MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsnunf Structured version   Unicode version

Theorem fsnunf 6094
Description: Adjoining a point to a function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsnunf  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> T )

Proof of Theorem fsnunf
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  F : S --> T )
2 simp2l 1023 . . . . 5  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  X  e.  V )
3 simp3 999 . . . . 5  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  Y  e.  T )
4 f1osng 5844 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  T )  ->  { <. X ,  Y >. } : { X }
-1-1-onto-> { Y } )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  { <. X ,  Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
6 f1of 5806 . . . 4  |-  ( {
<. X ,  Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y }  ->  { <. X ,  Y >. } : { X } --> { Y } )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  { <. X ,  Y >. } : { X } --> { Y } )
8 simp2r 1024 . . . 4  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  -.  X  e.  S )
9 disjsn 4075 . . . 4  |-  ( ( S  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  S )
108, 9sylibr 212 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( S  i^i  { X }
)  =  (/) )
11 fun 5738 . . 3  |-  ( ( ( F : S --> T  /\  { <. X ,  Y >. } : { X } --> { Y }
)  /\  ( S  i^i  { X } )  =  (/) )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> ( T  u.  { Y }
) )
121, 7, 10, 11syl21anc 1228 . 2  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> ( T  u.  { Y }
) )
13 snssi 4159 . . . . 5  |-  ( Y  e.  T  ->  { Y }  C_  T )
14133ad2ant3 1020 . . . 4  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  { Y }  C_  T )
15 ssequn2 3662 . . . 4  |-  ( { Y }  C_  T  <->  ( T  u.  { Y } )  =  T )
1614, 15sylib 196 . . 3  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( T  u.  { Y } )  =  T )
1716feq3d 5709 . 2  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X }
) --> ( T  u.  { Y } )  <->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> T ) )
1812, 17mpbid 210 1  |-  ( ( F : S --> T  /\  ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  S
)  /\  Y  e.  T )  ->  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) : ( S  u.  { X } ) --> T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   <.cop 4020   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-br 4438  df-opab 4496  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585
This theorem is referenced by:  fsnunf2  6095  fnchoice  31358
  Copyright terms: Public domain W3C validator