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Theorem fsumcube 14190
Description: Express the sum of cubes in closed terms. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsumcube  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
Distinct variable group:    T, k

Proof of Theorem fsumcube
StepHypRef Expression
1 3nn0 10911 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 fsumkthpow 14186 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  T  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T ) ( k ^ 3 )  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0 ) )  /  ( 3  +  1 ) ) )
31, 2mpan 684 . 2  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly 
0 ) )  / 
( 3  +  1 ) ) )
4 df-4 10692 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
54oveq1i 6318 . . . . 5  |-  ( 4 BernPoly  ( T  +  1
) )  =  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  + 
1 ) )
64oveq1i 6318 . . . . 5  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0 )
75, 6oveq12i 6320 . . . 4  |-  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1
) )  -  (
( 3  +  1 ) BernPoly  0 ) )
87, 4oveq12i 6320 . . 3  |-  ( ( ( 4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0
) )  /  4
)  =  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0
) )  /  (
3  +  1 ) )
9 nn0cn 10903 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  NN0  ->  T  e.  CC )
10 peano2cn 9823 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T  +  1 )  e.  CC )
119, 10syl 17 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( T  +  1 )  e.  CC )
12 bpoly4 14189 . . . . . . 7  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( 4 BernPoly  ( T  +  1
) )  =  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
14 4nn 10792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
15 0exp 12345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  e.  NN  ->  (
0 ^ 4 )  =  0 )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 ^ 4 )  =  0
17 3nn 10791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  NN
18 0exp 12345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
2019oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) )  =  ( 2  x.  0 )
21 2t0e0 10788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
2220, 21eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) )  =  0
2316, 22oveq12i 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  =  ( 0  -  0 )
24 0m0e0 10741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  -  0 )  =  0
2523, 24eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  =  0
26 sq0 12404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
2725, 26oveq12i 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  =  ( 0  +  0 )
28 00id 9826 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2927, 28eqtri 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  =  0
3029oveq1i 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  (
2  x.  ( 0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( 0  -  ( 1  / ; 3 0 ) )
31 0cn 9653 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
32 bpoly4 14189 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
4 BernPoly  0 )  =  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  ( ( ( ( 0 ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
0 ^ 3 ) ) )  +  ( 0 ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )
34 df-neg 9883 . . . . . . . 8  |-  -u (
1  / ; 3 0 )  =  ( 0  -  (
1  / ; 3 0 ) )
3530, 33, 343eqtr4i 2503 . . . . . . 7  |-  ( 4 BernPoly 
0 )  =  -u ( 1  / ; 3 0 )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( 4 BernPoly 
0 )  =  -u ( 1  / ; 3 0 ) )
3713, 36oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  -  -u (
1  / ; 3 0 ) ) )
38 4nn0 10912 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN0
39 expcl 12328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  e.  CC )
4038, 39mpan2 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 4 )  e.  CC )
41 2cn 10702 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
42 expcl 12328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( T  + 
1 ) ^ 3 )  e.  CC )
431, 42mpan2 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 3 )  e.  CC )
44 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) )  e.  CC )
4541, 43, 44sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) )  e.  CC )
4640, 45subcld 10005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  e.  CC )
47 sqcl 12375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
4846, 47addcld 9680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4910, 48syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
509, 49syl 17 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  e.  CC )
51 0nn0 10908 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
521, 51deccl 11088 . . . . . . . . 9  |- ; 3 0  e.  NN0
5352nn0cni 10905 . . . . . . . 8  |- ; 3 0  e.  CC
5452nn0rei 10904 . . . . . . . . 9  |- ; 3 0  e.  RR
55 10pos 10734 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  10
5617, 51, 51, 55declti 11099 . . . . . . . . 9  |-  0  < ; 3
0
5754, 56gt0ne0ii 10171 . . . . . . . 8  |- ; 3 0  =/=  0
5853, 57reccli 10359 . . . . . . 7  |-  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC
59 subcl 9894 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  e.  CC )
6050, 58, 59sylancl 675 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  e.  CC )
61 subneg 9943 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  e.  CC  /\  (
1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  -  -u ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
6260, 58, 61sylancl 675 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  -  -u ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) ) )
63 npcan 9904 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( 1  / ; 3 0 )  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
6449, 58, 63sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
659, 64syl 17 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
4 )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
66 2p2e4 10750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  2 )  =  4
6766eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10  |-  4  =  ( 2  +  2 )
6867oveq2i 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  =  ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )
69 df-3 10691 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
7069oveq2i 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  +  1 ) ^ 3 )  =  ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  1 ) )
7170oveq2i 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) )  =  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) )
7268, 71oveq12i 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )
7372oveq1i 6318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )
74 2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
75 expadd 12352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
7674, 74, 75mp3an23 1382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
77 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
78 expadd 12352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) )
7974, 77, 78mp3an23 1382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) )
8079oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )
8176, 80oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
8210, 81syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 2  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
8310sqcld 12452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
8483mulid1d 9678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )
8584eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )
8682, 85oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
8710exp1d 12449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 1 )  =  ( T  + 
1 ) )
8887oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) )  =  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )
8988oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )
9089oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
9187, 10eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 1 )  e.  CC )
92 mul12 9817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) )  =  ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )
9341, 92mp3an1 1377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) )  =  ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )
9483, 91, 93syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) )
9594oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 1 ) ) ) ) )
96 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( T  +  1
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )
9741, 10, 96sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )
9883, 83, 97subdid 10095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
9990, 95, 983eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 1 ) ) ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) ) ) )
10099oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
10183, 97subcld 10005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  e.  CC )
102 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
103 adddi 9646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) ) )
104102, 103mp3an3 1379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) ) )
10583, 101, 104syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  x.  1 ) ) )
106100, 105eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) ) )
107 adddi 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  T  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
10841, 102, 107mp3an13 1381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
109 2t1e2 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
110109oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  2 )
111108, 110syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  ( T  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  2 ) )
112111oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  T )  +  2 )  - 
1 ) )
113 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 2  x.  T
)  e.  CC )
11441, 113mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  (
2  x.  T )  e.  CC )
115 addsubass 9905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  T
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
11641, 102, 115mp3an23 1382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  T )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
117114, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) ) )
118 2m1e1 10746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  -  1 )  =  1
119118oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  T )  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 )
120117, 119syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  T )  +  2 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )
121112, 120eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )
122121oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
123 subsub 9924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )
124102, 123mp3an3 1379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )
12583, 97, 124syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( T  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 ) )
126 binom21 12428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 ) )
127 sqcl 12375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T ^ 2 )  e.  CC )
128 addass 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  T
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T
) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
129102, 128mp3an3 1379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  x.  T
)  e.  CC )  ->  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
130127, 114, 129syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T ^
2 )  +  ( 2  x.  T ) )  +  1 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
131126, 130eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( T  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
132131oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( ( ( T ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) ) )
133 peano2cn 9823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  T )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  T
)  +  1 )  e.  CC )
134114, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 2  x.  T
)  +  1 )  e.  CC )
135127, 134pncand 10006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T ^
2 )  +  ( ( 2  x.  T
)  +  1 ) )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( T ^
2 ) )
136132, 135eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  T )  +  1 ) )  =  ( T ^
2 ) )
137122, 125, 1363eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( T  +  1 ) ) )  +  1 )  =  ( T ^
2 ) )
138137oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( T  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( T ^ 2 ) ) )
13983, 127mulcomd 9682 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( T  + 
1 ) ^ 2 )  x.  ( T ^ 2 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
140106, 138, 1393eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^
1 ) ) ) )  +  ( ( ( T  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
14186, 140eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  +  1 ) ^ ( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
1429, 141syl 17 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ (
2  +  2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
( 2  +  1 ) ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14373, 142syl5eq 2517 . . . . . 6  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( T  + 
1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  ( ( T  +  1 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14465, 143eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( T  +  1 ) ^ 4 )  -  ( 2  x.  (
( T  +  1 ) ^ 3 ) ) )  +  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  -  ( 1  / ; 3 0 ) )  +  ( 1  / ; 3 0 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14537, 62, 1443eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( 4 BernPoly  ( T  + 
1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0 ) )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
146145oveq1d 6323 . . 3  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( 4 BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( 4 BernPoly  0
) )  /  4
)  =  ( ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
1478, 146syl5eqr 2519 . 2  |-  ( T  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 3  +  1 ) BernPoly  ( T  +  1 ) )  -  ( ( 3  +  1 ) BernPoly  0
) )  /  (
3  +  1 ) )  =  ( ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
1483, 147eqtrd 2505 1  |-  ( T  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... T
) ( k ^
3 )  =  ( ( ( T ^
2 )  x.  (
( T  +  1 ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1452    e. wcel 1904  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   3c3 10682   4c4 10683   NN0cn0 10893  ;cdc 11074   ...cfz 11810   ^cexp 12310   sum_csu 13829   BernPoly cbp 14176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-bpoly 14177
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