MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2cn Structured version   Unicode version

Theorem fsum2cn 21501
Description: Version of fsumcn 21500 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
fsumcn.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
fsumcn.5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsum2cn.7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
fsum2cn.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
fsum2cn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, A    k, J, x, y    k, L    ph, k, x, y    k, K, x, y    k, X, x, y    k, Y, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y, k)    L( x, y)

Proof of Theorem fsum2cn
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2619 . . . 4  |-  F/_ u sum_ k  e.  A  B
2 nfcv 2619 . . . 4  |-  F/_ v sum_ k  e.  A  B
3 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ x A
4 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ x
v
5 nfcsb1v 3446 . . . . . 6  |-  F/_ x [_ u  /  x ]_ B
64, 5nfcsb 3448 . . . . 5  |-  F/_ x [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
73, 6nfsum 13525 . . . 4  |-  F/_ x sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
8 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ y A
9 nfcsb1v 3446 . . . . 5  |-  F/_ y [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
108, 9nfsum 13525 . . . 4  |-  F/_ y sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
11 csbeq1a 3439 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  B  =  [_ u  /  x ]_ B )
12 csbeq1a 3439 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  [_ u  /  x ]_ B  = 
[_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
1311, 12sylan9eq 2518 . . . . 5  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  B  =  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
1413sumeq2sdv 13538 . . . 4  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
151, 2, 7, 10, 14cbvmpt2 6375 . . 3  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  B )  =  ( u  e.  X ,  v  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
16 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
17 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  v  e. 
_V
1816, 17op2ndd 6810 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  v )
1918csbeq1d 3437 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )
2016, 17op1std 6809 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  u )
2120csbeq1d 3437 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ u  /  x ]_ B )
2221csbeq2dv 3843 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ v  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2319, 22eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2423sumeq2sdv 13538 . . . 4  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  A  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2524mpt2mpt 6393 . . 3  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z )  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )  =  ( u  e.  X , 
v  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2615, 25eqtr4i 2489 . 2  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  B )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
27 fsumcn.3 . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
28 fsumcn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
29 fsum2cn.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
30 txtopon 20218 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
3128, 29, 30syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
32 fsumcn.5 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
33 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ u B
34 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ v B
3533, 34, 6, 9, 13cbvmpt2 6375 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( u  e.  X ,  v  e.  Y  |->  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
3623mpt2mpt 6393 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  [_ ( 2nd `  z )  / 
y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )  =  ( u  e.  X , 
v  e.  Y  |->  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
3735, 36eqtr4i 2489 . . . 4  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
38 fsum2cn.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K ) )
3937, 38syl5eqelr 2550 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  [_ ( 2nd `  z )  /  y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K
) )
4027, 31, 32, 39fsumcn 21500 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
4126, 40syl5eqel 2549 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   [_csb 3430   <.cop 4038    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   Fincfn 7535   sum_csu 13520   TopOpenctopn 14839  ℂfldccnfld 18547  TopOnctopon 19522    Cn ccn 19852    tX ctx 20187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951
This theorem is referenced by:  dipcn  25760
  Copyright terms: Public domain W3C validator