Theorem fsumcn 21980

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcn.3	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
fsumcn.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
fsumcn.5	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcn.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcn	|- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, J, x   ph, k, x   k, K, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   B( x, k)

Proof of Theorem fsumcn

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3437	. 2 |- A C_ A
2		fsumcn.5	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3439	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		sumeq1 13832	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
5	4	mpteq2dv 4483	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) )
6	5	eleq1d 2533	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
7	3, 6	imbi12d 327	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
8	7	imbi2d 323	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
9		sseq1 3439	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ A <-> y C_ A ) )
10		sumeq1 13832	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
11	10	mpteq2dv 4483	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) )
12	11	eleq1d 2533	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
13	9, 12	imbi12d 327	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
14	13	imbi2d 323	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
15		sseq1 3439	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
16		sumeq1 13832	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
17	16	mpteq2dv 4483	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
18	17	eleq1d 2533	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
19	15, 18	imbi12d 327	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
20	19	imbi2d 323	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
21		sseq1 3439	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
22		sumeq1 13832	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
23	22	mpteq2dv 4483	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) )
24	23	eleq1d 2533	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
25	21, 24	imbi12d 327	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
26	25	imbi2d 323	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
27		sum0 13864	. . . . . . 7 |- sum_ k e. (/) B = 0
28	27	mpteq2i 4479	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
29		fsumcn.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
30		fsumcn.3	. . . . . . . . 9 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
31	30	cnfldtopon 21881	. . . . . . . 8 |- K e. (TopOn ` CC )
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
33		0cnd 9654	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. CC )
34	29, 32, 33	cnmptc 20754	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) e. ( J Cn K ) )
35	28, 34	syl5eqel 2553	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) )
36	35	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
37		ssun1 3588	. . . . . . . . . 10 |- y C_ ( y u. { z } )
38		sstr 3426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ ( y u. { z } ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> y C_ A )
39	37, 38	mpan 684	. . . . . . . . 9 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> y C_ A )
40	39	imim1i 59	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
41		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> -. z e. y )
42		disjsn 4023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
43	41, 42	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
44		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
45	2	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> A e. Fin )
46		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
47		ssfi 7810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
48	45, 46, 47	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
49		simplll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
50	46	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. A )
51		simplrr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> x e. X )
52	29	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> J e. (TopOn ` X ) )
53	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
54		fsumcn.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
55		cnf2 20342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
57		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
58	57	fmpt 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
59	56, 58	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A. x e. X B e. CC )
60		rsp 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x e. X B e. CC -> ( x e. X -> B e. CC ) )
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X -> B e. CC ) )
62	61	imp 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ x e. X ) -> B e. CC )
63	49, 50, 51, 62	syl21anc 1291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
64	43, 44, 48, 63	fsumsplit 13883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
65		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
66	65	unssbd 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> { z } C_ A )
67		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- z e. _V
68	67	snss 4087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
69	66, 68	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> z e. A )
70	69	adantrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> z e. A )
71	61	impancom 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. A -> B e. CC ) )
72	71	ralrimiv 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
73	72	ad2ant2rl 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> A. k e. A B e. CC )
74		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
75	74	nfel1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
76		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
77	76	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
78	75, 77	rspc 3130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
79	70, 73, 78	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
80		sumsns 13888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. A /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
81	70, 79, 80	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
82	81	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
83	64, 82	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
84	83	anassrs 660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
85	84	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
86	85	adantrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
87		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ w ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B )
88		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x y
89		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
90	88, 89	nfsum 13834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x sum_ k e. y [_ w / x ]_ B
91		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x +
92		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x z
93	92, 89	nfcsb 3367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B
94	90, 91, 93	nfov 6334	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
95		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
96	95	sumeq2sdv 13847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> sum_ k e. y B = sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
97	95	csbeq2dv 3785	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> [_ z / k ]_ B = [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
98	96, 97	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) = ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
99	87, 94, 98	cbvmpt 4487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
100	86, 99	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) )
101	29	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
102		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ w sum_ k e. y B
103	102, 90, 96	cbvmpt 4487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) = ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
104		simprr 774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) )
105	103, 104	syl5eqelr 2554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
106		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ w [_ z / k ]_ B
107	106, 93, 97	cbvmpt 4487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) = ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
108	69	adantrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> z e. A )
109	54	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
110	109	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
111		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k X
112	111, 74	nfmpt 4484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B )
113	112	nfel1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K )
114	76	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) )
115	114	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
116	113, 115	rspc 3130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. A -> ( A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
117	108, 110, 116	sylc 61	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
118	107, 117	syl5eqelr 2554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
119	30	addcn 21975	. . . . . . . . . . . . 13 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
121	101, 105, 118, 120	cnmpt12f 20758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) e. ( J Cn K ) )
122	100, 121	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) )
123	122	exp32 616	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
124	123	a2d 28	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
125	40, 124	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
126	125	expcom 442	. . . . . 6 |- ( -. z e. y -> ( ph -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
127	126	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ph -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
128	127	a2d 28	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph -> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
129	8, 14, 20, 26, 36, 128	findcard2s 7830	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
130	2, 129	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
131	1, 130	mpi 20	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   [_csb 3349   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   0cc0 9557   + caddc 9560   sum_csu 13829   TopOpenctopn 15398  ℂ_fldccnfld 19047  TopOnctopon 19995   Cn ccn 20317   tX ctx 20652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415

This theorem is referenced by:  fsum2cn  21981  lebnumlem2  22068  lebnumlem2OLD  22071  plycn  23294  psercn2  23457  fsumcnf  37405