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Theorem fsumcn 20446
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for  B normally contains free variables  k and  x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
fsumcn.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
fsumcn.5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
fsumcn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, J, x    ph, k, x    k, K, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    B( x, k)

Proof of Theorem fsumcn
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3375 . 2  |-  A  C_  A
2 fsumcn.5 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3377 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 sumeq1 13166 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
54mpteq2dv 4379 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B ) )
65eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
73, 6imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <-> 
( (/)  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
87imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
9 sseq1 3377 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  A  <->  y  C_  A ) )
10 sumeq1 13166 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  y  B )
1110mpteq2dv 4379 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )
)
1211eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
139, 12imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <->  ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1413imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
15 sseq1 3377 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
16 sumeq1 13166 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1716mpteq2dv 4379 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
1817eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
1915, 18imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <-> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) )
2019imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) ) )
21 sseq1 3377 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
22 sumeq1 13166 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
2322mpteq2dv 4379 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )
)
2423eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
2521, 24imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
2625imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B
)  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
27 sum0 13198 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2827mpteq2i 4375 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
29 fsumcn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
30 fsumcn.3 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
3130cnfldtopon 20362 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
33 0cnd 9379 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
3429, 32, 33cnmptc 19235 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  0 )  e.  ( J  Cn  K ) )
3528, 34syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
3635a1d 25 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
37 ssun1 3519 . . . . . . . . . 10  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
38 sstr 3364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
y  C_  A )
3937, 38mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  y  C_  A )
4039imim1i 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
41 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  -.  z  e.  y
)
42 disjsn 3936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4341, 42sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
44 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
452ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  A  e.  Fin )
46 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  A )
47 ssfi 7533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
4845, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
49 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ph )
5046sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  A
)
51 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  x  e.  X
)
5229adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
5331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
54 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
55 cnf2 18853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
5652, 53, 54, 55syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
57 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
5857fmpt 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
5956, 58sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
60 rsp 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  ->  ( x  e.  X  ->  B  e.  CC ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  ->  B  e.  CC )
)
6261imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
6349, 50, 51, 62syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  B  e.  CC )
6443, 44, 48, 63fsumsplit 13216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  (
sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B
) )
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  A
)
6665unssbd 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  { z }  C_  A )
67 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  z  e. 
_V
6867snss 3999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
6966, 68sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  z  e.  A )
7069adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
z  e.  A )
7161impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  A  ->  B  e.  CC )
)
7271ralrimiv 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
7372ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
74 nfcsb1v 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7574nfel1 2589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  e.  CC
76 csbeq1a 3297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
7776eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
7875, 77rspc 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
)
7970, 73, 78sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
80 sumsns 13219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  A  /\  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
z } B  = 
[_ z  /  k ]_ B )
8170, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  { z } B  =  [_ z  /  k ]_ B
)
8281oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B
)  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )
8364, 82eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  (
sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) )
8483anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )  /\  x  e.  X )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) )
8584mpteq2dva 4378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
8685adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
87 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ w
( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
)
88 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
y
89 nfcsb1v 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
9088, 89nfsum 13168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
91 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  +
92 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
z
9392, 89nfcsb 3306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B
9490, 91, 93nfov 6114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
95 csbeq1a 3297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
9695sumeq2sdv 13181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  y  B  =  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
)
9795csbeq2dv 3687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  [_ z  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
9896, 97oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  =  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )
9987, 94, 98cbvmpt 4382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )
10086, 99syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) ) )
10129ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
102 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w sum_ k  e.  y  B
103102, 90, 96cbvmpt 4382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  =  ( w  e.  X  |->  sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B )
104 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )
105103, 104syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B )  e.  ( J  Cn  K
) )
106 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w [_ z  /  k ]_ B
107106, 93, 97cbvmpt 4382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
)  =  ( w  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
10869adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  z  e.  A )
10954ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
110109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
111 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k X
112111, 74nfmpt 4380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )
113112nfel1 2589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K )
11476mpteq2dv 4379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
) )
115114eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
116113, 115rspc 3067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
117108, 110, 116sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  ( J  Cn  K ) )
118107, 117syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) )
11930addcn 20441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
) )
121101, 105, 118, 120cnmpt12f 19239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
122100, 121eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) )
123122exp32 605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
124123a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) )
12540, 124syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
126125expcom 435 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ph  ->  ( ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) ) )
127126adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
128127a2d 26 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) ) )
1298, 14, 20, 26, 36, 128findcard2s 7553 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1302, 129mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
1311, 130mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   [_csb 3288    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877    e. cmpt 4350   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   CCcc 9280   0cc0 9282    + caddc 9285   sum_csu 13163   TopOpenctopn 14360  ℂfldccnfld 17818  TopOnctopon 18499    Cn ccn 18828    tX ctx 19133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897
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