MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2cn Structured version   Unicode version

Theorem fsum2cn 21243
Description: Version of fsumcn 21242 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
fsumcn.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
fsumcn.5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsum2cn.7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
fsum2cn.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
fsum2cn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, A    k, J, x, y    k, L    ph, k, x, y    k, K, x, y    k, X, x, y    k, Y, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y, k)    L( x, y)

Proof of Theorem fsum2cn
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ u sum_ k  e.  A  B
2 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ v sum_ k  e.  A  B
3 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ x A
4 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ x
v
5 nfcsb1v 3456 . . . . . 6  |-  F/_ x [_ u  /  x ]_ B
64, 5nfcsb 3458 . . . . 5  |-  F/_ x [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
73, 6nfsum 13493 . . . 4  |-  F/_ x sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
8 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ y A
9 nfcsb1v 3456 . . . . 5  |-  F/_ y [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
108, 9nfsum 13493 . . . 4  |-  F/_ y sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
11 csbeq1a 3449 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  B  =  [_ u  /  x ]_ B )
12 csbeq1a 3449 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  [_ u  /  x ]_ B  = 
[_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
1311, 12sylan9eq 2528 . . . . 5  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  B  =  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
1413sumeq2sdv 13506 . . . 4  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
151, 2, 7, 10, 14cbvmpt2 6371 . . 3  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  B )  =  ( u  e.  X ,  v  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
16 vex 3121 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
17 vex 3121 . . . . . . . 8  |-  v  e. 
_V
1816, 17op2ndd 6806 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  v )
1918csbeq1d 3447 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )
2016, 17op1std 6805 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  u )
2120csbeq1d 3447 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ u  /  x ]_ B )
2221csbeq2dv 3840 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ v  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2319, 22eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2423sumeq2sdv 13506 . . . 4  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  A  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2524mpt2mpt 6389 . . 3  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z )  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )  =  ( u  e.  X , 
v  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2615, 25eqtr4i 2499 . 2  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  B )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
27 fsumcn.3 . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
28 fsumcn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
29 fsum2cn.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
30 txtopon 19960 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
3128, 29, 30syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
32 fsumcn.5 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
33 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ u B
34 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ v B
3533, 34, 6, 9, 13cbvmpt2 6371 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( u  e.  X ,  v  e.  Y  |->  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
3623mpt2mpt 6389 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  [_ ( 2nd `  z )  / 
y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )  =  ( u  e.  X , 
v  e.  Y  |->  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
3735, 36eqtr4i 2499 . . . 4  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
38 fsum2cn.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K ) )
3937, 38syl5eqelr 2560 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  [_ ( 2nd `  z )  /  y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K
) )
4027, 31, 32, 39fsumcn 21242 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
4126, 40syl5eqel 2559 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   [_csb 3440   <.cop 4039    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   1stc1st 6793   2ndc2nd 6794   Fincfn 7528   sum_csu 13488   TopOpenctopn 14694  ℂfldccnfld 18290  TopOnctopon 19264    Cn ccn 19593    tX ctx 19929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693
This theorem is referenced by:  dipcn  25456
  Copyright terms: Public domain W3C validator