Theorem fsumcn 21137

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcn.3	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
fsumcn.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
fsumcn.5	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcn.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcn	|- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, J, x   ph, k, x   k, K, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   B( x, k)

Proof of Theorem fsumcn

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3523	. 2 |- A C_ A
2		fsumcn.5	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3525	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		sumeq1 13474	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
5	4	mpteq2dv 4534	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) )
6	5	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
7	3, 6	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
8	7	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
9		sseq1 3525	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ A <-> y C_ A ) )
10		sumeq1 13474	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
11	10	mpteq2dv 4534	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) )
12	11	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
13	9, 12	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
14	13	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
15		sseq1 3525	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
16		sumeq1 13474	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
17	16	mpteq2dv 4534	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
18	17	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
19	15, 18	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
20	19	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
21		sseq1 3525	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
22		sumeq1 13474	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
23	22	mpteq2dv 4534	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) )
24	23	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
25	21, 24	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
26	25	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
27		sum0 13506	. . . . . . 7 |- sum_ k e. (/) B = 0
28	27	mpteq2i 4530	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
29		fsumcn.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
30		fsumcn.3	. . . . . . . . 9 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
31	30	cnfldtopon 21053	. . . . . . . 8 |- K e. (TopOn ` CC )
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
33		0cnd 9589	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. CC )
34	29, 32, 33	cnmptc 19926	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) e. ( J Cn K ) )
35	28, 34	syl5eqel 2559	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) )
36	35	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
37		ssun1 3667	. . . . . . . . . 10 |- y C_ ( y u. { z } )
38		sstr 3512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ ( y u. { z } ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> y C_ A )
39	37, 38	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> y C_ A )
40	39	imim1i 58	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
41		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> -. z e. y )
42		disjsn 4088	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
43	41, 42	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
44		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
45	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> A e. Fin )
46		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
47		ssfi 7740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
48	45, 46, 47	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
49		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
50	46	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. A )
51		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> x e. X )
52	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> J e. (TopOn ` X ) )
53	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
54		fsumcn.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
55		cnf2 19544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
57		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
58	57	fmpt 6042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
59	56, 58	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A. x e. X B e. CC )
60		rsp 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x e. X B e. CC -> ( x e. X -> B e. CC ) )
61	59, 60	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X -> B e. CC ) )
62	61	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ x e. X ) -> B e. CC )
63	49, 50, 51, 62	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
64	43, 44, 48, 63	fsumsplit 13525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
65		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
66	65	unssbd 3682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> { z } C_ A )
67		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- z e. _V
68	67	snss 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
69	66, 68	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> z e. A )
70	69	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> z e. A )
71	61	impancom 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. A -> B e. CC ) )
72	71	ralrimiv 2876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
73	72	ad2ant2rl 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> A. k e. A B e. CC )
74		nfcsb1v 3451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
75	74	nfel1 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
76		csbeq1a 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
77	76	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
78	75, 77	rspc 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
79	70, 73, 78	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
80		sumsns 13528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. A /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
81	70, 79, 80	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
82	81	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
83	64, 82	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
84	83	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
85	84	mpteq2dva 4533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
86	85	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
87		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ w ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B )
88		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x y
89		nfcsb1v 3451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
90	88, 89	nfsum 13476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x sum_ k e. y [_ w / x ]_ B
91		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x +
92		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x z
93	92, 89	nfcsb 3453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B
94	90, 91, 93	nfov 6307	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
95		csbeq1a 3444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
96	95	sumeq2sdv 13489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> sum_ k e. y B = sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
97	95	csbeq2dv 3835	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> [_ z / k ]_ B = [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
98	96, 97	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) = ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
99	87, 94, 98	cbvmpt 4537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
100	86, 99	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) )
101	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
102		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ w sum_ k e. y B
103	102, 90, 96	cbvmpt 4537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) = ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
104		simprr 756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) )
105	103, 104	syl5eqelr 2560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
106		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ w [_ z / k ]_ B
107	106, 93, 97	cbvmpt 4537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) = ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
108	69	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> z e. A )
109	54	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
110	109	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
111		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k X
112	111, 74	nfmpt 4535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B )
113	112	nfel1 2645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K )
114	76	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) )
115	114	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
116	113, 115	rspc 3208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. A -> ( A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
117	108, 110, 116	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
118	107, 117	syl5eqelr 2560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
119	30	addcn 21132	. . . . . . . . . . . . 13 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
121	101, 105, 118, 120	cnmpt12f 19930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) e. ( J Cn K ) )
122	100, 121	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) )
123	122	exp32 605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
124	123	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
125	40, 124	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
126	125	expcom 435	. . . . . 6 |- ( -. z e. y -> ( ph -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
127	126	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ph -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
128	127	a2d 26	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph -> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
129	8, 14, 20, 26, 36, 128	findcard2s 7761	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
130	2, 129	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
131	1, 130	mpi 17	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   [_csb 3435   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   CCcc 9490   0cc0 9492   + caddc 9495   sum_csu 13471   TopOpenctopn 14677  ℂ_fldccnfld 18219  TopOnctopon 19190   Cn ccn 19519   tX ctx 19824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588

This theorem is referenced by:  fsum2cn  21138  lebnumlem2  21225  plycn  22420  psercn2  22580  fsumcnf  31002