Theorem fsumcom 8288

Description: Interchange order of summation. Warning: The HTML proof page is 0.6MB in size.

Assertion

Ref	Expression
fsumcom	|- ((K e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...K)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...K)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...K)A)

Distinct variable groups:   j,m,J   j,K,m   j,M,m   j,N,m

Proof of Theorem fsumcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (k = J -> (J...k) = (J...J))
2	1	raleqdv 2269	. . . . 5 |- (k = J -> (A.j e. (J...k)A.m e. (M...N)A e. CC <-> A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC))
3	2	anbi2d 678	. . . 4 |- (k = J -> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...k)A.m e. (M...N)A e. CC) <-> (N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC)))
4	1	sumeq1d 8250	. . . . 5 |- (k = J -> sum_j e. (J...k)sum_m e. (M...N)A = sum_j e. (J...J)sum_m e. (M...N)A)
5	1	sumeq1d 8250	. . . . . 6 |- (k = J -> sum_j e. (J...k)A = sum_j e. (J...J)A)
6	5	sumeq2sdv 8253	. . . . 5 |- (k = J -> sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...k)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...J)A)
7	4, 6	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (k = J -> (sum_j e. (J...k)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...k)A <-> sum_j e. (J...J)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...J)A))
8	3, 7	imbi12d 688	. . 3 |- (k = J -> (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...k)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...k)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...k)A) <-> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...J)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...J)A)))
9		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (k = n -> (J...k) = (J...n))
10	9	raleqdv 2269	. . . . 5 |- (k = n -> (A.j e. (J...k)A.m e. (M...N)A e. CC <-> A.j e. (J...n)A.m e. (M...N)A e. CC))
11	10	anbi2d 678	. . . 4 |- (k = n -> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...k)A.m e. (M...N)A e. CC) <-> (N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...n)A.m e. (M...N)A e. CC)))
12	9	sumeq1d 8250	. . . . 5 |- (k = n -> sum_j e. (J...k)sum_m e. (M...N)A = sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A)
13	9	sumeq1d 8250	. . . . . 6 |- (k = n -> sum_j e. (J...k)A = sum_j e. (J...n)A)
14	13	sumeq2sdv 8253	. . . . 5 |- (k = n -> sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...k)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A)
15	12, 14	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (k = n -> (sum_j e. (J...k)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...k)A <-> sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A))
16	11, 15	imbi12d 688	. . 3 |- (k = n -> (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...k)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...k)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...k)A) <-> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...n)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A)))
17		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (k = (n + 1) -> (J...k) = (J...(n + 1)))
18	17	raleqdv 2269	. . . . 5 |- (k = (n + 1) -> (A.j e. (J...k)A.m e. (M...N)A e. CC <-> A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC))
19	18	anbi2d 678	. . . 4 |- (k = (n + 1) -> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...k)A.m e. (M...N)A e. CC) <-> (N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC)))
20	17	sumeq1d 8250	. . . . 5 |- (k = (n + 1) -> sum_j e. (J...k)sum_m e. (M...N)A = sum_j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A)
21	17	sumeq1d 8250	. . . . . 6 |- (k = (n + 1) -> sum_j e. (J...k)A = sum_j e. (J...(n + 1))A)
22	21	sumeq2sdv 8253	. . . . 5 |- (k = (n + 1) -> sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...k)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A)
23	20, 22	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (k = (n + 1) -> (sum_j e. (J...k)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...k)A <-> sum_j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A))
24	19, 23	imbi12d 688	. . 3 |- (k = (n + 1) -> (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...k)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...k)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...k)A) <-> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A)))
25		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (k = K -> (J...k) = (J...K))
26	25	raleqdv 2269	. . . . 5 |- (k = K -> (A.j e. (J...k)A.m e. (M...N)A e. CC <-> A.j e. (J...K)A.m e. (M...N)A e. CC))
27	26	anbi2d 678	. . . 4 |- (k = K -> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...k)A.m e. (M...N)A e. CC) <-> (N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...K)A.m e. (M...N)A e. CC)))
28	25	sumeq1d 8250	. . . . 5 |- (k = K -> sum_j e. (J...k)sum_m e. (M...N)A = sum_j e. (J...K)sum_m e. (M...N)A)
29	25	sumeq1d 8250	. . . . . 6 |- (k = K -> sum_j e. (J...k)A = sum_j e. (J...K)A)
30	29	sumeq2sdv 8253	. . . . 5 |- (k = K -> sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...k)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...K)A)
31	28, 30	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (k = K -> (sum_j e. (J...k)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...k)A <-> sum_j e. (J...K)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...K)A))
32	27, 31	imbi12d 688	. . 3 |- (k = K -> (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...k)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...k)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...k)A) <-> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...K)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...K)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...K)A)))
33		simpl 346	. . . . . 6 |- ((J e. ZZ /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC)) -> J e. ZZ)
34		simprl 450	. . . . . 6 |- ((J e. ZZ /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC)) -> N e. (ZZ>=` M))
35		ra4csbela 2587	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. (J...J) /\ A.j e. (J...J)A e. CC) -> [_J / j]_A e. CC)
36		elfz3 7661	. . . . . . . . . . . 12 |- (J e. ZZ -> J e. (J...J))
37	35, 36	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. ZZ /\ A.j e. (J...J)A e. CC) -> [_J / j]_A e. CC)
38	37	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (J e. ZZ -> (A.j e. (J...J)A e. CC -> [_J / j]_A e. CC))
39	38	ralimdv 2172	. . . . . . . . 9 |- (J e. ZZ -> (A.m e. (M...N)A.j e. (J...J)A e. CC -> A.m e. (M...N)[_J / j]_A e. CC))
40	39	imp 377	. . . . . . . 8 |- ((J e. ZZ /\ A.m e. (M...N)A.j e. (J...J)A e. CC) -> A.m e. (M...N)[_J / j]_A e. CC)
41		ralcom 2242	. . . . . . . 8 |- (A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC <-> A.m e. (M...N)A.j e. (J...J)A e. CC)
42	40, 41	sylan2b 501	. . . . . . 7 |- ((J e. ZZ /\ A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC) -> A.m e. (M...N)[_J / j]_A e. CC)
43	42	adantrl 430	. . . . . 6 |- ((J e. ZZ /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC)) -> A.m e. (M...N)[_J / j]_A e. CC)
44		csbfsum 8287	. . . . . 6 |- ((J e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)[_J / j]_A e. CC) -> [_J / j]_sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)[_J / j]_A)
45	33, 34, 43, 44	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((J e. ZZ /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC)) -> [_J / j]_sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)[_J / j]_A)
46		fsum1s 8269	. . . . . 6 |- ((J e. ZZ /\ A.j e. (J...J)sum_m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...J)sum_m e. (M...N)A = [_J / j]_sum_m e. (M...N)A)
47		fsumcl 8275	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_m e. (M...N)A e. CC)
48	47	ex 402	. . . . . . . 8 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (A.m e. (M...N)A e. CC -> sum_m e. (M...N)A e. CC))
49	48	ralimdv 2172	. . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC -> A.j e. (J...J)sum_m e. (M...N)A e. CC))
50	49	imp 377	. . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC) -> A.j e. (J...J)sum_m e. (M...N)A e. CC)
51	46, 50	sylan2 500	. . . . 5 |- ((J e. ZZ /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC)) -> sum_j e. (J...J)sum_m e. (M...N)A = [_J / j]_sum_m e. (M...N)A)
52		fsum1s 8269	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. ZZ /\ A.j e. (J...J)A e. CC) -> sum_j e. (J...J)A = [_J / j]_A)
53	52	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (J e. ZZ -> (A.j e. (J...J)A e. CC -> sum_j e. (J...J)A = [_J / j]_A))
54	53	ralimdv 2172	. . . . . . . . 9 |- (J e. ZZ -> (A.m e. (M...N)A.j e. (J...J)A e. CC -> A.m e. (M...N)sum_j e. (J...J)A = [_J / j]_A))
55	54	imp 377	. . . . . . . 8 |- ((J e. ZZ /\ A.m e. (M...N)A.j e. (J...J)A e. CC) -> A.m e. (M...N)sum_j e. (J...J)A = [_J / j]_A)
56	55	sumeq2d 8251	. . . . . . 7 |- ((J e. ZZ /\ A.m e. (M...N)A.j e. (J...J)A e. CC) -> sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...J)A = sum_m e. (M...N)[_J / j]_A)
57	56, 41	sylan2b 501	. . . . . 6 |- ((J e. ZZ /\ A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...J)A = sum_m e. (M...N)[_J / j]_A)
58	57	adantrl 430	. . . . 5 |- ((J e. ZZ /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC)) -> sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...J)A = sum_m e. (M...N)[_J / j]_A)
59	45, 51, 58	3eqtr4d 1937	. . . 4 |- ((J e. ZZ /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC)) -> sum_j e. (J...J)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...J)A)
60	59	ex 402	. . 3 |- (J e. ZZ -> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...J)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...J)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...J)A))
61		eluzel2 7593	. . . . . . . . . 10 |- (n e. (ZZ>=` J) -> J e. ZZ)
62		eluzelz 7592	. . . . . . . . . 10 |- (n e. (ZZ>=` J) -> n e. ZZ)
63		fzssp1 7679	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. ZZ /\ n e. ZZ) -> (J...n) C_ (J...(n + 1)))
64	61, 62, 63	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (J...n) C_ (J...(n + 1)))
65	64	sseld 2619	. . . . . . . 8 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (j e. (J...n) -> j e. (J...(n + 1))))
66	65	imim1d 33	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>=` J) -> ((j e. (J...(n + 1)) -> A.m e. (M...N)A e. CC) -> (j e. (J...n) -> A.m e. (M...N)A e. CC)))
67	66	ralimdv2 2173	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC -> A.j e. (J...n)A.m e. (M...N)A e. CC))
68	67	anim2d 620	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>=` J) -> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> (N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...n)A.m e. (M...N)A e. CC)))
69	68	imim1d 33	. . . 4 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...n)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A) -> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A)))
70		id 73	. . . . . . . . . 10 |- (sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A -> sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A)
71		simplr 449	. . . . . . . . . . 11 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> N e. (ZZ>=` M))
72		ra4csbela 2587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((n + 1) e. (J...(n + 1)) /\ A.j e. (J...(n + 1))A e. CC) -> [_(n + 1) / j]_A e. CC)
73		peano2uz 7616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (n + 1) e. (ZZ>=` J))
74		eluzfz2 7659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((n + 1) e. (ZZ>=` J) -> (n + 1) e. (J...(n + 1)))
75	73, 74	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (n + 1) e. (J...(n + 1)))
76	72, 75	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((n e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...(n + 1))A e. CC) -> [_(n + 1) / j]_A e. CC)
77	76	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (A.j e. (J...(n + 1))A e. CC -> [_(n + 1) / j]_A e. CC))
78	77	ralimdv 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (A.m e. (M...N)A.j e. (J...(n + 1))A e. CC -> A.m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A e. CC))
79	78	imp 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n e. (ZZ>=` J) /\ A.m e. (M...N)A.j e. (J...(n + 1))A e. CC) -> A.m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A e. CC)
80		ralcom 2242	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC <-> A.m e. (M...N)A.j e. (J...(n + 1))A e. CC)
81	79, 80	sylan2b 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ((n e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> A.m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A e. CC)
82	81	adantlr 429	. . . . . . . . . . 11 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> A.m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A e. CC)
83		oprex 4907	. . . . . . . . . . . 12 |- (n + 1) e. _V
84		csbfsum 8287	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n + 1) e. _V /\ N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A e. CC) -> [_(n + 1) / j]_sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A)
85	83, 84	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A e. CC) -> [_(n + 1) / j]_sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A)
86	71, 82, 85	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> [_(n + 1) / j]_sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A)
87	70, 86	opreqan12rd 4903	. . . . . . . . 9 |- ((((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) /\ sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A) -> (sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A + [_(n + 1) / j]_sum_m e. (M...N)A) = (sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A + sum_m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A))
88	87	anasss 488	. . . . . . . 8 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ (A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC /\ sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A)) -> (sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A + [_(n + 1) / j]_sum_m e. (M...N)A) = (sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A + sum_m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A))
89		simpll 448	. . . . . . . . . 10 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> n e. (ZZ>=` J))
90	48	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) -> (A.m e. (M...N)A e. CC -> sum_m e. (M...N)A e. CC))
91	90	ralimdv 2172	. . . . . . . . . . 11 |- ((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) -> (A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC -> A.j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A e. CC))
92	91	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> A.j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A e. CC)
93		fsump1s 8273	. . . . . . . . . 10 |- ((n e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A = (sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A + [_(n + 1) / j]_sum_m e. (M...N)A))
94	89, 92, 93	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A = (sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A + [_(n + 1) / j]_sum_m e. (M...N)A))
95	94	adantrr 431	. . . . . . . 8 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ (A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC /\ sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A)) -> sum_j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A = (sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A + [_(n + 1) / j]_sum_m e. (M...N)A))
96		fsump1s 8273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((n e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...(n + 1))A e. CC) -> sum_j e. (J...(n + 1))A = (sum_j e. (J...n)A + [_(n + 1) / j]_A))
97	96	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (A.j e. (J...(n + 1))A e. CC -> sum_j e. (J...(n + 1))A = (sum_j e. (J...n)A + [_(n + 1) / j]_A)))
98	97	ralimdv 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (A.m e. (M...N)A.j e. (J...(n + 1))A e. CC -> A.m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A = (sum_j e. (J...n)A + [_(n + 1) / j]_A)))
99	98	imp 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n e. (ZZ>=` J) /\ A.m e. (M...N)A.j e. (J...(n + 1))A e. CC) -> A.m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A = (sum_j e. (J...n)A + [_(n + 1) / j]_A))
100	99	sumeq2d 8251	. . . . . . . . . . . 12 |- ((n e. (ZZ>=` J) /\ A.m e. (M...N)A.j e. (J...(n + 1))A e. CC) -> sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A = sum_m e. (M...N)(sum_j e. (J...n)A + [_(n + 1) / j]_A))
101	100	adantlr 429	. . . . . . . . . . 11 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ A.m e. (M...N)A.j e. (J...(n + 1))A e. CC) -> sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A = sum_m e. (M...N)(sum_j e. (J...n)A + [_(n + 1) / j]_A))
102		simplr 449	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ A.m e. (M...N)A.j e. (J...(n + 1))A e. CC) -> N e. (ZZ>=` M))
103	65	imim1d 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n e. (ZZ>=` J) -> ((j e. (J...(n + 1)) -> A e. CC) -> (j e. (J...n) -> A e. CC)))
104	103	ralimdv2 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (A.j e. (J...(n + 1))A e. CC -> A.j e. (J...n)A e. CC))
105		fsumcl 8275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((n e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...n)A e. CC) -> sum_j e. (J...n)A e. CC)
106	105	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (A.j e. (J...n)A e. CC -> sum_j e. (J...n)A e. CC))
107	104, 106	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (A.j e. (J...(n + 1))A e. CC -> sum_j e. (J...n)A e. CC))
108	107, 77	jcad 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (A.j e. (J...(n + 1))A e. CC -> (sum_j e. (J...n)A e. CC /\ [_(n + 1) / j]_A e. CC)))
109	108	ralimdv 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (A.m e. (M...N)A.j e. (J...(n + 1))A e. CC -> A.m e. (M...N)(sum_j e. (J...n)A e. CC /\ [_(n + 1) / j]_A e. CC)))
110	109	imp 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n e. (ZZ>=` J) /\ A.m e. (M...N)A.j e. (J...(n + 1))A e. CC) -> A.m e. (M...N)(sum_j e. (J...n)A e. CC /\ [_(n + 1) / j]_A e. CC))
111	110	adantlr 429	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ A.m e. (M...N)A.j e. (J...(n + 1))A e. CC) -> A.m e. (M...N)(sum_j e. (J...n)A e. CC /\ [_(n + 1) / j]_A e. CC))
112		fsumadd 8282	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)(sum_j e. (J...n)A e. CC /\ [_(n + 1) / j]_A e. CC)) -> sum_m e. (M...N)(sum_j e. (J...n)A + [_(n + 1) / j]_A) = (sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A + sum_m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A))
113	102, 111, 112	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ A.m e. (M...N)A.j e. (J...(n + 1))A e. CC) -> sum_m e. (M...N)(sum_j e. (J...n)A + [_(n + 1) / j]_A) = (sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A + sum_m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A))
114	101, 113	eqtrd 1925	. . . . . . . . . 10 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ A.m e. (M...N)A.j e. (J...(n + 1))A e. CC) -> sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A = (sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A + sum_m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A))
115	114, 80	sylan2b 501	. . . . . . . . 9 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A = (sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A + sum_m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A))
116	115	adantrr 431	. . . . . . . 8 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ (A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC /\ sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A)) -> sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A = (sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A + sum_m e. (M...N)[_(n + 1) / j]_A))
117	88, 95, 116	3eqtr4d 1937	. . . . . . 7 |- (((n e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ (A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC /\ sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A)) -> sum_j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A)
118	117	exp43 415	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (N e. (ZZ>=` M) -> (A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC -> (sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A -> sum_j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A))))
119	118	imp3a 388	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>=` J) -> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> (sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A -> sum_j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A)))
120	119	a2d 16	. . . 4 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A) -> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A)))
121	69, 120	syld 30	. . 3 |- (n e. (ZZ>=` J) -> (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...n)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...n)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...n)A) -> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...(n + 1))A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...(n + 1))sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...(n + 1))A)))
122	8, 16, 24, 32, 60, 121	uzind4 7619	. 2 |- (K e. (ZZ>=` J) -> ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...K)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...K)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...K)A))
123	122	3impib 1065	1 |- ((K e. (ZZ>=` J) /\ N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (J...K)A.m e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (J...K)sum_m e. (M...N)A = sum_m e. (M...N)sum_j e. (J...K)A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  [_csb 2540   C_ wss 2593  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637  sum_csu 8239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain