MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2cn Structured version   Unicode version

Theorem fsum2cn 20406
Description: Version of fsumcn 20405 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
fsumcn.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
fsumcn.5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsum2cn.7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
fsum2cn.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
fsum2cn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, A    k, J, x, y    k, L    ph, k, x, y    k, K, x, y    k, X, x, y    k, Y, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y, k)    L( x, y)

Proof of Theorem fsum2cn
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2577 . . . 4  |-  F/_ u sum_ k  e.  A  B
2 nfcv 2577 . . . 4  |-  F/_ v sum_ k  e.  A  B
3 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ x A
4 nfcv 2577 . . . . . 6  |-  F/_ x
v
5 nfcsb1v 3301 . . . . . 6  |-  F/_ x [_ u  /  x ]_ B
64, 5nfcsb 3303 . . . . 5  |-  F/_ x [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
73, 6nfsum 13164 . . . 4  |-  F/_ x sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
8 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ y A
9 nfcsb1v 3301 . . . . 5  |-  F/_ y [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
108, 9nfsum 13164 . . . 4  |-  F/_ y sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B
11 csbeq1a 3294 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  B  =  [_ u  /  x ]_ B )
12 csbeq1a 3294 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  [_ u  /  x ]_ B  = 
[_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
1311, 12sylan9eq 2493 . . . . 5  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  B  =  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
1413sumeq2sdv 13177 . . . 4  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
151, 2, 7, 10, 14cbvmpt2 6164 . . 3  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  B )  =  ( u  e.  X ,  v  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
16 vex 2973 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
17 vex 2973 . . . . . . . 8  |-  v  e. 
_V
1816, 17op2ndd 6587 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  v )
1918csbeq1d 3292 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )
2016, 17op1std 6586 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  u )
2120csbeq1d 3292 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ u  /  x ]_ B )
2221csbeq2dv 3684 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ v  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2319, 22eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2423sumeq2sdv 13177 . . . 4  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  A  [_ v  / 
y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2524mpt2mpt 6181 . . 3  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z )  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )  =  ( u  e.  X , 
v  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
2615, 25eqtr4i 2464 . 2  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  sum_ k  e.  A  B )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
27 fsumcn.3 . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
28 fsumcn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
29 fsum2cn.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
30 txtopon 19123 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
3128, 29, 30syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
32 fsumcn.5 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
33 nfcv 2577 . . . . . 6  |-  F/_ u B
34 nfcv 2577 . . . . . 6  |-  F/_ v B
3533, 34, 6, 9, 13cbvmpt2 6164 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( u  e.  X ,  v  e.  Y  |->  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
3623mpt2mpt 6181 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  [_ ( 2nd `  z )  / 
y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )  =  ( u  e.  X , 
v  e.  Y  |->  [_ v  /  y ]_ [_ u  /  x ]_ B )
3735, 36eqtr4i 2464 . . . 4  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
38 fsum2cn.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K ) )
3937, 38syl5eqelr 2526 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  [_ ( 2nd `  z )  /  y ]_ [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B )  e.  ( ( J  tX  L )  Cn  K
) )
4027, 31, 32, 39fsumcn 20405 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  sum_ k  e.  A  [_ ( 2nd `  z
)  /  y ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
4126, 40syl5eqel 2525 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( ( J  tX  L
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   [_csb 3285   <.cop 3880    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575   Fincfn 7306   sum_csu 13159   TopOpenctopn 14356  ℂfldccnfld 17777  TopOnctopon 18458    Cn ccn 18787    tX ctx 19092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856
This theorem is referenced by:  dipcn  24053
  Copyright terms: Public domain W3C validator