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Theorem fsumabs 13578
Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumabs.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumabs.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumabs
Dummy variables  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3523 . 2  |-  A  C_  A
2 fsumabs.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 sumeq1 13474 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
54fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B ) )
6 sumeq1 13474 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) )
75, 6breq12d 4460 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_ 
sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) )
83, 7imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_ 
sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) )  <->  ( (/)  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) ) )
98imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) ) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) ) ) )
10 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
11 sumeq1 13474 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  x  B )
1211fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )
)
13 sumeq1 13474 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )
1412, 13breq12d 4460 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
)  <->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) ) )
1510, 14imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) )  <->  ( x  C_  A  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) ) ) )
1615imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( x 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) ) ) ) )
17 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( x  u.  {
y } )  C_  A ) )
18 sumeq1 13474 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B )
1918fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B ) )
20 sumeq1 13474 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) )
2119, 20breq12d 4460 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  <->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
2217, 21imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) )  <->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) )
2322imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
24 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
25 sumeq1 13474 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
2625fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  A  B )
)
27 sumeq1 13474 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  A  ( abs `  B ) )
2826, 27breq12d 4460 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
)  <->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) ) )
2924, 28imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) )  <->  ( A  C_  A  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B ) ) ) )
3029imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( A 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B ) ) ) ) )
31 0le0 10625 . . . . . 6  |-  0  <_  0
32 sum0 13506 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
3332fveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  =  ( abs `  0 )
34 abs0 13081 . . . . . . 7  |-  ( abs `  0 )  =  0
3533, 34eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  =  0
36 sum0 13506 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B
)  =  0
3731, 35, 363brtr4i 4475 . . . . 5  |-  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B
)
3837a1ii 27 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) )
39 ssun1 3667 . . . . . . . . . 10  |-  x  C_  ( x  u.  { y } )
40 sstr 3512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  ( x  u.  { y } )  /\  ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A )  ->  x  C_  A )
4139, 40mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  x  C_  A )
4241imim1i 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )  ->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) ) )
43 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ph )
4443, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  A  e.  Fin )
45 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  u.  { y } )  C_  A
)
4645unssad 3681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  x  C_  A )
47 ssfi 7740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  C_  A )  ->  x  e.  Fin )
4844, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  x  e.  Fin )
4946sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  A )
50 fsumabs.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5143, 50sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5249, 51syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  x )  ->  B  e.  CC )
5348, 52fsumcl 13518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  x  B  e.  CC )
5453abscld 13230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  e.  RR )
5552abscld 13230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  x )  ->  ( abs `  B
)  e.  RR )
5648, 55fsumrecl 13519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  e.  RR )
5745unssbd 3682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  { y }  C_  A )
58 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
5958snss 4151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  A  <->  { y }  C_  A )
6057, 59sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  y  e.  A )
6150ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
6243, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
63 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ y  /  k ]_ B
6463nfel1 2645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k
[_ y  /  k ]_ B  e.  CC
65 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  B  =  [_ y  /  k ]_ B )
6665eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ y  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
6764, 66rspc 3208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ y  /  k ]_ B  e.  CC )
)
6860, 62, 67sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  [_ y  /  k ]_ B  e.  CC )
6968abscld 13230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  [_ y  / 
k ]_ B )  e.  RR )
7054, 56, 69leadd1d 10146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
)  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  <_  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) ) )
71 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  -.  y  e.  x )
72 disjsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  x )
7371, 72sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  i^i  { y } )  =  (/) )
74 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  u.  { y } )  =  ( x  u.  { y } ) )
75 ssfi 7740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  u.  { y } )  e.  Fin )
7644, 45, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  u.  { y } )  e.  Fin )
7745sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  k  e.  A )
7877, 51syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  B  e.  CC )
7978abscld 13230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
8079recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
8173, 74, 76, 80fsumsplit 13525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B
) ) )
82 csbfv2g 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )
8358, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
)
8469recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  [_ y  / 
k ]_ B )  e.  CC )
8583, 84syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  e.  CC )
86 sumsns 13528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  _V  /\  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B
)  =  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B ) )
8758, 85, 86sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B )  = 
[_ y  /  k ]_ ( abs `  B
) )
8887, 83syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )
8988oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  sum_ k  e.  {
y }  ( abs `  B ) )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
9081, 89eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
9190breq2d 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
)  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  <_  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) ) )
9270, 91bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
)  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) )
9373, 74, 76, 78fsumsplit 13525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  sum_ k  e.  { y } B ) )
94 sumsns 13528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  A  /\  [_ y  /  k ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
y } B  = 
[_ y  /  k ]_ B )
9560, 68, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  { y } B  =  [_ y  /  k ]_ B )
9695oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  +  sum_ k  e.  {
y } B )  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  /  k ]_ B ) )
9793, 96eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  /  k ]_ B ) )
9897fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  =  ( abs `  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  / 
k ]_ B ) ) )
9953, 68abstrid 13250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) ) )
10098, 99eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
10176, 78fsumcl 13518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B  e.  CC )
102101abscld 13230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  e.  RR )
10354, 69readdcld 9623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  e.  RR )
10476, 79fsumrecl 13519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  e.  RR )
105 letr 9678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  e.  RR  /\  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  /\  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
106102, 103, 104, 105syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  /\  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
107100, 106mpand 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
10892, 107sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
109108ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) ) )
110109a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) ) )
11142, 110syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) )  ->  (
( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) )
112111expcom 435 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  x  -> 
( ph  ->  ( ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )  ->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
113112a2d 26 . . . . 5  |-  ( -.  y  e.  x  -> 
( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
114113adantl 466 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
1159, 16, 23, 30, 38, 114findcard2s 7761 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) ) ) )
1162, 115mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) ) )
1171, 116mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [_csb 3435    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492    + caddc 9495    <_ cle 9629   abscabs 13030   sum_csu 13471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472
This theorem is referenced by:  o1fsum  13590  seqabs  13591  cvgcmpce  13595  mertenslem1  13656  dvfsumabs  22187  mtest  22561  mtestbdd  22562  abelthlem7  22595  fsumharmonic  23097  ftalem1  23102  ftalem5  23106  dchrisumlem2  23431  dchrmusum2  23435  dchrvmasumlem3  23440  dchrvmasumiflem1  23442  dchrisum0lem1  23457  dchrisum0lem2a  23458  mudivsum  23471  mulogsumlem  23472  2vmadivsumlem  23481  selberglem2  23487  selberg3lem1  23498  selberg4lem1  23501  pntrsumbnd  23507  pntrlog2bndlem1  23518  pntrlog2bndlem3  23520  fourierdlem73  31508
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