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Theorem fsumadd 13537
Description: The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumadd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumadd.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumadd.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumadd  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumadd
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 00id 9755 . . . . 5  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2 sum0 13519 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
3 sum0 13519 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
42, 3oveq12i 6290 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  (/)  B  +  sum_ k  e.  (/)  C )  =  ( 0  +  0 )
5 sum0 13519 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( B  +  C )  =  0
61, 4, 53eqtr4ri 2481 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  (/)  B  +  sum_ k  e.  (/)  C )
7 sumeq1 13487 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  sum_ k  e.  (/)  ( B  +  C ) )
8 sumeq1 13487 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
9 sumeq1 13487 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
108, 9oveq12d 6296 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C )  =  (
sum_ k  e.  (/)  B  +  sum_ k  e.  (/)  C ) )
116, 7, 103eqtr4a 2508 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
13 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
14 nnuz 11122 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1513, 14syl6eleq 2539 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
16 fsumadd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1716adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
18 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
1917, 18fmptd 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
20 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
21 f1of 5803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
23 fco 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2419, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2524ffvelrnda 6013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
26 fsumadd.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2726adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
28 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
2927, 28fmptd 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
30 fco 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3129, 22, 30syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3231ffvelrnda 6013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
3322ffvelrnda 6013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
34 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  +  C )  e. 
_V
35 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )
3635fvmpt2 5945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( B  +  C
)  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( B  +  C ) )
3734, 36mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( B  +  C ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( B  +  C ) )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
4018fvmpt2 5945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
4139, 16, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
4228fvmpt2 5945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =  C )
4339, 26, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  C )
4441, 43oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( B  +  C ) )
4538, 44eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k ) ) )
4645ralrimiva 2855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
48 nffvmpt1 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `  n
) )
49 nffvmpt1 5861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
50 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  +
51 nffvmpt1 5861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )
5249, 50, 51nfov 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) )
5348, 52nfeq 2614 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
54 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
55 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
56 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
5755, 56oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
5854, 57eqeq12d 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) ) ) )
5953, 58rspc 3188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
)  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) ) ) )
6033, 47, 59sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
61 fvco3 5932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  (
f `  n )
) )
6222, 61sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  (
f `  n )
) )
63 fvco3 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
6422, 63sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
65 fvco3 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
6622, 65sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
6764, 66oveq12d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  +  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  +  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) ) )
6860, 62, 673eqtr4d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  +  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ) )
6915, 25, 32, 68seradd 12125 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  +  (  seq 1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) ) )
70 fveq2 5853 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
7117, 27addcld 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C
)  e.  CC )
7271, 35fmptd 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) : A --> CC )
7372ffvelrnda 6013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  m )  e.  CC )
7470, 13, 20, 73, 62fsum 13518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
75 fveq2 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
7619ffvelrnda 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
7775, 13, 20, 76, 64fsum 13518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
78 fveq2 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
7929ffvelrnda 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  e.  CC )
8078, 13, 20, 79, 66fsum 13518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8177, 80oveq12d 6296 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  +  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  +  (  seq 1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) ) )
8269, 74, 813eqtr4d 2492 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  m )  =  ( sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  +  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ) )
83 sumfc 13507 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)
84 sumfc 13507 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
85 sumfc 13507 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
8684, 85oveq12i 6290 . . . . . 6  |-  ( sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  +  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C )
8782, 83, 863eqtr3g 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
8887expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
8988exlimdv 1709 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
9089expimpd 603 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) ) )
91 fsumadd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
92 fz1f1o 13508 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
9391, 92syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
9412, 90, 93mpjaod 381 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802   A.wral 2791   _Vcvv 3093   (/)c0 3768    |-> cmpt 4492    o. ccom 4990   -->wf 5571   -1-1-onto->wf1o 5574   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   Fincfn 7515   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495   NNcn 10539   ZZ>=cuz 11087   ...cfz 11678    seqcseq 12083   #chash 12381   sum_csu 13484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-sup 7900  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-rp 11227  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-seq 12084  df-exp 12143  df-hash 12382  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045  df-clim 13287  df-sum 13485
This theorem is referenced by:  fsumsplit  13538  fsumsub  13579  binomlem  13617  pcbc  14293  csbren  21696  trirn  21697  ovollb2lem  21769  ovoliunlem1  21783  itg1addlem5  21977  itgsplit  22112  plyaddlem1  22480  basellem8  23230  logfaclbnd  23366  dchrvmasum2if  23551  mudivsum  23584  logsqvma  23596  selberglem1  23599  selberglem2  23600  selberg  23602  selberg2  23605  selberg3lem1  23611  selberg4  23615  pntsval2  23630  ax5seglem9  24109  binomfallfaclem2  29134  dirkertrigeqlem2  31770  altgsumbcALT  32670
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