Theorem fsumabs2mul 8304

Description: The sum of absolute values of the product A(j) x. B(m) is less than or equal to the product of the two sums of absolute values.

Assertion

Ref	Expression
fsumabs2mul	|- (((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC)) -> (abs` sum_j e. (J...K)sum_m e. (M...N)(A x. B)) <_ (sum_j e. (J...K)(abs` A) x. sum_m e. (M...N)(abs` B)))

Distinct variable groups:   A,m   B,j   j,J   j,K   j,m,M   j,N,m

Proof of Theorem fsumabs2mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsum2mul 8297	. . . 4 |- (((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC)) -> sum_j e. (J...K)sum_m e. (M...N)(A x. B) = (sum_j e. (J...K)A x. sum_m e. (M...N)B))
2	1	fveq2d 4685	. . 3 |- (((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC)) -> (abs` sum_j e. (J...K)sum_m e. (M...N)(A x. B)) = (abs` (sum_j e. (J...K)A x. sum_m e. (M...N)B)))
3		absmul 8109	. . . 4 |- ((sum_j e. (J...K)A e. CC /\ sum_m e. (M...N)B e. CC) -> (abs` (sum_j e. (J...K)A x. sum_m e. (M...N)B)) = ((abs` sum_j e. (J...K)A) x. (abs` sum_m e. (M...N)B)))
4		fsumcl 8275	. . . 4 |- ((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) -> sum_j e. (J...K)A e. CC)
5		fsumcl 8275	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC) -> sum_m e. (M...N)B e. CC)
6	3, 4, 5	syl2an 503	. . 3 |- (((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC)) -> (abs` (sum_j e. (J...K)A x. sum_m e. (M...N)B)) = ((abs` sum_j e. (J...K)A) x. (abs` sum_m e. (M...N)B)))
7	2, 6	eqtrd 1925	. 2 |- (((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC)) -> (abs` sum_j e. (J...K)sum_m e. (M...N)(A x. B)) = ((abs` sum_j e. (J...K)A) x. (abs` sum_m e. (M...N)B)))
8		lemul12aOLD 7025	. . 3 |- (((((abs` sum_j e. (J...K)A) e. RR /\ sum_j e. (J...K)(abs` A) e. RR) /\ (0 <_ (abs` sum_j e. (J...K)A) /\ (abs` sum_j e. (J...K)A) <_ sum_j e. (J...K)(abs` A))) /\ (((abs` sum_m e. (M...N)B) e. RR /\ sum_m e. (M...N)(abs` B) e. RR) /\ (0 <_ (abs` sum_m e. (M...N)B) /\ (abs` sum_m e. (M...N)B) <_ sum_m e. (M...N)(abs` B)))) -> ((abs` sum_j e. (J...K)A) x. (abs` sum_m e. (M...N)B)) <_ (sum_j e. (J...K)(abs` A) x. sum_m e. (M...N)(abs` B)))
9		abscl 8084	. . . . 5 |- (sum_j e. (J...K)A e. CC -> (abs` sum_j e. (J...K)A) e. RR)
10	4, 9	syl 12	. . . 4 |- ((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) -> (abs` sum_j e. (J...K)A) e. RR)
11		fsumrecl 8277	. . . . 5 |- ((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)(abs` A) e. RR) -> sum_j e. (J...K)(abs` A) e. RR)
12		abscl 8084	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)
13	12	ralimi 2168	. . . . 5 |- (A.j e. (J...K)A e. CC -> A.j e. (J...K)(abs` A) e. RR)
14	11, 13	sylan2 500	. . . 4 |- ((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) -> sum_j e. (J...K)(abs` A) e. RR)
15		absge0 8105	. . . . . 6 |- (sum_j e. (J...K)A e. CC -> 0 <_ (abs` sum_j e. (J...K)A))
16	4, 15	syl 12	. . . . 5 |- ((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) -> 0 <_ (abs` sum_j e. (J...K)A))
17		fsumabs 8303	. . . . 5 |- ((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) -> (abs` sum_j e. (J...K)A) <_ sum_j e. (J...K)(abs` A))
18	16, 17	jca 310	. . . 4 |- ((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) -> (0 <_ (abs` sum_j e. (J...K)A) /\ (abs` sum_j e. (J...K)A) <_ sum_j e. (J...K)(abs` A)))
19	10, 14, 18	jca31 311	. . 3 |- ((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) -> (((abs` sum_j e. (J...K)A) e. RR /\ sum_j e. (J...K)(abs` A) e. RR) /\ (0 <_ (abs` sum_j e. (J...K)A) /\ (abs` sum_j e. (J...K)A) <_ sum_j e. (J...K)(abs` A))))
20		abscl 8084	. . . . 5 |- (sum_m e. (M...N)B e. CC -> (abs` sum_m e. (M...N)B) e. RR)
21	5, 20	syl 12	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC) -> (abs` sum_m e. (M...N)B) e. RR)
22		fsumrecl 8277	. . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)(abs` B) e. RR) -> sum_m e. (M...N)(abs` B) e. RR)
23		abscl 8084	. . . . . 6 |- (B e. CC -> (abs` B) e. RR)
24	23	ralimi 2168	. . . . 5 |- (A.m e. (M...N)B e. CC -> A.m e. (M...N)(abs` B) e. RR)
25	22, 24	sylan2 500	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC) -> sum_m e. (M...N)(abs` B) e. RR)
26		absge0 8105	. . . . . 6 |- (sum_m e. (M...N)B e. CC -> 0 <_ (abs` sum_m e. (M...N)B))
27	5, 26	syl 12	. . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC) -> 0 <_ (abs` sum_m e. (M...N)B))
28		fsumabs 8303	. . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC) -> (abs` sum_m e. (M...N)B) <_ sum_m e. (M...N)(abs` B))
29	27, 28	jca 310	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC) -> (0 <_ (abs` sum_m e. (M...N)B) /\ (abs` sum_m e. (M...N)B) <_ sum_m e. (M...N)(abs` B)))
30	21, 25, 29	jca31 311	. . 3 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC) -> (((abs` sum_m e. (M...N)B) e. RR /\ sum_m e. (M...N)(abs` B) e. RR) /\ (0 <_ (abs` sum_m e. (M...N)B) /\ (abs` sum_m e. (M...N)B) <_ sum_m e. (M...N)(abs` B))))
31	8, 19, 30	syl2an 503	. 2 |- (((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC)) -> ((abs` sum_j e. (J...K)A) x. (abs` sum_m e. (M...N)B)) <_ (sum_j e. (J...K)(abs` A) x. sum_m e. (M...N)(abs` B)))
32	7, 31	eqbrtrd 3357	1 |- (((K e. (ZZ>=` J) /\ A.j e. (J...K)A e. CC) /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.m e. (M...N)B e. CC)) -> (abs` sum_j e. (J...K)sum_m e. (M...N)(A x. B)) <_ (sum_j e. (J...K)(abs` A) x. sum_m e. (M...N)(abs` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   <_ cle 6448  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637  abscabs 8000  sum_csu 8239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain