MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsn Structured version   Unicode version

Theorem fsn 6070
Description: A function maps a singleton to a singleton iff it is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
fsn.1  |-  A  e. 
_V
fsn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fsn  |-  ( F : { A } --> { B }  <->  F  =  { <. A ,  B >. } )

Proof of Theorem fsn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelf 5753 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : { A }
--> { B }  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { B } ) )
2 elsn 4046 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
3 elsn 4046 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { B }  <->  y  =  B )
42, 3anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { B } )  <->  ( x  =  A  /\  y  =  B ) )
51, 4sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( F : { A }
--> { B }  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  (
x  =  A  /\  y  =  B )
)
65ex 434 . . . . . 6  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  =  A  /\  y  =  B ) ) )
7 fsn.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
87snid 4060 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
{ A }
9 feu 5767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : { A }
--> { B }  /\  A  e.  { A } )  ->  E! y  e.  { B } <. A ,  y
>.  e.  F )
108, 9mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  E! y  e.  { B } <. A ,  y
>.  e.  F )
113anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  { B }  /\  <. A ,  y
>.  e.  F )  <->  ( y  =  B  /\  <. A , 
y >.  e.  F ) )
12 opeq2 4220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  <. A , 
y >.  =  <. A ,  B >. )
1312eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  ( <. A ,  y >.  e.  F  <->  <. A ,  B >.  e.  F ) )
1413pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  B  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  <->  ( y  =  B  /\  <. A ,  B >.  e.  F ) )
15 ancom 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B )  <->  ( y  =  B  /\  <. A ,  B >.  e.  F ) )
1614, 15bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  B  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B
) )
1711, 16bitr2i 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B )  <->  ( y  e.  { B }  /\  <. A ,  y >.  e.  F ) )
1817eubii 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B )  <->  E! y ( y  e. 
{ B }  /\  <. A ,  y >.  e.  F ) )
19 fsn.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
_V
2019eueq1 3272 . . . . . . . . . . 11  |-  E! y  y  =  B
2120biantru 505 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. A ,  B >.  e.  F  <->  ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  E! y  y  =  B ) )
22 euanv 2355 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! y ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B )  <->  (
<. A ,  B >.  e.  F  /\  E! y  y  =  B ) )
2321, 22bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  B >.  e.  F  <->  E! y ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B ) )
24 df-reu 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y  e.  { B } <. A ,  y
>.  e.  F  <->  E! y
( y  e.  { B }  /\  <. A , 
y >.  e.  F ) )
2518, 23, 243bitr4i 277 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  e.  F  <->  E! y  e.  { B } <. A ,  y
>.  e.  F )
2610, 25sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  <. A ,  B >.  e.  F )
27 opeq12 4221 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  -> 
<. x ,  y >.  =  <. A ,  B >. )
2827eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. A ,  B >.  e.  F ) )
2926, 28syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  (
( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  F
) )
306, 29impbid 191 . . . . 5  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  ( x  =  A  /\  y  =  B ) ) )
31 opex 4720 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
3231elsnc 4056 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. )
337, 19opth2 4734 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( x  =  A  /\  y  =  B ) )
3432, 33bitr2i 250 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  <->  <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } )
3530, 34syl6bb 261 . . . 4  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. A ,  B >. } ) )
3635alrimivv 1721 . . 3  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } ) )
37 frel 5740 . . . 4  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  Rel  F )
387, 19relsnop 5116 . . . 4  |-  Rel  { <. A ,  B >. }
39 eqrel 5101 . . . 4  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  {
<. A ,  B >. } )  ->  ( F  =  { <. A ,  B >. }  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } ) ) )
4037, 38, 39sylancl 662 . . 3  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  ( F  =  { <. A ,  B >. }  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } ) ) )
4136, 40mpbird 232 . 2  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  F  =  { <. A ,  B >. } )
427, 19f1osn 5859 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }
43 f1oeq1 5813 . . . 4  |-  ( F  =  { <. A ,  B >. }  ->  ( F : { A } -1-1-onto-> { B }  <->  { <. A ,  B >. } : { A }
-1-1-onto-> { B } ) )
4442, 43mpbiri 233 . . 3  |-  ( F  =  { <. A ,  B >. }  ->  F : { A } -1-1-onto-> { B } )
45 f1of 5822 . . 3  |-  ( F : { A } -1-1-onto-> { B }  ->  F : { A } --> { B } )
4644, 45syl 16 . 2  |-  ( F  =  { <. A ,  B >. }  ->  F : { A } --> { B } )
4741, 46impbii 188 1  |-  ( F : { A } --> { B }  <->  F  =  { <. A ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819   E!weu 2283   E!wreu 2809   _Vcvv 3109   {csn 4032   <.cop 4038   Rel wrel 5013   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601
This theorem is referenced by:  fsng  6071  fsn2  6072  mapsn  7479  axlowdimlem7  24377  ginvsn  25477  fdc  30400
  Copyright terms: Public domain W3C validator