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Theorem fsumcn 21499
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for  B normally contains free variables  k and  x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
fsumcn.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
fsumcn.5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
fsumcn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, J, x    ph, k, x    k, K, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    B( x, k)

Proof of Theorem fsumcn
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3518 . 2  |-  A  C_  A
2 fsumcn.5 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3520 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 sumeq1 13522 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
54mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B ) )
65eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
73, 6imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <-> 
( (/)  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
87imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
9 sseq1 3520 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  A  <->  y  C_  A ) )
10 sumeq1 13522 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  y  B )
1110mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )
)
1211eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
139, 12imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <->  ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1413imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
15 sseq1 3520 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
16 sumeq1 13522 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1716mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
1817eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
1915, 18imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <-> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) )
2019imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) ) )
21 sseq1 3520 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
22 sumeq1 13522 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
2322mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )
)
2423eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
2521, 24imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  <->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
2625imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B
)  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
27 sum0 13554 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2827mpteq2i 4540 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
29 fsumcn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
30 fsumcn.3 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
3130cnfldtopon 21415 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
33 0cnd 9606 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
3429, 32, 33cnmptc 20288 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  0 )  e.  ( J  Cn  K ) )
3528, 34syl5eqel 2549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
3635a1d 25 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
37 ssun1 3663 . . . . . . . . . 10  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
38 sstr 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
y  C_  A )
3937, 38mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  y  C_  A )
4039imim1i 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
41 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  -.  z  e.  y
)
42 disjsn 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4341, 42sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
44 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
452ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  A  e.  Fin )
46 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  A )
47 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
4845, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
49 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ph )
5046sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  A
)
51 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  x  e.  X
)
5229adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
5331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
54 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
55 cnf2 19876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
5652, 53, 54, 55syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
57 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
5857fmpt 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
5956, 58sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
60 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  ->  ( x  e.  X  ->  B  e.  CC ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  ->  B  e.  CC )
)
6261imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
6349, 50, 51, 62syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  /\  x  e.  X
) )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  B  e.  CC )
6443, 44, 48, 63fsumsplit 13573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  (
sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B
) )
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  A
)
6665unssbd 3678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  { z }  C_  A )
67 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  z  e. 
_V
6867snss 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
6966, 68sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  z  e.  A )
7069adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
z  e.  A )
7161impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  A  ->  B  e.  CC )
)
7271ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
7372ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
74 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7574nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  e.  CC
76 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
7776eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
7875, 77rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
)
7970, 73, 78sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
80 sumsns 13576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  A  /\  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
z } B  = 
[_ z  /  k ]_ B )
8170, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  { z } B  =  [_ z  /  k ]_ B
)
8281oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  -> 
( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B
)  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )
8364, 82eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  x  e.  X ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  (
sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) )
8483anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )  /\  x  e.  X )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) )
8584mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
8685adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
87 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ w
( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
)
88 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
y
89 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
9088, 89nfsum 13524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
91 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  +
92 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
z
9392, 89nfcsb 3448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B
9490, 91, 93nfov 6322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
95 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
9695sumeq2sdv 13537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  y  B  =  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
)
9795csbeq2dv 3843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  [_ z  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
9896, 97oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  =  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )
9987, 94, 98cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )
10086, 99syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) ) )
10129ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
102 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w sum_ k  e.  y  B
103102, 90, 96cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  =  ( w  e.  X  |->  sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B )
104 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )
105103, 104syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B )  e.  ( J  Cn  K
) )
106 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w [_ z  /  k ]_ B
107106, 93, 97cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
)  =  ( w  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
10869adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  z  e.  A )
10954ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
110109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
111 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k X
112111, 74nfmpt 4545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )
113112nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K )
11476mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
) )
115114eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
116113, 115rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
117108, 110, 116sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  ( J  Cn  K ) )
118107, 117syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) )
11930addcn 21494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
) )
121101, 105, 118, 120cnmpt12f 20292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
122100, 121eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  /\  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) )
123122exp32 605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
124123a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) )
12540, 124syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
126125expcom 435 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ph  ->  ( ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) ) )
127126adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) ) )
128127a2d 26 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) ) ) ) )
1298, 14, 20, 26, 36, 128findcard2s 7779 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1302, 129mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
1311, 130mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   [_csb 3430    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032    |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   0cc0 9509    + caddc 9512   sum_csu 13519   TopOpenctopn 14838  ℂfldccnfld 18546  TopOnctopon 19521    Cn ccn 19851    tX ctx 20186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950
This theorem is referenced by:  fsum2cn  21500  lebnumlem2  21587  plycn  22783  psercn2  22943  fsumcnf  31557
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