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Theorem fsumcube 14113
Description: Express the sum of cubes in closed terms. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsumcube  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
Distinct variable group:    T, k

Proof of Theorem fsumcube
StepHypRef Expression
1 3nn0 10887 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 fsumkthpow 14109 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  T  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T ) ( k ^ 3 )  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0 ) )  /  ( 3  +  1 ) ) )
31, 2mpan 676 . 2  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly 
0 ) )  / 
( 3  +  1 ) ) )
4 df-4 10670 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
54oveq1i 6300 . . . . 5  |-  ( 4 BernPoly  ( T  +  1
) )  =  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  + 
1 ) )
64oveq1i 6300 . . . . 5  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0 )
75, 6oveq12i 6302 . . . 4  |-  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1
) )  -  (
( 3  +  1 ) BernPoly  0 ) )
87, 4oveq12i 6302 . . 3  |-  ( ( ( 4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0
) )  /  4
)  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0
) )  /  (
3  +  1 ) )
9 nn0cn 10879 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  NN0  ->  T  e.  CC )
10 peano2cn 9805 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T  +  1 )  e.  CC )
119, 10syl 17 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( T  +  1 )  e.  CC )
12 bpoly4 14112 . . . . . . 7  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( 4 BernPoly  ( T  +  1
) )  =  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
14 4nn 10769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
15 0exp 12307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  e.  NN  ->  (
0 ^ 4 )  =  0 )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 ^ 4 )  =  0
17 3nn 10768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  NN
18 0exp 12307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
2019oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) )  =  ( 2  x.  0 )
21 2t0e0 10765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
2220, 21eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) )  =  0
2316, 22oveq12i 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  =  ( 0  -  0 )
24 0m0e0 10719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  -  0 )  =  0
2523, 24eqtri 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  =  0
26 sq0 12366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
2725, 26oveq12i 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  =  ( 0  +  0 )
28 00id 9808 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2927, 28eqtri 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  =  0
3029oveq1i 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  (
2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( 0  -  ( 1  / ; 3 0 ) )
31 0cn 9635 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
32 bpoly4 14112 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
4 BernPoly  0 )  =  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )
34 df-neg 9863 . . . . . . . 8  |-  -u (
1  / ; 3 0 )  =  ( 0  -  (
1  / ; 3 0 ) )
3530, 33, 343eqtr4i 2483 . . . . . . 7  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  -u ( 1  / ; 3 0 )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( 4 BernPoly 
0 )  =  -u ( 1  / ; 3 0 ) )
3713, 36oveq12d 6308 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  -  -u (
1  / ; 3 0 ) ) )
38 4nn0 10888 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN0
39 expcl 12290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  e.  CC )
4038, 39mpan2 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 4 )  e.  CC )
41 2cn 10680 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
42 expcl 12290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( T  + 
1 ) ^ 3 )  e.  CC )
431, 42mpan2 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 3 )  e.  CC )
44 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) )  e.  CC )
4541, 43, 44sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) )  e.  CC )
4640, 45subcld 9986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  e.  CC )
47 sqcl 12337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
4846, 47addcld 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4910, 48syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
509, 49syl 17 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  e.  CC )
51 0nn0 10884 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
521, 51deccl 11065 . . . . . . . . 9  |- ; 3 0  e.  NN0
5352nn0cni 10881 . . . . . . . 8  |- ; 3 0  e.  CC
5452nn0rei 10880 . . . . . . . . 9  |- ; 3 0  e.  RR
55 10pos 10712 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  10
5617, 51, 51, 55declti 11076 . . . . . . . . 9  |-  0  < ; 3
0
5754, 56gt0ne0ii 10150 . . . . . . . 8  |- ; 3 0  =/=  0
5853, 57reccli 10337 . . . . . . 7  |-  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC
59 subcl 9874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  e.  CC )
6050, 58, 59sylancl 668 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  e.  CC )
61 subneg 9923 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  e.  CC  /\  (
1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  -  -u ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
6260, 58, 61sylancl 668 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  -  -u ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
63 npcan 9884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
6449, 58, 63sylancl 668 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
659, 64syl 17 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
66 2p2e4 10727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  2 )  =  4
6766eqcomi 2460 . . . . . . . . . 10  |-  4  =  ( 2  +  2 )
6867oveq2i 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  =  ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )
69 df-3 10669 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
7069oveq2i 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 ) ^ 3 )  =  ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  1 ) )
7170oveq2i 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) )  =  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) )
7268, 71oveq12i 6302 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )
7372oveq1i 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )
74 2nn0 10886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
75 expadd 12314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
7674, 74, 75mp3an23 1356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
77 1nn0 10885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
78 expadd 12314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) )
7974, 77, 78mp3an23 1356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) )
8079oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )
8176, 80oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
8210, 81syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
8310sqcld 12414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
8483mulid1d 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )
8584eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )
8682, 85oveq12d 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
8710exp1d 12411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 1 )  =  ( T  + 
1 ) )
8887oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) )  =  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )
8988oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )
9089oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
9187, 10eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 1 )  e.  CC )
92 mul12 9799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) )  =  ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )
9341, 92mp3an1 1351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) )  =  ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )
9483, 91, 93syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )
9594oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
96 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( T  +  1
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )
9741, 10, 96sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )
9883, 83, 97subdid 10074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
9990, 95, 983eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
10099oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
10183, 97subcld 9986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  e.  CC )
102 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
103 adddi 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) ) )
104102, 103mp3an3 1353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) ) )
10583, 101, 104syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
106100, 105eqtr4d 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) ) )
107 adddi 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  T  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
10841, 102, 107mp3an13 1355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
109 2t1e2 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
110109oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  2 )
111108, 110syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  2 ) )
112111oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  T )  +  2 )  - 
1 ) )
113 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 2  x.  T
)  e.  CC )
11441, 113mpan 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  T )  e.  CC )
115 addsubass 9885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  T
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
11641, 102, 115mp3an23 1356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  T )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
117114, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
118 2m1e1 10724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  -  1 )  =  1
119118oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 )
120117, 119syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )
121112, 120eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )
122121oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
123 subsub 9904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )
124102, 123mp3an3 1353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )
12583, 97, 124syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )
126 binom21 12390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 ) )
127 sqcl 12337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T ^ 2 )  e.  CC )
128 addass 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  T
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T
) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
129102, 128mp3an3 1353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  T
)  e.  CC )  ->  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
130127, 114, 129syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T ^
2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
131126, 130eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
132131oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
133 peano2cn 9805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  T )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  T
)  +  1 )  e.  CC )
134114, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  T
)  +  1 )  e.  CC )
135127, 134pncand 9987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T ^
2 )  +  ( ( 2  x.  T
)  +  1 ) )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( T ^
2 ) )
136132, 135eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( T ^
2 ) )
137122, 125, 1363eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 )  =  ( T ^
2 ) )
138137oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( T ^ 2 ) ) )
13983, 127mulcomd 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( T ^ 2 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
140106, 138, 1393eqtrd 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
14186, 140eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
1429, 141syl 17 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14373, 142syl5eq 2497 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14465, 143eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14537, 62, 1443eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
146145oveq1d 6305 . . 3  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( 4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0
) )  /  4
)  =  ( ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
1478, 146syl5eqr 2499 . 2  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0
) )  /  (
3  +  1 ) )  =  ( ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
1483, 147eqtrd 2485 1  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1444    e. wcel 1887  (class class class)co 6290   CCcc 9537   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   NN0cn0 10869  ;cdc 11051   ...cfz 11784   ^cexp 12272   sum_csu 13752   BernPoly cbp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-bpoly 14100
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