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Theorem fsumabs 13938
Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumabs.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumabs.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumabs
Dummy variables  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3437 . 2  |-  A  C_  A
2 fsumabs.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 sumeq1 13832 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
54fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B ) )
6 sumeq1 13832 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) )
75, 6breq12d 4408 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_ 
sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) )
83, 7imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_ 
sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) )  <->  ( (/)  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) ) )
98imbi2d 323 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) ) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) ) ) )
10 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
11 sumeq1 13832 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  x  B )
1211fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )
)
13 sumeq1 13832 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )
1412, 13breq12d 4408 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
)  <->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) ) )
1510, 14imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) )  <->  ( x  C_  A  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) ) ) )
1615imbi2d 323 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( x 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) ) ) ) )
17 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( x  u.  {
y } )  C_  A ) )
18 sumeq1 13832 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B )
1918fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B ) )
20 sumeq1 13832 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) )
2119, 20breq12d 4408 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  <->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
2217, 21imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) )  <->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) )
2322imbi2d 323 . . . 4  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
24 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
25 sumeq1 13832 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
2625fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  A  B )
)
27 sumeq1 13832 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  A  ( abs `  B ) )
2826, 27breq12d 4408 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
)  <->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) ) )
2924, 28imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) )  <->  ( A  C_  A  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B ) ) ) )
3029imbi2d 323 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( A 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B ) ) ) ) )
31 0le0 10721 . . . . . 6  |-  0  <_  0
32 sum0 13864 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
3332fveq2i 5882 . . . . . . 7  |-  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  =  ( abs `  0 )
34 abs0 13425 . . . . . . 7  |-  ( abs `  0 )  =  0
3533, 34eqtri 2493 . . . . . 6  |-  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  =  0
36 sum0 13864 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B
)  =  0
3731, 35, 363brtr4i 4424 . . . . 5  |-  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B
)
38372a1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) )
39 ssun1 3588 . . . . . . . . . 10  |-  x  C_  ( x  u.  { y } )
40 sstr 3426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  ( x  u.  { y } )  /\  ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A )  ->  x  C_  A )
4139, 40mpan 684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  x  C_  A )
4241imim1i 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )  ->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) ) )
43 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ph )
4443, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  A  e.  Fin )
45 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  u.  { y } )  C_  A
)
4645unssad 3602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  x  C_  A )
47 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  C_  A )  ->  x  e.  Fin )
4844, 46, 47syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  x  e.  Fin )
4946sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  A )
50 fsumabs.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5143, 50sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5249, 51syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  x )  ->  B  e.  CC )
5348, 52fsumcl 13876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  x  B  e.  CC )
5453abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  e.  RR )
5552abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  x )  ->  ( abs `  B
)  e.  RR )
5648, 55fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  e.  RR )
5745unssbd 3603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  { y }  C_  A )
58 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
5958snss 4087 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  A  <->  { y }  C_  A )
6057, 59sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  y  e.  A )
6150ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
6243, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
63 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ y  /  k ]_ B
6463nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k
[_ y  /  k ]_ B  e.  CC
65 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  B  =  [_ y  /  k ]_ B )
6665eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ y  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
6764, 66rspc 3130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ y  /  k ]_ B  e.  CC )
)
6860, 62, 67sylc 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  [_ y  /  k ]_ B  e.  CC )
6968abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  [_ y  / 
k ]_ B )  e.  RR )
7054, 56, 69leadd1d 10228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
)  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  <_  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) ) )
71 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  -.  y  e.  x )
72 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  x )
7371, 72sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  i^i  { y } )  =  (/) )
74 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  u.  { y } )  =  ( x  u.  { y } ) )
75 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  u.  { y } )  e.  Fin )
7644, 45, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  u.  { y } )  e.  Fin )
7745sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  k  e.  A )
7877, 51syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  B  e.  CC )
7978abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
8079recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
8173, 74, 76, 80fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B
) ) )
82 csbfv2g 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )
8358, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
)
8469recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  [_ y  / 
k ]_ B )  e.  CC )
8583, 84syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  e.  CC )
86 sumsns 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  _V  /\  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B
)  =  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B ) )
8758, 85, 86sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B )  = 
[_ y  /  k ]_ ( abs `  B
) )
8887, 83syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )
8988oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  sum_ k  e.  {
y }  ( abs `  B ) )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
9081, 89eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
9190breq2d 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
)  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  <_  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) ) )
9270, 91bitr4d 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
)  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) )
9373, 74, 76, 78fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  sum_ k  e.  { y } B ) )
94 sumsns 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  A  /\  [_ y  /  k ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
y } B  = 
[_ y  /  k ]_ B )
9560, 68, 94syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  { y } B  =  [_ y  /  k ]_ B )
9695oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  +  sum_ k  e.  {
y } B )  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  /  k ]_ B ) )
9793, 96eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  /  k ]_ B ) )
9897fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  =  ( abs `  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  / 
k ]_ B ) ) )
9953, 68abstrid 13595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) ) )
10098, 99eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
10176, 78fsumcl 13876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B  e.  CC )
102101abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  e.  RR )
10354, 69readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  e.  RR )
10476, 79fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  e.  RR )
105 letr 9745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  e.  RR  /\  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  /\  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
106102, 103, 104, 105syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  /\  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
107100, 106mpand 689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
10892, 107sylbid 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
109108ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) ) )
110109a2d 28 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) ) )
11142, 110syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) )  ->  (
( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) )
112111expcom 442 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  x  -> 
( ph  ->  ( ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )  ->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
113112a2d 28 . . . . 5  |-  ( -.  y  e.  x  -> 
( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
114113adantl 473 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
1159, 16, 23, 30, 38, 114findcard2s 7830 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) ) ) )
1162, 115mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) ) )
1171, 116mpi 20 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [_csb 3349    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560    <_ cle 9694   abscabs 13374   sum_csu 13829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830
This theorem is referenced by:  o1fsum  13950  seqabs  13951  cvgcmpce  13955  mertenslem1  14017  dvfsumabs  23054  mtest  23438  mtestbdd  23439  abelthlem7  23472  fsumharmonic  24016  ftalem1  24076  ftalem5  24080  ftalem5OLD  24082  dchrisumlem2  24407  dchrmusum2  24411  dchrvmasumlem3  24416  dchrvmasumiflem1  24418  dchrisum0lem1  24433  dchrisum0lem2a  24434  mudivsum  24447  mulogsumlem  24448  2vmadivsumlem  24457  selberglem2  24463  selberg3lem1  24474  selberg4lem1  24477  pntrsumbnd  24483  pntrlog2bndlem1  24494  pntrlog2bndlem3  24496  fourierdlem73  38155  etransclem23  38234
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