Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fsumcn 21980
 Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for normally contains free variables and to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 fld
fsumcn.4 TopOn
fsumcn.5
fsumcn.6
Assertion
Ref Expression
fsumcn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem fsumcn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3437 . 2
2 fsumcn.5 . . 3
3 sseq1 3439 . . . . . 6
4 sumeq1 13832 . . . . . . . 8
54mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
65eleq1d 2533 . . . . . 6
73, 6imbi12d 327 . . . . 5
87imbi2d 323 . . . 4
9 sseq1 3439 . . . . . 6
10 sumeq1 13832 . . . . . . . 8
1110mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
1211eleq1d 2533 . . . . . 6
139, 12imbi12d 327 . . . . 5
1413imbi2d 323 . . . 4
15 sseq1 3439 . . . . . 6
16 sumeq1 13832 . . . . . . . 8
1716mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
1817eleq1d 2533 . . . . . 6
1915, 18imbi12d 327 . . . . 5
2019imbi2d 323 . . . 4
21 sseq1 3439 . . . . . 6
22 sumeq1 13832 . . . . . . . 8
2322mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
2423eleq1d 2533 . . . . . 6
2521, 24imbi12d 327 . . . . 5
2625imbi2d 323 . . . 4
27 sum0 13864 . . . . . . 7
2827mpteq2i 4479 . . . . . 6
29 fsumcn.4 . . . . . . 7 TopOn
30 fsumcn.3 . . . . . . . . 9 fld
3130cnfldtopon 21881 . . . . . . . 8 TopOn
3231a1i 11 . . . . . . 7 TopOn
33 0cnd 9654 . . . . . . 7
3429, 32, 33cnmptc 20754 . . . . . 6
3528, 34syl5eqel 2553 . . . . 5
3635a1d 25 . . . 4
37 ssun1 3588 . . . . . . . . . 10
38 sstr 3426 . . . . . . . . . 10
3937, 38mpan 684 . . . . . . . . 9
4039imim1i 59 . . . . . . . 8
41 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4341, 42sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
44 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
452ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
46 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4845, 46, 47syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5046sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5229adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 TopOn
5331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 TopOn
54 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55 cnf2 20342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 TopOn TopOn
5652, 53, 54, 55syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
57 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5857fmpt 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5956, 58sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60 rsp 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6261imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6349, 50, 51, 62syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6443, 44, 48, 63fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665unssbd 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6867snss 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6966, 68sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7069adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7161impancom 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7271ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7372ad2ant2rl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
74 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7574nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
76 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7776eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7875, 77rspc 3130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7970, 73, 78sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80 sumsns 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8170, 79, 80syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8281oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8364, 82eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483anassrs 660 . . . . . . . . . . . . . 14
8584mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . 13
8685adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12
87 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13
88 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . 15
9088, 89nfsum 13834 . . . . . . . . . . . . . 14
91 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
92 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392, 89nfcsb 3367 . . . . . . . . . . . . . 14
9490, 91, 93nfov 6334 . . . . . . . . . . . . 13
95 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15
9695sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . . . . . . 14
9795csbeq2dv 3785 . . . . . . . . . . . . . 14
9896, 97oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13
9987, 94, 98cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . 12
10086, 99syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11
10129ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
102 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
103102, 90, 96cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . 13
104 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13
105103, 104syl5eqelr 2554 . . . . . . . . . . . 12
106 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
107106, 93, 97cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . 13
10869adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
10954ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15
110109ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
111 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112111, 74nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113112nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . 15
11476mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15
116113, 115rspc 3130 . . . . . . . . . . . . . 14
117108, 110, 116sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13
118107, 117syl5eqelr 2554 . . . . . . . . . . . 12
11930addcn 21975 . . . . . . . . . . . . 13
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
121101, 105, 118, 120cnmpt12f 20758 . . . . . . . . . . 11
122100, 121eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
123122exp32 616 . . . . . . . . 9
124123a2d 28 . . . . . . . 8
12540, 124syl5 32 . . . . . . 7
126125expcom 442 . . . . . 6
127126adantl 473 . . . . 5
128127a2d 28 . . . 4
1298, 14, 20, 26, 36, 128findcard2s 7830 . . 3
1302, 129mpcom 36 . 2
1311, 130mpi 20 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  csb 3349   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  csn 3959   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cc0 9557   caddc 9560  csu 13829  ctopn 15398  ℂfldccnfld 19047  TopOnctopon 19995   ccn 20317   ctx 20652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415 This theorem is referenced by:  fsum2cn  21981  lebnumlem2  22068  lebnumlem2OLD  22071  plycn  23294  psercn2  23457  fsumcnf  37405
 Copyright terms: Public domain W3C validator