MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum0diag2 Structured version   Unicode version

Theorem fsum0diag2 13557
Description: Two ways to express "the sum of  A ( j ,  k ) over the triangular region  0  <_  j, 
0  <_  k,  j  +  k  <_  N." (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum0diag2.1  |-  ( x  =  k  ->  B  =  A )
fsum0diag2.2  |-  ( x  =  ( k  -  j )  ->  B  =  C )
fsum0diag2.3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsum0diag2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) A  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) C )
Distinct variable groups:    j, k, x, N    ph, j, k    B, k    x, A    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( j, k)    B( x, j)    C( j, k)

Proof of Theorem fsum0diag2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fznn0sub2 11775 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) )  ->  (
( N  -  j
)  -  n )  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) )
21ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  -> 
( ( N  -  j )  -  n
)  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) )
3 fsum0diag2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  ->  A  e.  CC )
43expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )  ->  A  e.  CC )
)
54ralrimiv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) A  e.  CC )
6 fsum0diag2.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  B  =  A )
76eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  CC  <->  A  e.  CC ) )
87cbvralv 3088 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC  <->  A. k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) A  e.  CC )
95, 8sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A. x  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) B  e.  CC )
109adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  ->  A. x  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC )
11 nfcsb1v 3451 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B
1211nfel1 2645 . . . . . . 7  |-  F/ x [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B  e.  CC
13 csbeq1a 3444 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( N  -  j )  -  n )  ->  B  =  [_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
1413eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( N  -  j )  -  n )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B  e.  CC ) )
1512, 14rspc 3208 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  -  j
)  -  n )  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) )  ->  ( A. x  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC  ->  [_ (
( N  -  j
)  -  n )  /  x ]_ B  e.  CC ) )
162, 10, 15sylc 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) ) )  ->  [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B  e.  CC )
1716fsum0diag 13551 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  n ) )
[_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
18 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ k  /  x ]_ B
1918nfel1 2645 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ k  /  x ]_ B  e.  CC
20 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  B  =  [_ k  /  x ]_ B )
2120eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ k  /  x ]_ B  e.  CC ) )
2219, 21rspc 3208 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) )  ->  ( A. x  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC  ->  [_ k  /  x ]_ B  e.  CC ) )
239, 22mpan9 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  [_ k  /  x ]_ B  e.  CC )
24 csbeq1 3438 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  ->  [_ k  /  x ]_ B  = 
[_ ( ( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  /  x ]_ B )
2523, 24fsumrev2 13556 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) [_ k  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) [_ (
( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  /  x ]_ B
)
26 elfz3nn0 11767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  N  e.  NN0 )
28 elfzelz 11684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  j  e.  ZZ )
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  j  e.  ZZ )
30 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
31 zcn 10865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  CC )
32 subcl 9815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( N  -  j
)  e.  CC )
3330, 31, 32syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  -  j
)  e.  CC )
3427, 29, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  ( N  -  j )  e.  CC )
35 addid2 9758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  j )  e.  CC  ->  (
0  +  ( N  -  j ) )  =  ( N  -  j ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  (
0  +  ( N  -  j ) )  =  ( N  -  j ) )
3736oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  (
( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
3837csbeq1d 3442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) )  ->  [_ (
( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  /  x ]_ B  =  [_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
3938sumeq2dv 13484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) [_ ( ( 0  +  ( N  -  j ) )  -  n )  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) [_ (
( N  -  j
)  -  n )  /  x ]_ B
)
4025, 39eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) [_ k  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) [_ (
( N  -  j
)  -  n )  /  x ]_ B
)
4140sumeq2dv 13484 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )
[_ k  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) [_ (
( N  -  j
)  -  n )  /  x ]_ B
)
42 elfz3nn0 11767 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
4342adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  NN0 )
44 addid2 9758 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  CC  ->  (
0  +  N )  =  N )
4543, 30, 443syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  +  N )  =  N )
4645oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( 0  +  N
)  -  n )  =  ( N  -  n ) )
4746oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0 ... ( ( 0  +  N )  -  n ) )  =  ( 0 ... ( N  -  n )
) )
4846oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  n )  -  j ) )
4948adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  n )  -  j ) )
5042ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  N  e.  NN0 )
51 elfzelz 11684 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ZZ )
5251ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  n  e.  ZZ )
53 elfzelz 11684 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  n
) )  ->  j  e.  ZZ )
5453adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  j  e.  ZZ )
55 zcn 10865 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
56 sub32 9849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  n  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  (
( N  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
5730, 55, 31, 56syl3an 1270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( N  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
5850, 52, 54, 57syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  (
( N  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
5949, 58eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  =  ( ( N  -  j )  -  n ) )
6059csbeq1d 3442 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  n )
) )  ->  [_ (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  /  x ]_ B  =  [_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
6147, 60sumeq12rdv 13488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... (
( 0  +  N
)  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N
)  -  n )  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  n ) ) [_ ( ( N  -  j )  -  n
)  /  x ]_ B )
6261sumeq2dv 13484 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... ( ( 0  +  N )  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N )  -  n )  -  j
)  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  n ) )
[_ ( ( N  -  j )  -  n )  /  x ]_ B )
6317, 41, 623eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )
[_ k  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... (
( 0  +  N
)  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N
)  -  n )  -  j )  /  x ]_ B )
64 fzfid 12047 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0 ... k )  e. 
Fin )
65 elfzuz3 11681 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
6665adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
67 elfzuz3 11681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
6867adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
6968adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
70 elfzuzb 11678 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( j ... N )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
7166, 69, 70sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  k  e.  ( j ... N
) )
72 elfzelz 11684 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  j  e.  ZZ )
7372adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  j  e.  ZZ )
74 elfzel2 11682 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
7574ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  N  e.  ZZ )
76 elfzelz 11684 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  k  e.  ZZ )
78 fzsubel 11715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( j ... N )  <-> 
( k  -  j
)  e.  ( ( j  -  j ) ... ( N  -  j ) ) ) )
7973, 75, 77, 73, 78syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  e.  ( j ... N )  <->  ( k  -  j )  e.  ( ( j  -  j ) ... ( N  -  j )
) ) )
8071, 79mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  j )  e.  ( ( j  -  j ) ... ( N  -  j
) ) )
81 subid 9834 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  -  j )  =  0 )
8273, 31, 813syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
j  -  j )  =  0 )
8382oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( j  -  j
) ... ( N  -  j ) )  =  ( 0 ... ( N  -  j )
) )
8480, 83eleqtrd 2557 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  j )  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) ) )
85 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ph )
86 fzss2 11719 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( 0 ... k )  C_  ( 0 ... N
) )
8768, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0 ... k )  C_  ( 0 ... N
) )
8887sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  j  e.  ( 0 ... N
) )
8985, 88, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  A. x  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) B  e.  CC )
90 nfcsb1v 3451 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ ( k  -  j
)  /  x ]_ B
9190nfel1 2645 . . . . . . 7  |-  F/ x [_ ( k  -  j
)  /  x ]_ B  e.  CC
92 csbeq1a 3444 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  -  j )  ->  B  =  [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B )
9392eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  -  j )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  e.  CC ) )
9491, 93rspc 3208 . . . . . 6  |-  ( ( k  -  j )  e.  ( 0 ... ( N  -  j
) )  ->  ( A. x  e.  (
0 ... ( N  -  j ) ) B  e.  CC  ->  [_ (
k  -  j )  /  x ]_ B  e.  CC ) )
9584, 89, 94sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  [_ (
k  -  j )  /  x ]_ B  e.  CC )
9664, 95fsumcl 13514 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  e.  CC )
97 oveq2 6290 . . . . 5  |-  ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  ->  (
0 ... k )  =  ( 0 ... (
( 0  +  N
)  -  n ) ) )
98 oveq1 6289 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  ->  (
k  -  j )  =  ( ( ( 0  +  N )  -  n )  -  j ) )
9998csbeq1d 3442 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  ->  [_ (
k  -  j )  /  x ]_ B  =  [_ ( ( ( 0  +  N )  -  n )  -  j )  /  x ]_ B )
10099adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  /\  j  e.  ( 0 ... k ) )  ->  [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  [_ (
( ( 0  +  N )  -  n
)  -  j )  /  x ]_ B
)
10197, 100sumeq12dv 13487 . . . 4  |-  ( k  =  ( ( 0  +  N )  -  n )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( ( 0  +  N )  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N )  -  n )  -  j
)  /  x ]_ B )
10296, 101fsumrev2 13556 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N )
sum_ j  e.  ( 0 ... k )
[_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... (
( 0  +  N
)  -  n ) ) [_ ( ( ( 0  +  N
)  -  n )  -  j )  /  x ]_ B )
10363, 102eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )
[_ k  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) [_ ( k  -  j
)  /  x ]_ B )
104 vex 3116 . . . . . 6  |-  k  e. 
_V
105 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ x A
106104, 105, 6csbief 3460 . . . . 5  |-  [_ k  /  x ]_ B  =  A
107106a1i 11 . . . 4  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) )  ->  [_ k  /  x ]_ B  =  A
)
108107sumeq2dv 13484 . . 3  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j )
) [_ k  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) A )
109108sumeq2i 13480 . 2  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... N
) sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) )
[_ k  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) A
110 ovex 6307 . . . . . 6  |-  ( k  -  j )  e. 
_V
111 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ x C
112 fsum0diag2.2 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  -  j )  ->  B  =  C )
113110, 111, 112csbief 3460 . . . . 5  |-  [_ (
k  -  j )  /  x ]_ B  =  C
114113a1i 11 . . . 4  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  j  e.  ( 0 ... k ) )  ->  [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  C
)
115114sumeq2dv 13484 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) [_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) C )
116115sumeq2i 13480 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... k )
[_ ( k  -  j )  /  x ]_ B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) C
117103, 109, 1163eqtr3g 2531 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N )
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  j ) ) A  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   [_csb 3435    C_ wss 3476   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488    + caddc 9491    - cmin 9801   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   sum_csu 13467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468
This theorem is referenced by:  mertens  13654  plymullem1  22346
  Copyright terms: Public domain W3C validator