MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcllem Structured version   Unicode version

Theorem fsumcllem 13776
Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcllem.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
fsumcllem.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
fsumcllem.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcllem.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
fsumcllem.5  |-  ( ph  ->  0  e.  S )
Assertion
Ref Expression
fsumcllem  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
Distinct variable groups:    x, k,
y, A    x, B, y    ph, k, x, y    S, k, x, y
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumcllem
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
21sumeq1d 13745 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
3 sum0 13765 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
42, 3syl6eq 2486 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  0 )
5 fsumcllem.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  S )
65adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  0  e.  S )
74, 6eqeltrd 2517 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S
)
8 fsumcllem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
98adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  (/) )  ->  S  C_  CC )
10 fsumcllem.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
1110adantlr 719 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  (/) )  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  +  y )  e.  S )
12 fsumcllem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
1312adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  e.  Fin )
14 fsumcllem.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
1514adantlr 719 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  (/) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
16 simpr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
179, 11, 13, 15, 16fsumcl2lem 13775 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S
)
187, 17pm2.61dane 2749 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625    C_ wss 3442   (/)c0 3767  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   CCcc 9536   0cc0 9538    + caddc 9541   sum_csu 13730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731
This theorem is referenced by:  fsumcl  13777  fsumrecl  13778  fsumzcl  13779  fsumnn0cl  13780  fsumge0  13833  plymullem  23038  efnnfsumcl  23892  efchtdvds  23949  fsumrp0cl  28296  fsumcnsrcl  35731  aacllem  39301
  Copyright terms: Public domain W3C validator