Theorem fsnunf 6102

Description: Adjoining a point to a function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunf	|- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T )

Proof of Theorem fsnunf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1008	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> F : S --> T )
2		simp2l 1034	. . . . 5 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> X e. V )
3		simp3 1010	. . . . 5 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> Y e. T )
4		f1osng 5853	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
5	2, 3, 4	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
6		f1of 5814	. . . 4 |- ( { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } -> { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } )
7	5, 6	syl 17	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } )
8		simp2r 1035	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> -. X e. S )
9		disjsn 4032	. . . 4 |- ( ( S i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. S )
10	8, 9	sylibr 216	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( S i^i { X } ) = (/) )
11		fun 5746	. . 3 |- ( ( ( F : S --> T /\ { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } ) /\ ( S i^i { X } ) = (/) ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) )
12	1, 7, 10, 11	syl21anc 1267	. 2 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) )
13		snssi 4116	. . . . 5 |- ( Y e. T -> { Y } C_ T )
14	13	3ad2ant3 1031	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { Y } C_ T )
15		ssequn2 3607	. . . 4 |- ( { Y } C_ T <-> ( T u. { Y } ) = T )
16	14, 15	sylib 200	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( T u. { Y } ) = T )
17	16	feq3d 5716	. 2 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) <-> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T ) )
18	12, 17	mpbid 214	1 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   <.cop 3974   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403  df-opab 4462  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589

This theorem is referenced by:  fsnunf2  6103  fnchoice  37350  nnsum4primeseven  38895  nnsum4primesevenALTV  38896