Theorem fsnunf 6094

Description: Adjoining a point to a function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunf	|- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T )

Proof of Theorem fsnunf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> F : S --> T )
2		simp2l 1023	. . . . 5 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> X e. V )
3		simp3 999	. . . . 5 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> Y e. T )
4		f1osng 5844	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
5	2, 3, 4	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } )
6		f1of 5806	. . . 4 |- ( { <. X , Y >. } : { X } -1-1-onto-> { Y } -> { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } )
7	5, 6	syl 16	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } )
8		simp2r 1024	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> -. X e. S )
9		disjsn 4075	. . . 4 |- ( ( S i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. S )
10	8, 9	sylibr 212	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( S i^i { X } ) = (/) )
11		fun 5738	. . 3 |- ( ( ( F : S --> T /\ { <. X , Y >. } : { X } --> { Y } ) /\ ( S i^i { X } ) = (/) ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) )
12	1, 7, 10, 11	syl21anc 1228	. 2 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) )
13		snssi 4159	. . . . 5 |- ( Y e. T -> { Y } C_ T )
14	13	3ad2ant3 1020	. . . 4 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> { Y } C_ T )
15		ssequn2 3662	. . . 4 |- ( { Y } C_ T <-> ( T u. { Y } ) = T )
16	14, 15	sylib 196	. . 3 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( T u. { Y } ) = T )
17	16	feq3d 5709	. 2 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> ( T u. { Y } ) <-> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T ) )
18	12, 17	mpbid 210	1 |- ( ( F : S --> T /\ ( X e. V /\ -. X e. S ) /\ Y e. T ) -> ( F u. { <. X , Y >. } ) : ( S u. { X } ) --> T )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   <.cop 4020   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-br 4438  df-opab 4496  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585

This theorem is referenced by:  fsnunf2  6095  fnchoice  31358