MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsnunf2 Structured version   Unicode version

Theorem fsnunf2 6016
Description: Adjoining a point to a punctured function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsnunf2  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : S --> T )

Proof of Theorem fsnunf2
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  F : ( S  \  { X } ) --> T )
2 simp2 989 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  X  e.  S )
3 neldifsnd 4101 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  -.  X  e.  ( S  \  { X } ) )
4 simp3 990 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  Y  e.  T )
5 fsnunf 6015 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  ( X  e.  S  /\  -.  X  e.  ( S  \  { X }
) )  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( ( S  \  { X } )  u. 
{ X } ) --> T )
61, 2, 3, 4, 5syl121anc 1224 . 2  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( ( S  \  { X } )  u. 
{ X } ) --> T )
7 difsnid 4117 . . . 4  |-  ( X  e.  S  ->  (
( S  \  { X } )  u.  { X } )  =  S )
873ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  (
( S  \  { X } )  u.  { X } )  =  S )
98feq2d 5645 . 2  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( ( S  \  { X } )  u.  { X } ) --> T  <->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : S --> T ) )
106, 9mpbid 210 1  |-  ( ( F : ( S 
\  { X }
) --> T  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : S --> T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3423    u. cun 3424   {csn 3975   <.cop 3981   -->wf 5512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-br 4391  df-opab 4449  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523
This theorem is referenced by:  fsets  14302  islindf4  18376
  Copyright terms: Public domain W3C validator