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Theorem fseqenlem1 7861
Description: Lemma for fseqen 7864. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fseqenlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
fseqenlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
fseqenlem.f  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
fseqenlem.g  |-  G  = seq𝜔 ( ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  B >. } )
Assertion
Ref Expression
fseqenlem1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  om )  ->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C )
-1-1-> A )
Distinct variable groups:    f, n, x, F    A, f, n, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( x, f, n)    C( x, f, n)    G( x, f, n)    V( x, f, n)

Proof of Theorem fseqenlem1
Dummy variables  y 
a  b  z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  ( G `  y )  =  ( G `  C ) )
2 f1eq1 5593 . . . . . 6  |-  ( ( G `  y )  =  ( G `  C )  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A ) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A ) )
4 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  C
) )
5 f1eq2 5594 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  C )  ->  (
( G `  C
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C ) -1-1-> A ) )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
( G `  C
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C ) -1-1-> A ) )
73, 6bitrd 245 . . . 4  |-  ( y  =  C  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C ) -1-1-> A ) )
87imbi2d 308 . . 3  |-  ( y  =  C  ->  (
( ph  ->  ( G `
 y ) : ( A  ^m  y
) -1-1-> A )  <->  ( ph  ->  ( G `  C
) : ( A  ^m  C ) -1-1-> A
) ) )
9 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  (/) ) )
10 snex 4365 . . . . . . . 8  |-  { <. (/)
,  B >. }  e.  _V
11 fseqenlem.g . . . . . . . . 9  |-  G  = seq𝜔 ( ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  B >. } )
1211seqom0g 6672 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. (/) ,  B >. }  e.  _V  ->  ( G `  (/) )  =  { <. (/) ,  B >. } )
1310, 12ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( G `
 (/) )  =  { <.
(/) ,  B >. }
149, 13syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  { <. (/) ,  B >. } )
15 f1eq1 5593 . . . . . 6  |-  ( ( G `  y )  =  { <. (/) ,  B >. }  ->  ( ( G `  y ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  y ) -1-1-> A
) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  y ) -1-1-> A
) )
17 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  (/) ) )
18 f1eq2 5594 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  (/) )  ->  ( { <.
(/) ,  B >. } : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A ) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( {
<. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A ) )
2016, 19bitrd 245 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A ) )
21 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  ( G `  y )  =  ( G `  m ) )
22 f1eq1 5593 . . . . . 6  |-  ( ( G `  y )  =  ( G `  m )  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A ) )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  m  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A ) )
24 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  m
) )
25 f1eq2 5594 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  m )  ->  (
( G `  m
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  m  ->  (
( G `  m
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )
2723, 26bitrd 245 . . . 4  |-  ( y  =  m  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )
28 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 suc  m )
)
29 f1eq1 5593 . . . . . 6  |-  ( ( G `  y )  =  ( G `  suc  m )  ->  (
( G `  y
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A  <->  ( G `  suc  m
) : ( A  ^m  y ) -1-1-> A
) )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( ( G `  y ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A  <->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A ) )
31 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( A  ^m  y
)  =  ( A  ^m  suc  m ) )
32 f1eq2 5594 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  y )  =  ( A  ^m  suc  m )  ->  (
( G `  suc  m ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A  <->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A ) )
3331, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A  <->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A ) )
3430, 33bitrd 245 . . . 4  |-  ( y  =  suc  m  -> 
( ( G `  y ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A  <->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A ) )
35 0ex 4299 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
36 fseqenlem.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
37 f1osng 5675 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  B  e.  A )  ->  { <. (/)
,  B >. } : { (/) } -1-1-onto-> { B } )
3835, 36, 37sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-onto-> { B } )
39 f1of1 5632 . . . . . . 7  |-  ( {
<. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-onto-> { B }  ->  {
<. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> { B } )
4038, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> { B } )
4136snssd 3903 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { B }  C_  A )
42 f1ss 5603 . . . . . 6  |-  ( ( { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> { B }  /\  { B }  C_  A )  ->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> A
)
4340, 41, 42syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> A
)
44 fseqenlem.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
45 map0e 7010 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ^m  (/) )  =  1o )
4644, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  ^m  (/) )  =  1o )
47 df1o2 6695 . . . . . . 7  |-  1o  =  { (/) }
4846, 47syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  ^m  (/) )  =  { (/) } )
49 f1eq2 5594 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  (/) )  =  { (/) }  ->  ( { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) } -1-1-> A
) )
5048, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A  <->  { <. (/) ,  B >. } : { (/) }
-1-1-> A ) )
5143, 50mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  B >. } : ( A  ^m  (/) ) -1-1-> A )
52 fseqenlem.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
5352ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
54 f1of 5633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( A  X.  A
) --> A )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  ->  F : ( A  X.  A ) --> A )
56 f1f 5598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A  -> 
( G `  m
) : ( A  ^m  m ) --> A )
5756ad2antll 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) --> A )
5857adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( G `  m
) : ( A  ^m  m ) --> A )
59 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  z : suc  m --> A )
6059adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
z : suc  m --> A )
61 sssucid 4618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  m  C_  suc  m
62 fssres 5569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z : suc  m --> A  /\  m  C_  suc  m )  ->  (
z  |`  m ) : m --> A )
6360, 61, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( z  |`  m
) : m --> A )
6444ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  ->  A  e.  V )
65 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  m  e. 
_V
66 elmapg 6990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  m  e.  _V )  ->  ( ( z  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( z  |`  m
) : m --> A ) )
6764, 65, 66sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( ( z  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( z  |`  m
) : m --> A ) )
6863, 67mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( z  |`  m
)  e.  ( A  ^m  m ) )
6958, 68ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( ( G `  m ) `  (
z  |`  m ) )  e.  A )
7065sucid 4620 . . . . . . . . . . 11  |-  m  e. 
suc  m
71 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z : suc  m --> A  /\  m  e.  suc  m )  ->  (
z `  m )  e.  A )
7260, 70, 71sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( z `  m
)  e.  A )
7355, 69, 72fovrnd 6177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  z  e.  ( A  ^m  suc  m ) )  -> 
( ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) F ( z `  m ) )  e.  A )
74 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )
7573, 74fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) : ( A  ^m  suc  m ) --> A )
7611seqomsuc 6673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  om  ->  ( G `  suc  m )  =  ( m ( n  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ( G `
 m ) ) )
7776ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  suc  m )  =  ( m ( n  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n )  |->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) ) ) ( G `  m
) ) )
78 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 m )  e. 
_V
79 reseq1 5099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  |`  a )  =  ( z  |`  a
) )
8079fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
b `  ( x  |`  a ) )  =  ( b `  (
z  |`  a ) ) )
81 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
x `  a )  =  ( z `  a ) )
8280, 81oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( b `  (
x  |`  a ) ) F ( x `  a ) )  =  ( ( b `  ( z  |`  a
) ) F ( z `  a ) ) )
8382cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  ^m  suc  a )  |->  ( ( b `  ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( z  |`  a ) ) F ( z `  a
) ) )
84 suceq 4606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  m  ->  suc  a  =  suc  m )
8584adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  ->  suc  a  =  suc  m )
8685oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( A  ^m  suc  a )  =  ( A  ^m  suc  m
) )
87 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
b  =  ( G `
 m ) )
88 reseq2 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  m  ->  (
z  |`  a )  =  ( z  |`  m
) )
8988adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( z  |`  a
)  =  ( z  |`  m ) )
9087, 89fveq12d 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( b `  (
z  |`  a ) )  =  ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) )
91 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
a  =  m )
9291fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( z `  a
)  =  ( z `
 m ) )
9390, 92oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( ( b `  ( z  |`  a
) ) F ( z `  a ) )  =  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )
9486, 93mpteq12dv 4247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( z  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( z  |`  a ) ) F ( z `  a
) ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) )
9583, 94syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  m  /\  b  =  ( G `  m ) )  -> 
( x  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) )
96 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ a
( x  e.  ( A  ^m  suc  n
)  |->  ( ( f `
 ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) )
97 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ b
( x  e.  ( A  ^m  suc  n
)  |->  ( ( f `
 ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) )
98 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( x  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )
99 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ f
( x  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )
100 suceq 4606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  a  ->  suc  n  =  suc  a )
101100adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  suc  n  =  suc  a )
102101oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( A  ^m  suc  n )  =  ( A  ^m  suc  a
) )
103 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  f  =  b )
104 reseq2 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  (
x  |`  n )  =  ( x  |`  a
) )
105104adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( x  |`  n
)  =  ( x  |`  a ) )
106103, 105fveq12d 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( f `  (
x  |`  n ) )  =  ( b `  ( x  |`  a ) ) )
107 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  n  =  a )
108107fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( x `  n
)  =  ( x `
 a ) )
109106, 108oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) )  =  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) )
110102, 109mpteq12dv 4247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  =  a  /\  f  =  b )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n
)  |->  ( ( f `
 ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) )  =  ( x  e.  ( A  ^m  suc  a
)  |->  ( ( b `
 ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) ) )
11196, 97, 98, 99, 110cbvmpt2 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n )  |->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) ) )  =  ( a  e. 
_V ,  b  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  a )  |->  ( ( b `  ( x  |`  a ) ) F ( x `  a
) ) ) )
112 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  ^m  suc  m )  e.  _V
113112mptex 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )  e. 
_V
11495, 111, 113ovmpt2a 6163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  _V  /\  ( G `  m )  e.  _V )  -> 
( m ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n )  |->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `  n
) ) ) ) ( G `  m
) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m ) 
|->  ( ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) F ( z `  m ) ) ) )
11565, 78, 114mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( m ( n  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( A  ^m  suc  n ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  n ) ) F ( x `
 n ) ) ) ) ( G `
 m ) )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) )
11677, 115syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  suc  m )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m ) 
|->  ( ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) F ( z `  m ) ) ) )
117116feq1d 5539 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) : ( A  ^m  suc  m ) --> A  <->  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) : ( A  ^m  suc  m ) --> A ) )
11875, 117mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) --> A )
119 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  a : suc  m --> A )
120119ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  a : suc  m
--> A )
121 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a : suc  m --> A  -> 
a  Fn  suc  m
)
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  a  Fn  suc  m )
123 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  b : suc  m --> A )
124123ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  b : suc  m
--> A )
125 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b : suc  m --> A  -> 
b  Fn  suc  m
)
126124, 125syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  b  Fn  suc  m )
12761a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  m  C_  suc  m )
128 fvreseq 5792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  Fn  suc  m  /\  b  Fn  suc  m )  /\  m  C_ 
suc  m )  -> 
( ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )  <->  A. x  e.  m  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
129122, 126, 127, 128syl21anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )  <->  A. x  e.  m  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
130 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  m  ->  (
a `  x )  =  ( a `  m ) )
131 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  m  ->  (
b `  x )  =  ( b `  m ) )
132130, 131eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  m  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( a `  m )  =  ( b `  m ) ) )
13365, 132ralsn 3809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  { m }  ( a `  x )  =  ( b `  x )  <-> 
( a `  m
)  =  ( b `
 m ) )
134133bicomi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a `  m )  =  ( b `  m )  <->  A. x  e.  { m }  (
a `  x )  =  ( b `  x ) )
135134a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( a `
 m )  =  ( b `  m
)  <->  A. x  e.  {
m }  ( a `
 x )  =  ( b `  x
) ) )
136129, 135anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )  /\  (
a `  m )  =  ( b `  m ) )  <->  ( A. x  e.  m  (
a `  x )  =  ( b `  x )  /\  A. x  e.  { m }  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
137116adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( G `  suc  m )  =  ( z  e.  ( A  ^m  suc  m ) 
|->  ( ( ( G `
 m ) `  ( z  |`  m
) ) F ( z `  m ) ) ) )
138137fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  a )  =  ( ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  a ) )
139 reseq1 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  a  ->  (
z  |`  m )  =  ( a  |`  m
) )
140139fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  a  ->  (
( G `  m
) `  ( z  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) )
141 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  a  ->  (
z `  m )  =  ( a `  m ) )
142140, 141oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  a  ->  (
( ( G `  m ) `  (
z  |`  m ) ) F ( z `  m ) )  =  ( ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) F ( a `  m ) ) )
143 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) F ( a `  m
) )  e.  _V
144142, 74, 143fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  (
( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  a )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) F ( a `  m ) ) )
145144ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  a )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) F ( a `  m ) ) )
146138, 145eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  a )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) F ( a `  m ) ) )
147 df-ov 6043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) F ( a `  m
) )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >. )
148146, 147syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  a )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >. ) )
149137fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  =  ( ( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  b ) )
150 reseq1 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  b  ->  (
z  |`  m )  =  ( b  |`  m
) )
151150fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  b  ->  (
( G `  m
) `  ( z  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) ) )
152 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  b  ->  (
z `  m )  =  ( b `  m ) )
153151, 152oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  b  ->  (
( ( G `  m ) `  (
z  |`  m ) ) F ( z `  m ) )  =  ( ( ( G `
 m ) `  ( b  |`  m
) ) F ( b `  m ) ) )
154 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) F ( b `  m
) )  e.  _V
155153, 74, 154fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( A  ^m  suc  m )  ->  (
( z  e.  ( A  ^m  suc  m
)  |->  ( ( ( G `  m ) `
 ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  b )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) ) F ( b `  m ) ) )
156155ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( A  ^m  suc  m )  |->  ( ( ( G `  m
) `  ( z  |`  m ) ) F ( z `  m
) ) ) `  b )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) ) F ( b `  m ) ) )
157149, 156eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  =  ( ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) ) F ( b `  m ) ) )
158 df-ov 6043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) F ( b `  m
) )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. )
159157, 158syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. ) )
160148, 159eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  <->  ( F `  <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>. )  =  ( F `  <. ( ( G `  m ) `
 ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. ) ) )
16152ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
162 f1of1 5632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( A  X.  A
) -1-1-> A )
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  F : ( A  X.  A )
-1-1-> A )
16457adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) --> A )
165 fssres 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a : suc  m --> A  /\  m  C_  suc  m )  ->  (
a  |`  m ) : m --> A )
166120, 61, 165sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a  |`  m ) : m --> A )
16744ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  A  e.  V
)
168 elmapg 6990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  V  /\  m  e.  _V )  ->  ( ( a  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( a  |`  m
) : m --> A ) )
169167, 65, 168sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( a  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( a  |`  m
) : m --> A ) )
170166, 169mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a  |`  m )  e.  ( A  ^m  m ) )
171164, 170ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) )  e.  A
)
172 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a : suc  m --> A  /\  m  e.  suc  m )  ->  (
a `  m )  e.  A )
173120, 70, 172sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a `  m )  e.  A
)
174 opelxpi 4869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) )  e.  A  /\  (
a `  m )  e.  A )  ->  <. (
( G `  m
) `  ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >.  e.  ( A  X.  A ) )
175171, 173, 174syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>.  e.  ( A  X.  A ) )
176 fssres 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b : suc  m --> A  /\  m  C_  suc  m )  ->  (
b  |`  m ) : m --> A )
177124, 61, 176sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( b  |`  m ) : m --> A )
178 elmapg 6990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  V  /\  m  e.  _V )  ->  ( ( b  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( b  |`  m
) : m --> A ) )
179167, 65, 178sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( b  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
( b  |`  m
) : m --> A ) )
180177, 179mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( b  |`  m )  e.  ( A  ^m  m ) )
181164, 180ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( G `
 m ) `  ( b  |`  m
) )  e.  A
)
182 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b : suc  m --> A  /\  m  e.  suc  m )  ->  (
b `  m )  e.  A )
183124, 70, 182sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( b `  m )  e.  A
)
184 opelxpi 4869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) )  e.  A  /\  (
b `  m )  e.  A )  ->  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >.  e.  ( A  X.  A ) )
185181, 183, 184syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  <. ( ( G `
 m ) `  ( b  |`  m
) ) ,  ( b `  m )
>.  e.  ( A  X.  A ) )
186 f1fveq 5967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( A  X.  A ) -1-1-> A  /\  ( <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>.  e.  ( A  X.  A )  /\  <. ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >.  e.  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( ( F `  <. ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >. )  =  ( F `  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. )  <->  <. ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >.  =  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. ) )
187163, 175, 185, 186syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( F `
 <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>. )  =  ( F `  <. ( ( G `  m ) `
 ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. )  <->  <. ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) ) ,  ( a `  m
) >.  =  <. (
( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. ) )
188 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) )  e. 
_V
189 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a `
 m )  e. 
_V
190188, 189opth 4395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) ) ,  ( a `  m ) >.  =  <. ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. 
<->  ( ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) )  =  ( ( G `  m
) `  ( b  |`  m ) )  /\  ( a `  m
)  =  ( b `
 m ) ) )
191187, 190syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( F `
 <. ( ( G `
 m ) `  ( a  |`  m
) ) ,  ( a `  m )
>. )  =  ( F `  <. ( ( G `  m ) `
 ( b  |`  m ) ) ,  ( b `  m
) >. )  <->  ( (
( G `  m
) `  ( a  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) )  /\  ( a `  m )  =  ( b `  m ) ) ) )
192 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( G `  m ) : ( A  ^m  m )
-1-1-> A )
193 f1fveq 5967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  m
) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A  /\  ( ( a  |`  m )  e.  ( A  ^m  m )  /\  ( b  |`  m )  e.  ( A  ^m  m ) ) )  ->  (
( ( G `  m ) `  (
a  |`  m ) )  =  ( ( G `
 m ) `  ( b  |`  m
) )  <->  ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )
) )
194192, 170, 180, 193syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  m ) `
 ( a  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) )  <-> 
( a  |`  m
)  =  ( b  |`  m ) ) )
195194anbi1d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( ( G `  m
) `  ( a  |`  m ) )  =  ( ( G `  m ) `  (
b  |`  m ) )  /\  ( a `  m )  =  ( b `  m ) )  <->  ( ( a  |`  m )  =  ( b  |`  m )  /\  ( a `  m
)  =  ( b `
 m ) ) ) )
196160, 191, 1953bitrd 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  <->  ( (
a  |`  m )  =  ( b  |`  m
)  /\  ( a `  m )  =  ( b `  m ) ) ) )
197 eqfnfv 5786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  Fn  suc  m  /\  b  Fn  suc  m )  ->  (
a  =  b  <->  A. x  e.  suc  m ( a `
 x )  =  ( b `  x
) ) )
198122, 126, 197syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a  =  b  <->  A. x  e.  suc  m ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
199 df-suc 4547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  m  =  ( m  u. 
{ m } )
200199raleqi 2868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  suc  m ( a `  x )  =  ( b `  x )  <->  A. x  e.  ( m  u.  {
m } ) ( a `  x )  =  ( b `  x ) )
201 ralunb 3488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( m  u.  { m } ) ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( A. x  e.  m  (
a `  x )  =  ( b `  x )  /\  A. x  e.  { m }  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
202200, 201bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  suc  m ( a `  x )  =  ( b `  x )  <->  ( A. x  e.  m  (
a `  x )  =  ( b `  x )  /\  A. x  e.  { m }  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
203198, 202syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( a  =  b  <->  ( A. x  e.  m  ( a `  x )  =  ( b `  x )  /\  A. x  e. 
{ m }  (
a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
204136, 196, 2033bitr4d 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  <->  a  =  b ) )
205204biimpd 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  om  /\  ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A ) )  /\  ( a  e.  ( A  ^m  suc  m )  /\  b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ) )  ->  ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  ->  a  =  b ) )
206205ralrimivva 2758 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  A. a  e.  ( A  ^m  suc  m
) A. b  e.  ( A  ^m  suc  m ) ( ( ( G `  suc  m ) `  a
)  =  ( ( G `  suc  m
) `  b )  ->  a  =  b ) )
207 dff13 5963 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  suc  m
) : ( A  ^m  suc  m )
-1-1-> A  <->  ( ( G `
 suc  m ) : ( A  ^m  suc  m ) --> A  /\  A. a  e.  ( A  ^m  suc  m ) A. b  e.  ( A  ^m  suc  m
) ( ( ( G `  suc  m
) `  a )  =  ( ( G `
 suc  m ) `  b )  ->  a  =  b ) ) )
208118, 206, 207sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  om  /\  ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A ) )  ->  ( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A )
209208expr 599 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  ->  ( ( G `  m ) : ( A  ^m  m ) -1-1-> A  -> 
( G `  suc  m ) : ( A  ^m  suc  m
) -1-1-> A ) )
210209expcom 425 . . . 4  |-  ( m  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 m ) : ( A  ^m  m
) -1-1-> A  ->  ( G `
 suc  m ) : ( A  ^m  suc  m ) -1-1-> A ) ) )
21120, 27, 34, 51, 210finds2 4832 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( G `  y ) : ( A  ^m  y )
-1-1-> A ) )
2128, 211vtoclga 2977 . 2  |-  ( C  e.  om  ->  ( ph  ->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C )
-1-1-> A ) )
213212impcom 420 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  om )  ->  ( G `  C ) : ( A  ^m  C )
-1-1-> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    u. cun 3278    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777    e. cmpt 4226   suc csuc 4543   omcom 4804    X. cxp 4835    |` cres 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042  seq𝜔cseqom 6663   1oc1o 6676    ^m cmap 6977
This theorem is referenced by:  fseqenlem2  7862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-seqom 6664  df-1o 6683  df-map 6979
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