Theorem fsumcn 21499

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcn.3	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
fsumcn.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
fsumcn.5	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcn.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcn	|- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, J, x   ph, k, x   k, K, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   B( x, k)

Proof of Theorem fsumcn

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3518	. 2 |- A C_ A
2		fsumcn.5	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3520	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		sumeq1 13522	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
5	4	mpteq2dv 4544	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) )
6	5	eleq1d 2526	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
7	3, 6	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
8	7	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
9		sseq1 3520	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ A <-> y C_ A ) )
10		sumeq1 13522	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
11	10	mpteq2dv 4544	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) )
12	11	eleq1d 2526	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
13	9, 12	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
14	13	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
15		sseq1 3520	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
16		sumeq1 13522	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
17	16	mpteq2dv 4544	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
18	17	eleq1d 2526	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
19	15, 18	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
20	19	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
21		sseq1 3520	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
22		sumeq1 13522	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
23	22	mpteq2dv 4544	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) )
24	23	eleq1d 2526	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
25	21, 24	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
26	25	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
27		sum0 13554	. . . . . . 7 |- sum_ k e. (/) B = 0
28	27	mpteq2i 4540	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
29		fsumcn.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
30		fsumcn.3	. . . . . . . . 9 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
31	30	cnfldtopon 21415	. . . . . . . 8 |- K e. (TopOn ` CC )
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
33		0cnd 9606	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. CC )
34	29, 32, 33	cnmptc 20288	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) e. ( J Cn K ) )
35	28, 34	syl5eqel 2549	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) )
36	35	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
37		ssun1 3663	. . . . . . . . . 10 |- y C_ ( y u. { z } )
38		sstr 3507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ ( y u. { z } ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> y C_ A )
39	37, 38	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> y C_ A )
40	39	imim1i 58	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
41		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> -. z e. y )
42		disjsn 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
43	41, 42	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
44		eqidd 2458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
45	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> A e. Fin )
46		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
47		ssfi 7759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
48	45, 46, 47	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
49		simplll 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
50	46	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. A )
51		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> x e. X )
52	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> J e. (TopOn ` X ) )
53	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
54		fsumcn.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
55		cnf2 19876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
57		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
58	57	fmpt 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
59	56, 58	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A. x e. X B e. CC )
60		rsp 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x e. X B e. CC -> ( x e. X -> B e. CC ) )
61	59, 60	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X -> B e. CC ) )
62	61	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ x e. X ) -> B e. CC )
63	49, 50, 51, 62	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
64	43, 44, 48, 63	fsumsplit 13573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
65		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
66	65	unssbd 3678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> { z } C_ A )
67		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- z e. _V
68	67	snss 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
69	66, 68	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> z e. A )
70	69	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> z e. A )
71	61	impancom 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. A -> B e. CC ) )
72	71	ralrimiv 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
73	72	ad2ant2rl 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> A. k e. A B e. CC )
74		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
75	74	nfel1 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
76		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
77	76	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
78	75, 77	rspc 3204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
79	70, 73, 78	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
80		sumsns 13576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. A /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
81	70, 79, 80	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
82	81	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
83	64, 82	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
84	83	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
85	84	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
86	85	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
87		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ w ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B )
88		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x y
89		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
90	88, 89	nfsum 13524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x sum_ k e. y [_ w / x ]_ B
91		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x +
92		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x z
93	92, 89	nfcsb 3448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B
94	90, 91, 93	nfov 6322	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
95		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
96	95	sumeq2sdv 13537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> sum_ k e. y B = sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
97	95	csbeq2dv 3843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> [_ z / k ]_ B = [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
98	96, 97	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) = ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
99	87, 94, 98	cbvmpt 4547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
100	86, 99	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) )
101	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
102		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ w sum_ k e. y B
103	102, 90, 96	cbvmpt 4547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) = ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
104		simprr 757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) )
105	103, 104	syl5eqelr 2550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
106		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ w [_ z / k ]_ B
107	106, 93, 97	cbvmpt 4547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) = ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
108	69	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> z e. A )
109	54	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
110	109	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
111		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k X
112	111, 74	nfmpt 4545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B )
113	112	nfel1 2635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K )
114	76	mpteq2dv 4544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) )
115	114	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
116	113, 115	rspc 3204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. A -> ( A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
117	108, 110, 116	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
118	107, 117	syl5eqelr 2550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
119	30	addcn 21494	. . . . . . . . . . . . 13 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
121	101, 105, 118, 120	cnmpt12f 20292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) e. ( J Cn K ) )
122	100, 121	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) )
123	122	exp32 605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
124	123	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
125	40, 124	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
126	125	expcom 435	. . . . . 6 |- ( -. z e. y -> ( ph -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
127	126	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ph -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
128	127	a2d 26	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph -> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
129	8, 14, 20, 26, 36, 128	findcard2s 7779	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
130	2, 129	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
131	1, 130	mpi 17	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   [_csb 3430   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   0cc0 9509   + caddc 9512   sum_csu 13519   TopOpenctopn 14838  ℂ_fldccnfld 18546  TopOnctopon 19521   Cn ccn 19851   tX ctx 20186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950

This theorem is referenced by:  fsum2cn  21500  lebnumlem2  21587  plycn  22783  psercn2  22943  fsumcnf  31557