MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumconst Structured version   Unicode version

Theorem fsumconst 13756
Description: The sum of constant terms ( k is not free in  A). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  ( ( # `
 A )  x.  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables  f  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mul02 9792 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  x.  B )  =  0 )
21adantl 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  ->  ( 0  x.  B
)  =  0 )
32eqcomd 2410 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  ->  0  =  ( 0  x.  B ) )
4 sumeq1 13660 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
5 sum0 13692 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
64, 5syl6eq 2459 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  = 
0 )
7 fveq2 5849 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( # `  A )  =  (
# `  (/) ) )
8 hash0 12485 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
97, 8syl6eq 2459 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( # `  A )  =  0 )
109oveq1d 6293 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( (
# `  A )  x.  B )  =  ( 0  x.  B ) )
116, 10eqeq12d 2424 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  A  B  =  ( ( # `  A )  x.  B
)  <->  0  =  ( 0  x.  B ) ) )
123, 11syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  ( ( # `
 A )  x.  B ) ) )
13 eqidd 2403 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  B  =  B )
14 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( # `  A )  e.  NN )
15 simprr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
16 simpllr 761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
17 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  B  e.  CC )
18 elfznn 11768 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  n  e.  NN )
19 fvconst2g 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { B } ) `  n )  =  B )
2017, 18, 19syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( NN  X.  { B } ) `  n )  =  B )
2113, 14, 15, 16, 20fsum 13691 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  (  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { B } ) ) `  ( # `  A ) ) )
22 ser1const 12207 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( # `  A )  e.  NN )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { B } ) ) `
 ( # `  A
) )  =  ( ( # `  A
)  x.  B ) )
2322ad2ant2lr 746 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { B } ) ) `
 ( # `  A
) )  =  ( ( # `  A
)  x.  B ) )
2421, 23eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  ( ( # `  A )  x.  B
) )
2524expr 613 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  B  =  ( ( # `
 A )  x.  B ) ) )
2625exlimdv 1745 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  B  =  ( ( # `  A
)  x.  B ) ) )
2726expimpd 601 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  ( ( # `  A
)  x.  B ) ) )
28 fz1f1o 13681 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
2928adantr 463 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
3012, 27, 29mpjaod 379 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  ( ( # `
 A )  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   (/)c0 3738   {csn 3972    X. cxp 4821   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   CCcc 9520   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527   NNcn 10576   ...cfz 11726    seqcseq 12151   #chash 12452   sum_csu 13657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658
This theorem is referenced by:  o1fsum  13778  hashiun  13787  climcndslem1  13812  climcndslem2  13813  harmonic  13822  mertenslem1  13845  sumhash  14624  cshwshashnsame  14797  lagsubg2  16586  sylow2a  16963  lebnumlem3  21755  uniioombllem4  22287  birthdaylem2  23608  basellem8  23742  0sgm  23799  musum  23848  chtleppi  23866  vmasum  23872  logfac2  23873  chpval2  23874  chpchtsum  23875  chpub  23876  logfaclbnd  23878  dchrsum2  23924  sumdchr2  23926  lgsquadlem1  24010  chebbnd1lem1  24035  chtppilimlem1  24039  dchrmusum2  24060  dchrisum0flblem1  24074  rpvmasum2  24078  dchrisum0lem2a  24083  mudivsum  24096  mulogsumlem  24097  selberglem2  24112  pntlemj  24169  hashclwwlkn  25253  rusgranumwlks  25373  frghash2spot  25480  usgreghash2spotv  25483  usgreghash2spot  25486  numclwwlk6  25530  rrndstprj2  31609  stoweidlem11  37161  stoweidlem26  37176  stoweidlem38  37188  dirkertrigeq  37251  fourierdlem73  37330  etransclem32  37417  nn0mulfsum  38755
  Copyright terms: Public domain W3C validator