HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem fsumcmpndx2 8302
Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one.
Assertion
Ref Expression
fsumcmpndx2 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ (A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A) /\ J <_ K)) -> sum_k e. (M...J)A <_ sum_k e. (M...K)A)
Distinct variable groups:   k,J   k,K   k,M
Proof of Theorem fsumcmpndx2
StepHypRef Expression
1 leloe 6688 . . . . . . 7 |- ((J e. RR /\ K e. RR) -> (J <_ K <-> (J < K \/ J = K)))
2 zre 7348 . . . . . . 7 |- (J e. ZZ -> J e. RR)
3 zre 7348 . . . . . . 7 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
41, 2, 3syl2an 503 . . . . . 6 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J <_ K <-> (J < K \/ J = K)))
5 eluzelz 7592 . . . . . 6 |- (J e. (ZZ>=` M) -> J e. ZZ)
6 eluzelz 7592 . . . . . 6 |- (K e. (ZZ>=` M) -> K e. ZZ)
74, 5, 6syl2an 503 . . . . 5 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) -> (J <_ K <-> (J < K \/ J = K)))
87biimpa 460 . . . 4 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J <_ K) -> (J < K \/ J = K))
98adantlr 429 . . 3 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J <_ K) -> (J < K \/ J = K))
10 zltp1le 7390 . . . . . . . . . . 11 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J < K <-> (J + 1) <_ K))
11 eluz 7595 . . . . . . . . . . . 12 |- (((J + 1) e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (K e. (ZZ>=` (J + 1)) <-> (J + 1) <_ K))
12 peano2z 7375 . . . . . . . . . . . 12 |- (J e. ZZ -> (J + 1) e. ZZ)
1311, 12sylan 497 . . . . . . . . . . 11 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (K e. (ZZ>=` (J + 1)) <-> (J + 1) <_ K))
1410, 13bitr4d 590 . . . . . . . . . 10 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J < K <-> K e. (ZZ>=` (J + 1))))
1514, 5, 6syl2an 503 . . . . . . . . 9 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) -> (J < K <-> K e. (ZZ>=` (J + 1))))
1615biimpa 460 . . . . . . . 8 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) -> K e. (ZZ>=` (J + 1)))
1716adantlr 429 . . . . . . 7 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> K e. (ZZ>=` (J + 1)))
18 fzss1 7675 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((J + 1) e. (ZZ>=` M) /\ K e. ZZ) -> ((J + 1)...K) C_ (M...K))
19 peano2uz 7616 . . . . . . . . . . . . 13 |- (J e. (ZZ>=` M) -> (J + 1) e. (ZZ>=` M))
2018, 19, 6syl2an 503 . . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) -> ((J + 1)...K) C_ (M...K))
2120sseld 2619 . . . . . . . . . . 11 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) -> (k e. ((J + 1)...K) -> k e. (M...K)))
2221imim1d 33 . . . . . . . . . 10 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) -> ((k e. (M...K) -> (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (k e. ((J + 1)...K) -> (A e. RR /\ 0 <_ A))))
2322ralimdv2 2173 . . . . . . . . 9 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) -> (A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A) -> A.k e. ((J + 1)...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)))
2423imp 377 . . . . . . . 8 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) -> A.k e. ((J + 1)...K)(A e. RR /\ 0 <_ A))
2524adantr 425 . . . . . . 7 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> A.k e. ((J + 1)...K)(A e. RR /\ 0 <_ A))
26 fsumcmp0 8301 . . . . . . 7 |- ((K e. (ZZ>=` (J + 1)) /\ A.k e. ((J + 1)...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) -> 0 <_ sum_k e. ((J + 1)...K)A)
2717, 25, 26syl11anc 524 . . . . . 6 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> 0 <_ sum_k e. ((J + 1)...K)A)
28 simplll 452 . . . . . . . 8 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> J e. (ZZ>=` M))
29 ltle 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((J e. RR /\ K e. RR) -> (J < K -> J <_ K))
3029, 2, 3syl2an 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J < K -> J <_ K))
31 eluz 7595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (K e. (ZZ>=` J) <-> J <_ K))
3230, 31sylibrd 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J < K -> K e. (ZZ>=` J)))
3332, 5, 6syl2an 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) -> (J < K -> K e. (ZZ>=` J)))
3433imp 377 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) -> K e. (ZZ>=` J))
35 eluzel2 7593 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (J e. (ZZ>=` M) -> M e. ZZ)
3635ad2antrr 440 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) -> M e. ZZ)
37 fzss2 7676 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((K e. (ZZ>=` J) /\ M e. ZZ) -> (M...J) C_ (M...K))
3834, 36, 37syl11anc 524 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) -> (M...J) C_ (M...K))
3938sseld 2619 . . . . . . . . . . . 12 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) -> (k e. (M...J) -> k e. (M...K)))
40 simpl 346 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR)
4140a1i 8 . . . . . . . . . . . 12 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) -> ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR))
4239, 41imim12d 69 . . . . . . . . . . 11 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) -> ((k e. (M...K) -> (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (k e. (M...J) -> A e. RR)))
4342ralimdv2 2173 . . . . . . . . . 10 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) -> (A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A) -> A.k e. (M...J)A e. RR))
4443imp 377 . . . . . . . . 9 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) -> A.k e. (M...J)A e. RR)
4544an1rs 547 . . . . . . . 8 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> A.k e. (M...J)A e. RR)
46 fsumrecl 8277 . . . . . . . 8 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (M...J)A e. RR) -> sum_k e. (M...J)A e. RR)
4728, 45, 46syl11anc 524 . . . . . . 7 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> sum_k e. (M...J)A e. RR)
4821adantr 425 . . . . . . . . . . . 12 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) -> (k e. ((J + 1)...K) -> k e. (M...K)))
4948, 41imim12d 69 . . . . . . . . . . 11 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) -> ((k e. (M...K) -> (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (k e. ((J + 1)...K) -> A e. RR)))
5049ralimdv2 2173 . . . . . . . . . 10 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) -> (A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A) -> A.k e. ((J + 1)...K)A e. RR))
5150imp 377 . . . . . . . . 9 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) -> A.k e. ((J + 1)...K)A e. RR)
5251an1rs 547 . . . . . . . 8 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> A.k e. ((J + 1)...K)A e. RR)
53 fsumrecl 8277 . . . . . . . 8 |- ((K e. (ZZ>=` (J + 1)) /\ A.k e. ((J + 1)...K)A e. RR) -> sum_k e. ((J + 1)...K)A e. RR)
5417, 52, 53syl11anc 524 . . . . . . 7 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> sum_k e. ((J + 1)...K)A e. RR)
55 addge01 6861 . . . . . . 7 |- ((sum_k e. (M...J)A e. RR /\ sum_k e. ((J + 1)...K)A e. RR) -> (0 <_ sum_k e. ((J + 1)...K)A <-> sum_k e. (M...J)A <_ (sum_k e. (M...J)A + sum_k e. ((J + 1)...K)A)))
5647, 54, 55syl11anc 524 . . . . . 6 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> (0 <_ sum_k e. ((J + 1)...K)A <-> sum_k e. (M...J)A <_ (sum_k e. (M...J)A + sum_k e. ((J + 1)...K)A)))
5727, 56mpbid 212 . . . . 5 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> sum_k e. (M...J)A <_ (sum_k e. (M...J)A + sum_k e. ((J + 1)...K)A))
586adantl 424 . . . . . . 7 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) -> K e. ZZ)
5958ad2antrr 440 . . . . . 6 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> K e. ZZ)
60 zltlem1 7393 . . . . . . . . . 10 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J < K <-> J <_ (K - 1)))
6160, 5, 6syl2an 503 . . . . . . . . 9 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) -> (J < K <-> J <_ (K - 1)))
62 elfz5 7644 . . . . . . . . . 10 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ (K - 1) e. ZZ) -> (J e. (M...(K - 1)) <-> J <_ (K - 1)))
63 peano2zm 7378 . . . . . . . . . . 11 |- (K e. ZZ -> (K - 1) e. ZZ)
646, 63syl 12 . . . . . . . . . 10 |- (K e. (ZZ>=` M) -> (K - 1) e. ZZ)
6562, 64sylan2 500 . . . . . . . . 9 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) -> (J e. (M...(K - 1)) <-> J <_ (K - 1)))
6661, 65bitr4d 590 . . . . . . . 8 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) -> (J < K <-> J e. (M...(K - 1))))
6766biimpa 460 . . . . . . 7 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ J < K) -> J e. (M...(K - 1)))
6867adantlr 429 . . . . . 6 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> J e. (M...(K - 1)))
6940recnd 6468 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. CC)
7069ralimi 2168 . . . . . . 7 |- (A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A) -> A.k e. (M...K)A e. CC)
7170ad2antlr 441 . . . . . 6 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> A.k e. (M...K)A e. CC)
72 fsumsplit 8280 . . . . . 6 |- ((K e. ZZ /\ J e. (M...(K - 1)) /\ A.k e. (M...K)A e. CC) -> sum_k e. (M...K)A = (sum_k e. (M...J)A + sum_k e. ((J + 1)...K)A))
7359, 68, 71, 72syl111anc 1100 . . . . 5 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> sum_k e. (M...K)A = (sum_k e. (M...J)A + sum_k e. ((J + 1)...K)A))
7457, 73breqtrrd 3363 . . . 4 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J < K) -> sum_k e. (M...J)A <_ sum_k e. (M...K)A)
75 opreq2 4890 . . . . . . . . . . 11 |- (J = K -> (M...J) = (M...K))
7675raleqdv 2269 . . . . . . . . . 10 |- (J = K -> (A.k e. (M...J)(A e. RR /\ 0 <_ A) <-> A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)))
7740ralimi 2168 . . . . . . . . . 10 |- (A.k e. (M...J)(A e. RR /\ 0 <_ A) -> A.k e. (M...J)A e. RR)
7876, 77syl6bir 232 . . . . . . . . 9 |- (J = K -> (A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A) -> A.k e. (M...J)A e. RR))
7978impcom 378 . . . . . . . 8 |- ((A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A) /\ J = K) -> A.k e. (M...J)A e. RR)
8046, 79sylan2 500 . . . . . . 7 |- ((J e. (ZZ>=` M) /\ (A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A) /\ J = K)) -> sum_k e. (M...J)A e. RR)
8180anassrs 489 . . . . . 6 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J = K) -> sum_k e. (M...J)A e. RR)
8281adantllr 433 . . . . 5 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J = K) -> sum_k e. (M...J)A e. RR)
8375sumeq1d 8250 . . . . . 6 |- (J = K -> sum_k e. (M...J)A = sum_k e. (M...K)A)
8483adantl 424 . . . . 5 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J = K) -> sum_k e. (M...J)A = sum_k e. (M...K)A)
85 eqle 6746 . . . . 5 |- ((sum_k e. (M...J)A e. RR /\ sum_k e. (M...J)A = sum_k e. (M...K)A) -> sum_k e. (M...J)A <_ sum_k e. (M...K)A)
8682, 84, 85syl11anc 524 . . . 4 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J = K) -> sum_k e. (M...J)A <_ sum_k e. (M...K)A)
8774, 86jaodan 471 . . 3 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (J < K \/ J = K)) -> sum_k e. (M...J)A <_ sum_k e. (M...K)A)
889, 87syldan 516 . 2 |- ((((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ J <_ K) -> sum_k e. (M...J)A <_ sum_k e. (M...K)A)
8988anasss 488 1 |- (((J e. (ZZ>=` M) /\ K e. (ZZ>=` M)) /\ (A.k e. (M...K)(A e. RR /\ 0 <_ A) /\ J <_ K)) -> sum_k e. (M...J)A <_ sum_k e. (M...K)A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637  sum_csu 8239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-sum 8240
Copyright terms: Public domain