MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsequb Structured version   Unicode version

Theorem fsequb 12043
Description: The values of a finite real sequence have an upper bound. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsequb  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  x
)
Distinct variable groups:    x, k, F    k, M, x    k, N, x

Proof of Theorem fsequb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12040 . . 3  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
2 fimaxre3 10483 . . 3  |-  ( ( ( M ... N
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <_  y )
31, 2mpan 670 . 2  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y
)
4 r19.26 2984 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  k )  <_  y )  <->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y
) )
5 peano2re 9743 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
6 ltp1 10371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
76adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
y  <  ( y  +  1 ) )
8 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )
9 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
y  e.  RR )
105adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( y  +  1 )  e.  RR )
11 lelttr 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
y  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( F `
 k )  <_ 
y  /\  y  <  ( y  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
128, 9, 10, 11syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( ( ( F `
 k )  <_ 
y  /\  y  <  ( y  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
137, 12mpan2d 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  k )  <_  y  ->  ( F `  k
)  <  ( y  +  1 ) ) )
1413expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  k
)  <_  y )  ->  ( F `  k
)  <  ( y  +  1 ) ) )
1514ralimdv 2869 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  <_  y )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  ( y  +  1 ) ) )
16 breq2 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  <  x  <->  ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
1716ralbidv 2898 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x  <->  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
1817rspcev 3209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  ( y  +  1 ) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x )
195, 15, 18syl6an 545 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
204, 19syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
2120expd 436 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  x
) ) )
2221impcom 430 . . 3  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
2322rexlimdva 2950 . 2  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  ( E. y  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
243, 23mpd 15 1  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  x
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   RRcr 9482   1c1 9484    + caddc 9486    < clt 9619    <_ cle 9620   ...cfz 11663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator