Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsfnn0gsumfsffz Structured version   Unicode version

Theorem fsfnn0gsumfsffz 16882
 Description: Replacing a finitely supported function over the nonnegative integers by a function over a finite set of sequential integers in a finite group sum. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0gsumfz.b
nn0gsumfz.0
nn0gsumfz.g CMnd
nn0gsumfz.f
fsfnn0gsumfsffz.s
fsfnn0gsumfsffz.h
Assertion
Ref Expression
fsfnn0gsumfsffz g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem fsfnn0gsumfsffz
StepHypRef Expression
1 fsfnn0gsumfsffz.h . . . 4
21oveq2i 6306 . . 3 g g
3 nn0gsumfz.b . . . 4
4 nn0gsumfz.0 . . . 4
5 nn0gsumfz.g . . . . 5 CMnd
65adantr 465 . . . 4 CMnd
7 nn0ex 10813 . . . . 5
87a1i 11 . . . 4
9 nn0gsumfz.f . . . . . 6
10 elmapi 7452 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
1211adantr 465 . . . 4
13 fvex 5882 . . . . . . 7
144, 13eqeltri 2551 . . . . . 6
1514a1i 11 . . . . 5
169adantr 465 . . . . 5
17 fsfnn0gsumfsffz.s . . . . . 6
1817adantr 465 . . . . 5
19 simpr 461 . . . . 5
2015, 16, 18, 19suppssfz 12080 . . . 4 supp
21 elmapfun 7454 . . . . . . . . 9
229, 21syl 16 . . . . . . . 8
2314a1i 11 . . . . . . . 8
249, 22, 233jca 1176 . . . . . . 7
2524adantr 465 . . . . . 6 supp
26 fzfid 12063 . . . . . . 7
2726anim1i 568 . . . . . 6 supp supp
28 suppssfifsupp 7856 . . . . . 6 supp finSupp
2925, 27, 28syl2anc 661 . . . . 5 supp finSupp
3020, 29syldan 470 . . . 4 finSupp
313, 4, 6, 8, 12, 20, 30gsumres 16792 . . 3 g g
322, 31syl5req 2521 . 2 g g
3332ex 434 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  cvv 3118   wss 3481   class class class wbr 4453   cres 5007   wfun 5588  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   supp csupp 6913   cmap 7432  cfn 7528   finSupp cfsupp 7841  cc0 9504   clt 9640  cn0 10807  cfz 11684  cbs 14506  c0g 14711   g cgsu 14712  CMndccmn 16669 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-cntz 16226  df-cmn 16671 This theorem is referenced by:  nn0gsumfz  16883  gsummptnn0fz  16885
 Copyright terms: Public domain W3C validator