MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsequb Structured version   Unicode version

Theorem fsequb 12128
Description: The values of a finite real sequence have an upper bound. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsequb  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  x
)
Distinct variable groups:    x, k, F    k, M, x    k, N, x

Proof of Theorem fsequb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12125 . . 3  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
2 fimaxre3 10534 . . 3  |-  ( ( ( M ... N
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <_  y )
31, 2mpan 670 . 2  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y
)
4 r19.26 2936 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  k )  <_  y )  <->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y
) )
5 peano2re 9789 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
6 ltp1 10423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
76adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
y  <  ( y  +  1 ) )
8 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )
9 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
y  e.  RR )
105adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( y  +  1 )  e.  RR )
11 lelttr 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
y  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( F `
 k )  <_ 
y  /\  y  <  ( y  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
128, 9, 10, 11syl3anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( ( ( F `
 k )  <_ 
y  /\  y  <  ( y  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
137, 12mpan2d 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  k )  <_  y  ->  ( F `  k
)  <  ( y  +  1 ) ) )
1413expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  k
)  <_  y )  ->  ( F `  k
)  <  ( y  +  1 ) ) )
1514ralimdv 2816 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  <_  y )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  ( y  +  1 ) ) )
16 breq2 4401 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  <  x  <->  ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
1716ralbidv 2845 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x  <->  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  (
y  +  1 ) ) )
1817rspcev 3162 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  ( y  +  1 ) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x )
195, 15, 18syl6an 545 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
204, 19syl5bir 220 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
2120expd 436 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  x
) ) )
2221impcom 430 . . 3  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
2322rexlimdva 2898 . 2  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  ( E. y  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  <  x ) )
243, 23mpd 15 1  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  <  x
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Fincfn 7556   RRcr 9523   1c1 9525    + caddc 9527    < clt 9660    <_ cle 9661   ...cfz 11728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator