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Theorem fsumadd 13582
Description: The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumadd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumadd.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumadd.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumadd  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumadd
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 00id 9684 . . . . 5  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2 sum0 13564 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
3 sum0 13564 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
42, 3oveq12i 6226 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  (/)  B  +  sum_ k  e.  (/)  C )  =  ( 0  +  0 )
5 sum0 13564 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( B  +  C )  =  0
61, 4, 53eqtr4ri 2432 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  (/)  B  +  sum_ k  e.  (/)  C )
7 sumeq1 13532 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  sum_ k  e.  (/)  ( B  +  C ) )
8 sumeq1 13532 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
9 sumeq1 13532 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
108, 9oveq12d 6232 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C )  =  (
sum_ k  e.  (/)  B  +  sum_ k  e.  (/)  C ) )
116, 7, 103eqtr4a 2459 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
13 simprl 754 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
14 nnuz 11054 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1513, 14syl6eleq 2490 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
16 fsumadd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1716adantlr 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
18 eqid 2392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
1917, 18fmptd 5970 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
20 simprr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
21 f1of 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
23 fco 5662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2419, 22, 23syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2524ffvelrnda 5946 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
26 fsumadd.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2726adantlr 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
28 eqid 2392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
2927, 28fmptd 5970 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
30 fco 5662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3129, 22, 30syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3231ffvelrnda 5946 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
3322ffvelrnda 5946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
34 ovex 6242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  +  C )  e. 
_V
35 eqid 2392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )
3635fvmpt2 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( B  +  C
)  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( B  +  C ) )
3734, 36mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( B  +  C ) )
3837adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( B  +  C ) )
39 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
4018fvmpt2 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
4139, 16, 40syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
4228fvmpt2 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =  C )
4339, 26, 42syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  C )
4441, 43oveq12d 6232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( B  +  C ) )
4538, 44eqtr4d 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k ) ) )
4645ralrimiva 2806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
4746ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
48 nffvmpt1 5795 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `  n
) )
49 nffvmpt1 5795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
50 nfcv 2554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  +
51 nffvmpt1 5795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )
5249, 50, 51nfov 6240 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) )
5348, 52nfeq 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
54 fveq2 5787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
55 fveq2 5787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
56 fveq2 5787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
5755, 56oveq12d 6232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
5854, 57eqeq12d 2414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) ) ) )
5953, 58rspc 3142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
)  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) ) ) )
6033, 47, 59sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
61 fvco3 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  (
f `  n )
) )
6222, 61sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  (
f `  n )
) )
63 fvco3 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
6422, 63sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
65 fvco3 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
6622, 65sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
6764, 66oveq12d 6232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  +  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) ) )
6860, 62, 673eqtr4d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  +  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ) )
6915, 25, 32, 68seradd 12071 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  +  (  seq 1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) ) )
70 fveq2 5787 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
7117, 27addcld 9544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C
)  e.  CC )
7271, 35fmptd 5970 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) : A --> CC )
7372ffvelrnda 5946 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  m )  e.  CC )
7470, 13, 20, 73, 62fsum 13563 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
75 fveq2 5787 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
7619ffvelrnda 5946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
7775, 13, 20, 76, 64fsum 13563 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
78 fveq2 5787 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
7929ffvelrnda 5946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  e.  CC )
8078, 13, 20, 79, 66fsum 13563 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8177, 80oveq12d 6232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  +  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  +  (  seq 1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) ) )
8269, 74, 813eqtr4d 2443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  m )  =  ( sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  +  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ) )
83 sumfc 13552 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)
84 sumfc 13552 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
85 sumfc 13552 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
8684, 85oveq12i 6226 . . . . . 6  |-  ( sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  +  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C )
8782, 83, 863eqtr3g 2456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
8887expr 613 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
8988exlimdv 1739 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
9089expimpd 601 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
91 fsumadd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
92 fz1f1o 13553 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
9391, 92syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
9412, 90, 93mpjaod 379 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399   E.wex 1627    e. wcel 1836   A.wral 2742   _Vcvv 3047   (/)c0 3724    |-> cmpt 4438    o. ccom 4930   -->wf 5505   -1-1-onto->wf1o 5508   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   Fincfn 7453   CCcc 9419   0cc0 9421   1c1 9422    + caddc 9424   NNcn 10470   ZZ>=cuz 11019   ...cfz 11611    seqcseq 12029   #chash 12326   sum_csu 13529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-se 4766  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-isom 5518  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-oadd 7070  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-sup 7834  df-oi 7868  df-card 8251  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-rp 11158  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-seq 12030  df-exp 12089  df-hash 12327  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-clim 13332  df-sum 13530
This theorem is referenced by:  fsumsplit  13583  fsumsub  13624  binomlem  13662  pcbc  14440  csbren  21930  trirn  21931  ovollb2lem  22003  ovoliunlem1  22017  itg1addlem5  22211  itgsplit  22346  plyaddlem1  22714  basellem8  23497  logfaclbnd  23633  dchrvmasum2if  23818  mudivsum  23851  logsqvma  23863  selberglem1  23866  selberglem2  23867  selberg  23869  selberg2  23872  selberg3lem1  23878  selberg4  23882  pntsval2  23897  ax5seglem9  24382  binomfallfaclem2  29364  dvnmul  31941  dirkertrigeqlem2  32082  altgsumbcALT  33177
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