Theorem fsn 4807

Description: A function maps a singleton to a singleton iff it is the singleton of a ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
fsn.1	|- A e. _V
fsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fsn	|- (F:{A}-->{B} <-> F = {<.A, B>.})

Proof of Theorem fsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
2	1	opelf 4579	. . . . . . . 8 |- ((F:{A}-->{B} /\ <.x, y>. e. F) -> (x e. {A} /\ y e. {B}))
3		elsn 3058	. . . . . . . . 9 |- (x e. {A} <-> x = A)
4		elsn 3058	. . . . . . . . 9 |- (y e. {B} <-> y = B)
5	3, 4	anbi12i 540	. . . . . . . 8 |- ((x e. {A} /\ y e. {B}) <-> (x = A /\ y = B))
6	2, 5	sylib 215	. . . . . . 7 |- ((F:{A}-->{B} /\ <.x, y>. e. F) -> (x = A /\ y = B))
7	6	ex 402	. . . . . 6 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F -> (x = A /\ y = B)))
8		opeq12 3160	. . . . . . . 8 |- ((x = A /\ y = B) -> <.x, y>. = <.A, B>.)
9	8	eleq1d 1963	. . . . . . 7 |- ((x = A /\ y = B) -> (<.x, y>. e. F <-> <.A, B>. e. F))
10		fsn.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
11	10	snid 3069	. . . . . . . . 9 |- A e. {A}
12		feu 4588	. . . . . . . . 9 |- ((F:{A}-->{B} /\ A e. {A}) -> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
13	11, 12	mpan2 760	. . . . . . . 8 |- (F:{A}-->{B} -> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
14		fsn.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. _V
15	14	eueq1 2428	. . . . . . . . . 10 |- E!y y = B
16	15	biantru 793	. . . . . . . . 9 |- (<.A, B>. e. F <-> (<.A, B>. e. F /\ E!y y = B))
17		euanv 1832	. . . . . . . . 9 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (<.A, B>. e. F /\ E!y y = B))
18		opeq2 3159	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = B -> <.A, y>. = <.A, B>.)
19	18	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = B -> (<.A, y>. e. F <-> <.A, B>. e. F))
20	19	pm5.32i 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y = B /\ <.A, y>. e. F) <-> (y = B /\ <.A, B>. e. F))
21	4	anbi1i 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. {B} /\ <.A, y>. e. F) <-> (y = B /\ <.A, y>. e. F))
22		ancom 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (y = B /\ <.A, B>. e. F))
23	20, 21, 22	3bitr4ri 201	. . . . . . . . . . 11 |- ((<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
24	23	eubii 1780	. . . . . . . . . 10 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> E!y(y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
25		df-reu 2111	. . . . . . . . . 10 |- (E!y e. {B}<.A, y>. e. F <-> E!y(y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
26	24, 25	bitr4i 193	. . . . . . . . 9 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
27	16, 17, 26	3bitr2i 196	. . . . . . . 8 |- (<.A, B>. e. F <-> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
28	13, 27	sylibr 217	. . . . . . 7 |- (F:{A}-->{B} -> <.A, B>. e. F)
29	9, 28	syl5cbir 228	. . . . . 6 |- (F:{A}-->{B} -> ((x = A /\ y = B) -> <.x, y>. e. F))
30	7, 29	impbid 574	. . . . 5 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F <-> (x = A /\ y = B)))
31		opex 3527	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. _V
32	31	elsnc 3065	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
33		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
34	33, 1, 14	opth 3532	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> (x = A /\ y = B))
35	32, 34	bitr2i 191	. . . . 5 |- ((x = A /\ y = B) <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})
36	30, 35	syl6bb 595	. . . 4 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.}))
37	36	19.21aivv 1665	. . 3 |- (F:{A}-->{B} -> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.}))
38		eqrel 4077	. . . 4 |- ((Rel F /\ Rel {<.A, B>.}) -> (F = {<.A, B>.} <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})))
39		frel 4566	. . . 4 |- (F:{A}-->{B} -> Rel F)
40	10	relsn 4087	. . . 4 |- Rel {<.A, B>.}
41	38, 39, 40	sylancl 525	. . 3 |- (F:{A}-->{B} -> (F = {<.A, B>.} <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})))
42	37, 41	mpbird 213	. 2 |- (F:{A}-->{B} -> F = {<.A, B>.})
43	10, 14	f1osn 4674	. . . 4 |- {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}
44		f1oeq1 4630	. . . 4 |- (F = {<.A, B>.} -> (F:{A}-1-1-onto->{B} <-> {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}))
45	43, 44	mpbiri 211	. . 3 |- (F = {<.A, B>.} -> F:{A}-1-1-onto->{B})
46		f1of 4635	. . 3 |- (F:{A}-1-1-onto->{B} -> F:{A}-->{B})
47	45, 46	syl 12	. 2 |- (F = {<.A, B>.} -> F:{A}-->{B})
48	42, 47	impbii 174	1 |- (F:{A}-->{B} <-> F = {<.A, B>.})

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E!weu 1771  E!wreu 2107  _Vcvv 2292  {csn 3044  <.cop 3046  Rel wrel 3991  -->wf 3994  -1-1-onto->wf1o 3997

This theorem is referenced by:  xpsn 4808  fsn2 4809  mapsn 5404  bnj134 12478  fdc 15812

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-reu 2111  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013

Copyright terms: Public domain