Theorem fsumcn 20346

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcn.3	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
fsumcn.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
fsumcn.5	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcn.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcn	|- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, J, x   ph, k, x   k, K, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   B( x, k)

Proof of Theorem fsumcn

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3372	. 2 |- A C_ A
2		fsumcn.5	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3374	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		sumeq1 13162	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
5	4	mpteq2dv 4376	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) )
6	5	eleq1d 2507	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
7	3, 6	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
8	7	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
9		sseq1 3374	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ A <-> y C_ A ) )
10		sumeq1 13162	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
11	10	mpteq2dv 4376	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) )
12	11	eleq1d 2507	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
13	9, 12	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
14	13	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
15		sseq1 3374	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
16		sumeq1 13162	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
17	16	mpteq2dv 4376	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
18	17	eleq1d 2507	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
19	15, 18	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
20	19	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
21		sseq1 3374	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
22		sumeq1 13162	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
23	22	mpteq2dv 4376	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) )
24	23	eleq1d 2507	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
25	21, 24	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
26	25	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
27		sum0 13194	. . . . . . 7 |- sum_ k e. (/) B = 0
28	27	mpteq2i 4372	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
29		fsumcn.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
30		fsumcn.3	. . . . . . . . 9 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
31	30	cnfldtopon 20262	. . . . . . . 8 |- K e. (TopOn ` CC )
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
33		0cnd 9375	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. CC )
34	29, 32, 33	cnmptc 19135	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) e. ( J Cn K ) )
35	28, 34	syl5eqel 2525	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) )
36	35	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
37		ssun1 3516	. . . . . . . . . 10 |- y C_ ( y u. { z } )
38		sstr 3361	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ ( y u. { z } ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> y C_ A )
39	37, 38	mpan 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> y C_ A )
40	39	imim1i 58	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
41		simplr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> -. z e. y )
42		disjsn 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
43	41, 42	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
44		eqidd 2442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
45	2	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> A e. Fin )
46		simprl 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
47		ssfi 7529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
48	45, 46, 47	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
49		simplll 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
50	46	sselda 3353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. A )
51		simplrr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> x e. X )
52	29	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> J e. (TopOn ` X ) )
53	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
54		fsumcn.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
55		cnf2 18753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
57		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
58	57	fmpt 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
59	56, 58	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A. x e. X B e. CC )
60		rsp 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x e. X B e. CC -> ( x e. X -> B e. CC ) )
61	59, 60	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X -> B e. CC ) )
62	61	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ x e. X ) -> B e. CC )
63	49, 50, 51, 62	syl21anc 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
64	43, 44, 48, 63	fsumsplit 13212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
65		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
66	65	unssbd 3531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> { z } C_ A )
67		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- z e. _V
68	67	snss 3996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
69	66, 68	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> z e. A )
70	69	adantrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> z e. A )
71	61	impancom 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. A -> B e. CC ) )
72	71	ralrimiv 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
73	72	ad2ant2rl 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> A. k e. A B e. CC )
74		nfcsb1v 3301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
75	74	nfel1 2587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
76		csbeq1a 3294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
77	76	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
78	75, 77	rspc 3064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
79	70, 73, 78	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
80		sumsns 13215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. A /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
81	70, 79, 80	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
82	81	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
83	64, 82	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
84	83	anassrs 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
85	84	mpteq2dva 4375	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
86	85	adantrr 711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
87		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ w ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B )
88		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x y
89		nfcsb1v 3301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
90	88, 89	nfsum 13164	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x sum_ k e. y [_ w / x ]_ B
91		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x +
92		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x z
93	92, 89	nfcsb 3303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B
94	90, 91, 93	nfov 6113	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
95		csbeq1a 3294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
96	95	sumeq2sdv 13177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> sum_ k e. y B = sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
97	95	csbeq2dv 3684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> [_ z / k ]_ B = [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
98	96, 97	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) = ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
99	87, 94, 98	cbvmpt 4379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
100	86, 99	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) )
101	29	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
102		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ w sum_ k e. y B
103	102, 90, 96	cbvmpt 4379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) = ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
104		simprr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) )
105	103, 104	syl5eqelr 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
106		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ w [_ z / k ]_ B
107	106, 93, 97	cbvmpt 4379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) = ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
108	69	adantrr 711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> z e. A )
109	54	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
110	109	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
111		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k X
112	111, 74	nfmpt 4377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B )
113	112	nfel1 2587	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K )
114	76	mpteq2dv 4376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) )
115	114	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
116	113, 115	rspc 3064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. A -> ( A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
117	108, 110, 116	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
118	107, 117	syl5eqelr 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
119	30	addcn 20341	. . . . . . . . . . . . 13 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
121	101, 105, 118, 120	cnmpt12f 19139	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) e. ( J Cn K ) )
122	100, 121	eqeltrd 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) )
123	122	exp32 602	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
124	123	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
125	40, 124	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
126	125	expcom 435	. . . . . 6 |- ( -. z e. y -> ( ph -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
127	126	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ph -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
128	127	a2d 26	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph -> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
129	8, 14, 20, 26, 36, 128	findcard2s 7549	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
130	2, 129	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
131	1, 130	mpi 17	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   [_csb 3285   u. cun 3323   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   0cc0 9278   + caddc 9281   sum_csu 13159   TopOpenctopn 14356  ℂ_fldccnfld 17718  TopOnctopon 18399   Cn ccn 18728   tX ctx 19033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797

This theorem is referenced by:  fsum2cn  20347  lebnumlem2  20434  plycn  21671  psercn2  21831  fsumcnf  29652