MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum1 Structured version   Unicode version

Theorem fsum1 13715
Description: The finite sum of  A ( k ) from  k  =  M to  M (i.e. a sum with only one term) is  B i.e.  A ( M ). (Contributed by NM, 8-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fsum1.1  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
fsum1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( M ... M ) A  =  B )
Distinct variable groups:    B, k    k, M
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fsum1
StepHypRef Expression
1 fzsn 11782 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  B  e.  CC )  ->  ( M ... M
)  =  { M } )
32sumeq1d 13674 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( M ... M ) A  =  sum_ k  e.  { M } A
)
4 fsum1.1 . . 3  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
54sumsn 13714 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
63, 5eqtrd 2445 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( M ... M ) A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   {csn 3974  (class class class)co 6280   CCcc 9522   ZZcz 10907   ...cfz 11728   sum_csu 13659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-sum 13660
This theorem is referenced by:  binom  13795  bcxmas  13800  isum1p  13806  bpoly1  13998  bpoly2  14004  bpoly3  14005  bpoly4  14006  itgcnlem  22490  ply1termlem  22894  plyco  22932  0dgr  22936  0dgrb  22937  coefv0  22939  coemulc  22946  vieta1lem2  23001  vieta1  23002  emcllem7  23659  1sgmprm  23857  chtublem  23869  logfacbnd3  23881  logexprlim  23883  log2sumbnd  24112  axlowdimlem16  24689  ipval2  26044  subfacval2  29497  bccolsum  29961  fwddifn0  30515  itgspltprt  37159  stoweidlem20  37183  dirkertrigeqlem1  37261  dirkertrigeqlem3  37263
  Copyright terms: Public domain W3C validator