Theorem fssres2 3719

Description: Restriction of a restricted function with a subclass of its domain.

Assertion

Ref	Expression
fssres2	|- (((F |` A):A-->B /\ C (_ A) -> (F |` C):C-->B)

Proof of Theorem fssres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssres 3718	. 2 |- (((F |` A):A-->B /\ C (_ A) -> ((F |` A) |` C):C-->B)
2		resabs1 3449	. . . 4 |- (C (_ A -> ((F |` A) |` C) = (F |` C))
3	2	feq1d 3699	. . 3 |- (C (_ A -> (((F |` A) |` C):C-->B <-> (F |` C):C-->B))
4	3	adantl 388	. 2 |- (((F |` A):A-->B /\ C (_ A) -> (((F |` A) |` C):C-->B <-> (F |` C):C-->B))
5	1, 4	mpbid 193	1 |- (((F |` A):A-->B /\ C (_ A) -> (F |` C):C-->B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   (_ wss 2091   |` cres 3227  -->wf 3233

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249

Copyright terms: Public domain