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Theorem fsumcn 21137
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for  B normally contains free variables  k and  x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
fsumcn.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
fsumcn.5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
fsumcn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, J, x    ph, k, x    k, K, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    B( x, k)

Proof of Theorem fsumcn
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3523 . 2  |-  A  C_  A
2 fsumcn.5 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 sumeq1 13474 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
54mpteq2dv 4534 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B ) )
65eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
73, 6imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <-> 
( (/)  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
87imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
9 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  A  <->  y  C_  A ) )
10 sumeq1 13474 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  y  B )
1110mpteq2dv 4534 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )
)
1211eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
139, 12imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <->  ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1413imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
15 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
16 sumeq1 13474 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1716mpteq2dv 4534 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
1817eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
1915, 18imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <-> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) )
2019imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) ) )
21 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
22 sumeq1 13474 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
2322mpteq2dv 4534 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )
)
2423eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
2521, 24imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
2625imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B
)  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
27 sum0 13506 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2827mpteq2i 4530 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
29 fsumcn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
30 fsumcn.3 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
3130cnfldtopon 21053 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
33 0cnd 9589 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
3429, 32, 33cnmptc 19926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  0 )  e.  ( J  Cn  K ) )
3528, 34syl5eqel 2559 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
3635a1d 25 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
37 ssun1 3667 . . . . . . . . . 10  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
38 sstr 3512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
y  C_  A )
3937, 38mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  y  C_  A )
4039imim1i 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
41 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  -.  z  e.  y
)
42 disjsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4341, 42sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
44 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
452ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  A  e.  Fin )
46 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  A )
47 ssfi 7740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
4845, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
49 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ph )
5046sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  A
)
51 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  x  e.  X
)
5229adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
5331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
54 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
55 cnf2 19544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
5652, 53, 54, 55syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
57 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
5857fmpt 6042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
5956, 58sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
60 rsp 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  ->  ( x  e.  X  ->  B  e.  CC ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  ->  B  e.  CC )
)
6261imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
6349, 50, 51, 62syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  B  e.  CC )
6443, 44, 48, 63fsumsplit 13525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  (
sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B
) )
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  A
)
6665unssbd 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  { z }  C_  A )
67 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  z  e. 
_V
6867snss 4151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
6966, 68sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  z  e.  A )
7069adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
z  e.  A )
7161impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  A  ->  B  e.  CC )
)
7271ralrimiv 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
7372ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
74 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7574nfel1 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  e.  CC
76 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
7776eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
7875, 77rspc 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
)
7970, 73, 78sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
80 sumsns 13528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  A  /\  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
z } B  = 
[_ z  /  k ]_ B )
8170, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  { z } B  =  [_ z  /  k ]_ B
)
8281oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B
)  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )
8364, 82eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  (
sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) )
8483anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )  /\  x  e.  X )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) )
8584mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
8685adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
87 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ w
( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
)
88 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
y
89 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
9088, 89nfsum 13476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
91 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  +
92 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
z
9392, 89nfcsb 3453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B
9490, 91, 93nfov 6307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
95 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
9695sumeq2sdv 13489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  y  B  =  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
)
9795csbeq2dv 3835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  [_ z  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
9896, 97oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  =  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )
9987, 94, 98cbvmpt 4537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )
10086, 99syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) ) )
10129ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
102 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w sum_ k  e.  y  B
103102, 90, 96cbvmpt 4537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  =  ( w  e.  X  |->  sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B )
104 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )
105103, 104syl5eqelr 2560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B )  e.  ( J  Cn  K
) )
106 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w [_ z  /  k ]_ B
107106, 93, 97cbvmpt 4537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
)  =  ( w  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
10869adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  z  e.  A )
10954ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
110109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
111 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k X
112111, 74nfmpt 4535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )
113112nfel1 2645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K )
11476mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
) )
115114eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
116113, 115rspc 3208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
117108, 110, 116sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  ( J  Cn  K ) )
118107, 117syl5eqelr 2560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) )
11930addcn 21132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
) )
121101, 105, 118, 120cnmpt12f 19930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
122100, 121eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) )
123122exp32 605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
124123a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) )
12540, 124syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
126125expcom 435 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ph  ->  ( ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) ) )
127126adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
128127a2d 26 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) ) )
1298, 14, 20, 26, 36, 128findcard2s 7761 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1302, 129mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
1311, 130mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   [_csb 3435    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027    |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   CCcc 9490   0cc0 9492    + caddc 9495   sum_csu 13471   TopOpenctopn 14677  ℂfldccnfld 18219  TopOnctopon 19190    Cn ccn 19519    tX ctx 19824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588
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