )
8176, 80oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
8210, 81syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
8310sqcld 12311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
8483mulid1d 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )
8584eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )
8682, 85oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
8710exp1d 12308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 1 )  =  ( T  + 
1 ) )
8887oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) )  =  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )
8988oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )
9089oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
9187, 10eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 1 )  e.  CC )
92 mul12 9763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) )  =  ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )
9341, 92mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) )  =  ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )
9483, 91, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )
9594oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
96 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( T  +  1
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )
9741, 10, 96sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )
9883, 83, 97subdid 10033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
9990, 95, 983eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
10099oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
10183, 97subcld 9950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  e.  CC )
102 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
103 adddi 9598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) ) )
104102, 103mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) ) )
10583, 101, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
106100, 105eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) ) )
107 adddi 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  T  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
10841, 102, 107mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
109 2t1e2 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
110109oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  2 )
111108, 110syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  2 ) )
112111oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  T )  +  2 )  - 
1 ) )
113 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 2  x.  T
)  e.  CC )
11441, 113mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  T )  e.  CC )
115 addsubass 9849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  T
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
11641, 102, 115mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  T )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
117114, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
118 2m1e1 10671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  -  1 )  =  1
119118oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 )
120117, 119syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )
121112, 120eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )
122121oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
123 subsub 9868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )
124102, 123mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )
12583, 97, 124syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )
126 binom21 12287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 ) )
127 sqcl 12233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T ^ 2 )  e.  CC )
128 addass 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  T
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T
) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
129102, 128mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  T
)  e.  CC )  ->  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
130127, 114, 129syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T ^
2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
131126, 130eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
132131oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
133 peano2cn 9769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  T )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  T
)  +  1 )  e.  CC )
134114, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  T
)  +  1 )  e.  CC )
135127, 134pncand 9951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T ^
2 )  +  ( ( 2  x.  T
)  +  1 ) )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( T ^
2 ) )
136132, 135eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( T ^
2 ) )
137122, 125, 1363eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 )  =  ( T ^
2 ) )
138137oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( T ^ 2 ) ) )
13983, 127mulcomd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( T ^ 2 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
140106, 138, 1393eqtrd 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
14186, 140eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
1429, 141syl 16 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14373, 142syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14465, 143eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14537, 62, 1443eqtrd 2502 . . . 4  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
146145oveq1d 6311 . . 3  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( 4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0
) )  /  4
)  =  ( ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
1478, 146syl5eqr 2512 . 2  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0
) )  /  (
3  +  1 ) )  =  ( ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
1483, 147eqtrd 2498 1  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   3c3 10607   4c4 10608   NN0cn0 10816  ;cdc 11000   ...cfz 11697   ^cexp 12169   sum_csu 13520   BernPoly cbp 30013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-pred 29461  df-wrecs 29553  df-bpoly 30014
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