Theorem fsn 3910

Description: A function maps a singleton to a singleton iff it is the singleton of a ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
fsn.1	|- A e. V
fsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
fsn	|- (F:{A}-->{B} <-> F = {<.A, B>.})

Proof of Theorem fsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1851	. . . . . . . . 9 |- y e. V
2	1	opelf 3715	. . . . . . . 8 |- ((F:{A}-->{B} /\ <.x, y>. e. F) -> (x e. {A} /\ y e. {B}))
3		elsn 2466	. . . . . . . . 9 |- (x e. {A} <-> x = A)
4		elsn 2466	. . . . . . . . 9 |- (y e. {B} <-> y = B)
5	3, 4	anbi12i 484	. . . . . . . 8 |- ((x e. {A} /\ y e. {B}) <-> (x = A /\ y = B))
6	2, 5	sylib 196	. . . . . . 7 |- ((F:{A}-->{B} /\ <.x, y>. e. F) -> (x = A /\ y = B))
7	6	ex 371	. . . . . 6 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F -> (x = A /\ y = B)))
8		opeq12 2537	. . . . . . . 8 |- ((x = A /\ y = B) -> <.x, y>. = <.A, B>.)
9	8	eleq1d 1577	. . . . . . 7 |- ((x = A /\ y = B) -> (<.x, y>. e. F <-> <.A, B>. e. F))
10		fsn.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. V
11	10	snid 2480	. . . . . . . . 9 |- A e. {A}
12		feu 3722	. . . . . . . . 9 |- ((F:{A}-->{B} /\ A e. {A}) -> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
13	11, 12	mpan2 699	. . . . . . . 8 |- (F:{A}-->{B} -> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
14		fsn.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. V
15	14	eueq1 1955	. . . . . . . . . 10 |- E!y y = B
16	15	biantru 727	. . . . . . . . 9 |- (<.A, B>. e. F <-> (<.A, B>. e. F /\ E!y y = B))
17		euanv 1465	. . . . . . . . 9 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (<.A, B>. e. F /\ E!y y = B))
18		opeq2 2536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = B -> <.A, y>. = <.A, B>.)
19	18	eleq1d 1577	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = B -> (<.A, y>. e. F <-> <.A, B>. e. F))
20	19	pm5.32i 647	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y = B /\ <.A, y>. e. F) <-> (y = B /\ <.A, B>. e. F))
21	4	anbi1i 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. {B} /\ <.A, y>. e. F) <-> (y = B /\ <.A, y>. e. F))
22		ancom 437	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (y = B /\ <.A, B>. e. F))
23	20, 21, 22	3bitr4ri 182	. . . . . . . . . . 11 |- ((<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
24	23	eubii 1420	. . . . . . . . . 10 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> E!y(y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
25		df-reu 1689	. . . . . . . . . 10 |- (E!y e. {B}<.A, y>. e. F <-> E!y(y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
26	24, 25	bitr4i 174	. . . . . . . . 9 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
27	16, 17, 26	3bitr2i 177	. . . . . . . 8 |- (<.A, B>. e. F <-> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
28	13, 27	sylibr 198	. . . . . . 7 |- (F:{A}-->{B} -> <.A, B>. e. F)
29	9, 28	syl5cbir 209	. . . . . 6 |- (F:{A}-->{B} -> ((x = A /\ y = B) -> <.x, y>. e. F))
30	7, 29	impbid 518	. . . . 5 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F <-> (x = A /\ y = B)))
31		opex 2835	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
32	31	elsnc 2476	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
33		visset 1851	. . . . . . 7 |- x e. V
34	33, 1, 14	opth 2840	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> (x = A /\ y = B))
35	32, 34	bitr2i 172	. . . . 5 |- ((x = A /\ y = B) <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})
36	30, 35	syl6bb 538	. . . 4 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.}))
37	36	19.21aivv 1320	. . 3 |- (F:{A}-->{B} -> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.}))
38		frel 3705	. . . . 5 |- (F:{A}-->{B} -> Rel F)
39	10	relsn 3316	. . . . 5 |- Rel {<.A, B>.}
40	38, 39	jctir 291	. . . 4 |- (F:{A}-->{B} -> (Rel F /\ Rel {<.A, B>.}))
41		eqrel 3308	. . . 4 |- ((Rel F /\ Rel {<.A, B>.}) -> (F = {<.A, B>.} <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})))
42	40, 41	syl 10	. . 3 |- (F:{A}-->{B} -> (F = {<.A, B>.} <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})))
43	37, 42	mpbird 194	. 2 |- (F:{A}-->{B} -> F = {<.A, B>.})
44	10, 14	f1osn 3795	. . . 4 |- {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}
45		f1oeq1 3760	. . . 4 |- (F = {<.A, B>.} -> (F:{A}-1-1-onto->{B} <-> {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}))
46	44, 45	mpbiri 192	. . 3 |- (F = {<.A, B>.} -> F:{A}-1-1-onto->{B})
47		f1of 3765	. . 3 |- (F:{A}-1-1-onto->{B} -> F:{A}-->{B})
48	46, 47	syl 10	. 2 |- (F = {<.A, B>.} -> F:{A}-->{B})
49	43, 48	impbii 155	1 |- (F:{A}-->{B} <-> F = {<.A, B>.})

Syntax hints:   <-> wb 144   /\ wa 221  A.wal 986   = wceq 988   e. wcel 990  E!weu 1413  E!wreu 1685  Vcvv 1849  {csn 2454  <.cop 2456  Rel wrel 3230  -->wf 3233  -1-1-onto->wf1o 3236

This theorem is referenced by:  xpsn 3911  fsn2 3912  mapsn 4432

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-ral 1687  df-reu 1689  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252

Copyright terms: Public domain