Theorem fsum1s 7132

Description: The finite sum of a sequence A(k) from M to M (i.e. a sum with only one term) is A(M).

Assertion

Ref	Expression
fsum1s	|- ((M e. ZZ /\ A.k e. (M...M)A e. B) -> sum_k e. (M...M)A = [_M / k]_A)

Distinct variable group:   k,M

Proof of Theorem fsum1s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		class2set 2785	. . . . 5 |- {x e. A | A e. V} e. V
2	1	fsum1slem 7131	. . . 4 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (M...M){x e. A | A e. V} = [_M / k]_{x e. A | A e. V})
3	2	adantr 389	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ A.k e. (M...M)A e. V) -> sum_k e. (M...M){x e. A | A e. V} = [_M / k]_{x e. A | A e. V})
4		class2seteq 2786	. . . . . 6 |- (A e. V -> {x e. A | A e. V} = A)
5	4	r19.20si 1744	. . . . 5 |- (A.k e. (M...M)A e. V -> A.k e. (M...M){x e. A | A e. V} = A)
6	5	sumeq2d 7114	. . . 4 |- (A.k e. (M...M)A e. V -> sum_k e. (M...M){x e. A | A e. V} = sum_k e. (M...M)A)
7	6	adantl 388	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ A.k e. (M...M)A e. V) -> sum_k e. (M...M){x e. A | A e. V} = sum_k e. (M...M)A)
8		fz1sbc 6577	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> (A.k e. (M...M)A e. V <-> [M / k]A e. V))
9		equid 1158	. . . . . . 7 |- x = x
10	4	a1i 8	. . . . . . . 8 |- (x = x -> (A e. V -> {x e. A | A e. V} = A))
11	10	sbc19.20dv 2025	. . . . . . 7 |- ((x = x /\ M e. ZZ) -> ([M / k]A e. V -> [M / k]{x e. A | A e. V} = A))
12	9, 11	mpan 698	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> ([M / k]A e. V -> [M / k]{x e. A | A e. V} = A))
13	8, 12	sylbid 201	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> (A.k e. (M...M)A e. V -> [M / k]{x e. A | A e. V} = A))
14		sbceqdig 2055	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> ([M / k]{x e. A | A e. V} = A <-> [_M / k]_{x e. A | A e. V} = [_M / k]_A))
15	13, 14	sylibd 200	. . . 4 |- (M e. ZZ -> (A.k e. (M...M)A e. V -> [_M / k]_{x e. A | A e. V} = [_M / k]_A))
16	15	imp 348	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ A.k e. (M...M)A e. V) -> [_M / k]_{x e. A | A e. V} = [_M / k]_A)
17	3, 7, 16	3eqtr3d 1552	. 2 |- ((M e. ZZ /\ A.k e. (M...M)A e. V) -> sum_k e. (M...M)A = [_M / k]_A)
18		elisset 1855	. . 3 |- (A e. B -> A e. V)
19	18	r19.20si 1744	. 2 |- (A.k e. (M...M)A e. B -> A.k e. (M...M)A e. V)
20	17, 19	sylan2 453	1 |- ((M e. ZZ /\ A.k e. (M...M)A e. B) -> sum_k e. (M...M)A = [_M / k]_A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 988   e. wcel 990  [wsbc 1203  A.wral 1683  {crab 1686  Vcvv 1849  [_csb 2043  (class class class)co 4039  ZZcz 5387  ...cfz 6527  sum_csu 7102

This theorem is referenced by:  fsum1s2 7133  fsumcllem 7137  fsum1ps 7141  fsumsplit 7143  fsumadd 7145  fsumcom 7151  fsumrev 7152  fsummulc1 7156  fsumcmp 7163  fsumabs 7166  fsumcnlem 8109

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-n 6012  df-n0 6210  df-z 6246  df-uz 6478  df-fz 6528  df-seq1 6601  df-shft 6634  df-seqz 6656  df-sum 7103

Copyright terms: Public domain