Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fseqenlem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fseqenlem2 8474
 Description: Lemma for fseqen 8476. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fseqenlem.a
fseqenlem.b
fseqenlem.f
fseqenlem.g seq𝜔
fseqenlem.k
Assertion
Ref Expression
fseqenlem2
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,   ,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,)   (,)   (,,)   (,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem fseqenlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4274 . . . . 5
2 elmapi 7511 . . . . . . . . . 10
32ad2antll 743 . . . . . . . . 9
4 fdm 5745 . . . . . . . . 9
53, 4syl 17 . . . . . . . 8
6 simprl 772 . . . . . . . 8
75, 6eqeltrd 2549 . . . . . . 7
85fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
98fveq1d 5881 . . . . . . . 8
10 fseqenlem.a . . . . . . . . . . . 12
11 fseqenlem.b . . . . . . . . . . . 12
12 fseqenlem.f . . . . . . . . . . . 12
13 fseqenlem.g . . . . . . . . . . . 12 seq𝜔
1410, 11, 12, 13fseqenlem1 8473 . . . . . . . . . . 11
1514adantrr 731 . . . . . . . . . 10
16 f1f 5792 . . . . . . . . . 10
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9
18 simprr 774 . . . . . . . . 9
1917, 18ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
209, 19eqeltrd 2549 . . . . . . 7
21 opelxpi 4871 . . . . . . 7
227, 20, 21syl2anc 673 . . . . . 6
2322rexlimdvaa 2872 . . . . 5
241, 23syl5bi 225 . . . 4
2524imp 436 . . 3
26 fseqenlem.k . . 3
2725, 26fmptd 6061 . 2
28 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 funbrfv2b 5923 . . . . . . . . . . . . . . 15
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14
3130simplbda 636 . . . . . . . . . . . . 13
3230simprbda 635 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3427, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
3632, 35eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14
37 dmeq 5040 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
39 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4038, 39fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4137, 40opeq12d 4166 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . 15
4341, 26, 42fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14
4436, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
4531, 44eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . 12
4645fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
47 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13
4847dmex 6745 . . . . . . . . . . . 12
49 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12
5048, 49op1st 6820 . . . . . . . . . . 11
5146, 50syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10
5251fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
5352cnveqd 5015 . . . . . . . 8
5445fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
5548, 49op2nd 6821 . . . . . . . . 9
5654, 55syl6eq 2521 . . . . . . . 8
5753, 56fveq12d 5885 . . . . . . 7
58 eliun 4274 . . . . . . . . . . . . 13
59 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6059adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
61 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6462, 63eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6662oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6765, 66eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . 15
6864, 67jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14
6968rexlimiva 2868 . . . . . . . . . . . . 13
7058, 69sylbi 200 . . . . . . . . . . . 12
7136, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11
7271simpld 466 . . . . . . . . . 10
7310, 11, 12, 13fseqenlem1 8473 . . . . . . . . . 10
7472, 73syldan 478 . . . . . . . . 9
75 f1f1orn 5839 . . . . . . . . 9
7674, 75syl 17 . . . . . . . 8
7771simprd 470 . . . . . . . 8
78 f1ocnvfv1 6193 . . . . . . . 8
7976, 77, 78syl2anc 673 . . . . . . 7
8057, 79eqtr2d 2506 . . . . . 6
8180ex 441 . . . . 5
8281alrimiv 1781 . . . 4
83 mo2icl 3205 . . . 4
8482, 83syl 17 . . 3
8584alrimiv 1781 . 2
86 dff12 5791 . 2
8727, 85, 86sylanbrc 677 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376  wal 1450   wceq 1452   wcel 1904  wmo 2320  wrex 2757  cvv 3031  c0 3722  csn 3959  cop 3965  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840   cres 4841   csuc 5432   wfun 5583  wf 5585  wf1 5586  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  com 6711  c1st 6810  c2nd 6811  seq𝜔cseqom 7182   cmap 7490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-seqom 7183  df-1o 7200  df-map 7492 This theorem is referenced by:  fseqen  8476  pwfseqlem5  9106
 Copyright terms: Public domain W3C validator