Theorem fsum3 7147

Description: The sum of three terms.

Hypothesis

Ref	Expression
fsum2.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
fsum3	|- (M e. ZZ -> sum_k e. (M...(M + 2))A = (([_M / k]_A + [_(M + 1) / k]_A) + [_(M + 2) / k]_A))

Proof of Theorem fsum3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 6487	. . 3 |- (M e. ZZ -> M e. (ZZ>` M))
2		peano2uz 6507	. . 3 |- (M e. (ZZ>` M) -> (M + 1) e. (ZZ>` M))
3		fsum2.1	. . . 4 |- A e. V
4	3	fsump1slem 7135	. . 3 |- ((M + 1) e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...((M + 1) + 1))A = (sum_k e. (M...(M + 1))A + [_((M + 1) + 1) / k]_A))
5	1, 2, 4	3syl 20	. 2 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (M...((M + 1) + 1))A = (sum_k e. (M...(M + 1))A + [_((M + 1) + 1) / k]_A))
6		zcn 6250	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> M e. CC)
7		ax1cn 5358	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
8		addass 5396	. . . . . . 7 |- ((M e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((M + 1) + 1) = (M + (1 + 1)))
9	7, 7, 8	mp3an23 911	. . . . . 6 |- (M e. CC -> ((M + 1) + 1) = (M + (1 + 1)))
10	6, 9	syl 10	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> ((M + 1) + 1) = (M + (1 + 1)))
11		df-2 6058	. . . . . 6 |- 2 = (1 + 1)
12	11	opreq2i 4048	. . . . 5 |- (M + 2) = (M + (1 + 1))
13	10, 12	syl6eqr 1562	. . . 4 |- (M e. ZZ -> ((M + 1) + 1) = (M + 2))
14	13	opreq2d 4052	. . 3 |- (M e. ZZ -> (M...((M + 1) + 1)) = (M...(M + 2)))
15	14	sumeq1d 7113	. 2 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (M...((M + 1) + 1))A = sum_k e. (M...(M + 2))A)
16	3	fsum2 7146	. . 3 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (M...(M + 1))A = ([_M / k]_A + [_(M + 1) / k]_A))
17	13	csbeq1d 2047	. . 3 |- (M e. ZZ -> [_((M + 1) + 1) / k]_A = [_(M + 2) / k]_A)
18	16, 17	opreq12d 4054	. 2 |- (M e. ZZ -> (sum_k e. (M...(M + 1))A + [_((M + 1) + 1) / k]_A) = (([_M / k]_A + [_(M + 1) / k]_A) + [_(M + 2) / k]_A))
19	5, 15, 18	3eqtr3d 1552	1 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (M...(M + 2))A = (([_M / k]_A + [_(M + 1) / k]_A) + [_(M + 2) / k]_A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 988   e. wcel 990  Vcvv 1849  [_csb 2043  ` cfv 3237  (class class class)co 4039  CCcc 5321  1c1 5324   + caddc 5326  ZZcz 5387  2c2 6049  ZZ>cuz 6477  ...cfz 6527  sum_csu 7102

This theorem is referenced by:  fsum4 7148

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-n 6012  df-2 6058  df-n0 6210  df-z 6246  df-uz 6478  df-fz 6528  df-seq1 6601  df-shft 6634  df-seqz 6656  df-sum 7103

Copyright terms: Public domain