Proof of Theorem fsumcube
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 3nn0 10887 |
. . 3
 |
2 | | fsumkthpow 14109 |
. . 3
 
                BernPoly       BernPoly        |
3 | 1, 2 | mpan 676 |
. 2

               BernPoly 
     BernPoly        |
4 | | df-4 10670 |
. . . . . 6
   |
5 | 4 | oveq1i 6300 |
. . . . 5
 BernPoly 
     BernPoly     |
6 | 4 | oveq1i 6300 |
. . . . 5
 BernPoly     BernPoly   |
7 | 5, 6 | oveq12i 6302 |
. . . 4
  BernPoly    
BernPoly       BernPoly 
     BernPoly    |
8 | 7, 4 | oveq12i 6302 |
. . 3
   BernPoly     BernPoly         BernPoly       BernPoly       |
9 | | nn0cn 10879 |
. . . . . . . 8

  |
10 | | peano2cn 9805 |
. . . . . . . 8
 
   |
11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . . . 7

    |
12 | | bpoly4 14112 |
. . . . . . 7
    BernPoly                              ;     |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . . 6

 BernPoly 
                            ;     |
14 | | 4nn 10769 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 |
15 | | 0exp 12307 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
16 | 14, 15 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
     |
17 | | 3nn 10768 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 |
18 | | 0exp 12307 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
       |
19 | 17, 18 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     |
20 | 19 | oveq2i 6301 |
. . . . . . . . . . . . . 14
         |
21 | | 2t0e0 10765 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
22 | 20, 21 | eqtri 2473 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
23 | 16, 22 | oveq12i 6302 |
. . . . . . . . . . . 12
               |
24 | | 0m0e0 10719 |
. . . . . . . . . . . 12
   |
25 | 23, 24 | eqtri 2473 |
. . . . . . . . . . 11
             |
26 | | sq0 12366 |
. . . . . . . . . . 11
     |
27 | 25, 26 | oveq12i 6302 |
. . . . . . . . . 10
                     |
28 | | 00id 9808 |
. . . . . . . . . 10
   |
29 | 27, 28 | eqtri 2473 |
. . . . . . . . 9
                   |
30 | 29 | oveq1i 6300 |
. . . . . . . 8
                    ;     ;    |
31 | | 0cn 9635 |
. . . . . . . . 9
 |
32 | | bpoly4 14112 |
. . . . . . . . 9
  BernPoly                      ;     |
33 | 31, 32 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
 BernPoly                      ;    |
34 | | df-neg 9863 |
. . . . . . . 8
 
;   
;    |
35 | 30, 33, 34 | 3eqtr4i 2483 |
. . . . . . 7
 BernPoly    ;   |
36 | 35 | a1i 11 |
. . . . . 6

 BernPoly    ;    |
37 | 13, 36 | oveq12d 6308 |
. . . . 5

  BernPoly    
BernPoly                              ;    
;     |
38 | | 4nn0 10888 |
. . . . . . . . . . . 12
 |
39 | | expcl 12290 |
. . . . . . . . . . . 12
   
         |
40 | 38, 39 | mpan2 677 |
. . . . . . . . . . 11
           |
41 | | 2cn 10680 |
. . . . . . . . . . . 12
 |
42 | | expcl 12290 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
         |
43 | 1, 42 | mpan2 677 |
. . . . . . . . . . . 12
           |
44 | | mulcl 9623 |
. . . . . . . . . . . 12
                   |
45 | 41, 43, 44 | sylancr 669 |
. . . . . . . . . . 11
             |
46 | 40, 45 | subcld 9986 |
. . . . . . . . . 10
                     |
47 | | sqcl 12337 |
. . . . . . . . . 10
           |
48 | 46, 47 | addcld 9662 |
. . . . . . . . 9
                             |
49 | 10, 48 | syl 17 |
. . . . . . . 8
                           |
50 | 9, 49 | syl 17 |
. . . . . . 7

                          |
51 | | 0nn0 10884 |
. . . . . . . . . 10
 |
52 | 1, 51 | deccl 11065 |
. . . . . . . . 9
;  |
53 | 52 | nn0cni 10881 |
. . . . . . . 8
;  |
54 | 52 | nn0rei 10880 |
. . . . . . . . 9
;  |
55 | | 10pos 10712 |
. . . . . . . . . 10
 |
56 | 17, 51, 51, 55 | declti 11076 |
. . . . . . . . 9
;  |
57 | 54, 56 | gt0ne0ii 10150 |
. . . . . . . 8
;  |
58 | 53, 57 | reccli 10337 |
. . . . . . 7
 ;   |
59 | | subcl 9874 |
. . . . . . 7
                           ;                             ;     |
60 | 50, 58, 59 | sylancl 668 |
. . . . . 6

                          ;     |
61 | | subneg 9923 |
. . . . . 6
                           
;   
;                             
;     ;                             
;    ;     |
62 | 60, 58, 61 | sylancl 668 |
. . . . 5

                           ;     ;                             
;    ;     |
63 | | npcan 9884 |
. . . . . . . 8
                           ;                             
;    ;                             |
64 | 49, 58, 63 | sylancl 668 |
. . . . . . 7
                           
;    ;                             |
65 | 9, 64 | syl 17 |
. . . . . 6

                           ;    ;                             |
66 | | 2p2e4 10727 |
. . . . . . . . . . 11
   |
67 | 66 | eqcomi 2460 |
. . . . . . . . . 10
   |
68 | 67 | oveq2i 6301 |
. . . . . . . . 9
               |
69 | | df-3 10669 |
. . . . . . . . . . 11
   |
70 | 69 | oveq2i 6301 |
. . . . . . . . . 10
               |
71 | 70 | oveq2i 6301 |
. . . . . . . . 9
                   |
72 | 68, 71 | oveq12i 6302 |
. . . . . . . 8
                                     |
73 | 72 | oveq1i 6300 |
. . . . . . 7
                                                     |
74 | | 2nn0 10886 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
75 | | expadd 12314 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
                         |
76 | 74, 74, 75 | mp3an23 1356 |
. . . . . . . . . . . 12
                           |
77 | | 1nn0 10885 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 |
78 | | expadd 12314 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
                         |
79 | 74, 77, 78 | mp3an23 1356 |
. . . . . . . . . . . . 13
                           |
80 | 79 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . . . 12
                               |
81 | 76, 80 | oveq12d 6308 |
. . . . . . . . . . 11
                                                         |
82 | 10, 81 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
                                                       |
83 | 10 | sqcld 12414 |
. . . . . . . . . . . 12
         |
84 | 83 | mulid1d 9660 |
. . . . . . . . . . 11
                 |
85 | 84 | eqcomd 2457 |
. . . . . . . . . 10
                 |
86 | 82, 85 | oveq12d 6308 |
. . . . . . . . 9
                                                                         |
87 | 10 | exp1d 12411 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
           |
88 | 87 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
               |
89 | 88 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                         
     |
90 | 89 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                                               |
91 | 87, 10 | eqeltrd 2529 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
         |
92 | | mul12 9799 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                                                 |
93 | 41, 92 | mp3an1 1351 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                                                 |
94 | 83, 91, 93 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                                   |
95 | 94 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                                                   |
96 | | mulcl 9623 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
  
        |
97 | 41, 10, 96 | sylancr 669 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
98 | 83, 83, 97 | subdid 10074 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                                   |
99 | 90, 95, 98 | 3eqtr4d 2495 |
. . . . . . . . . . . 12
                                                       |
100 | 99 | oveq1d 6305 |
. . . . . . . . . . 11
                                                           
               |
101 | 83, 97 | subcld 9986 |
. . . . . . . . . . . 12
               |
102 | | ax-1cn 9597 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
103 | | adddi 9628 |
. . . . . . . . . . . . 13
                   
                                                       |
104 | 102, 103 | mp3an3 1353 |
. . . . . . . . . . . 12
                                     
                                     |
105 | 83, 101, 104 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . 11
                                       
               |
106 | 100, 105 | eqtr4d 2488 |
. . . . . . . . . 10
                                                           
       |
107 | | adddi 9628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
             |
108 | 41, 102, 107 | mp3an13 1355 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
             |
109 | | 2t1e2 10758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   |
110 | 109 | oveq2i 6301 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
           |
111 | 108, 110 | syl6eq 2501 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
           |
112 | 111 | oveq1d 6305 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
           |
113 | | mulcl 9623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
     |
114 | 41, 113 | mpan 676 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     |
115 | | addsubass 9885 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   
               |
116 | 41, 102, 115 | mp3an23 1356 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                 |
117 | 114, 116 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
               |
118 | | 2m1e1 10724 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   |
119 | 118 | oveq2i 6301 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
           |
120 | 117, 119 | syl6eq 2501 |
. . . . . . . . . . . . . 14
             |
121 | 112, 120 | eqtrd 2485 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
         |
122 | 121 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . . . 12
                             |
123 | | subsub 9904 |
. . . . . . . . . . . . . 14
         
 
          
                    |
124 | 102, 123 | mp3an3 1353 |
. . . . . . . . . . . . 13
         
                                 |
125 | 83, 97, 124 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . . 12
                               |
126 | | binom21 12390 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                   |
127 | | sqcl 12337 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
       |
128 | | addass 9626 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
       
                       |
129 | 102, 128 | mp3an3 1353 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                               |
130 | 127, 114,
129 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                       |
131 | 126, 130 | eqtrd 2485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                   |
132 | 131 | oveq1d 6305 |
. . . . . . . . . . . . 13
                               |
133 | | peano2cn 9805 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
         |
134 | 114, 133 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
135 | 127, 134 | pncand 9987 |
. . . . . . . . . . . . 13
                       |
136 | 132, 135 | eqtrd 2485 |
. . . . . . . . . . . 12
                   |
137 | 122, 125,
136 | 3eqtr3d 2493 |
. . . . . . . . . . 11
                     |
138 | 137 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . 10
                                     |
139 | 83, 127 | mulcomd 9664 |
. . . . . . . . . 10
                           |
140 | 106, 138,
139 | 3eqtrd 2489 |
. . . . . . . . 9
                                                         |
141 | 86, 140 | eqtrd 2485 |
. . . . . . . 8
                                           |
142 | 9, 141 | syl 17 |
. . . . . . 7

                                          |
143 | 73, 142 | syl5eq 2497 |
. . . . . 6

                                      |
144 | 65, 143 | eqtrd 2485 |
. . . . 5

                           ;    ;                 |
145 | 37, 62, 144 | 3eqtrd 2489 |
. . . 4

  BernPoly    
BernPoly                 |
146 | 145 | oveq1d 6305 |
. . 3

   BernPoly     BernPoly                    |
147 | 8, 146 | syl5eqr 2499 |
. 2

     BernPoly       BernPoly                      |
148 | 3, 147 | eqtrd 2485 |
1

                          |