MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fseqen Structured version   Unicode version

Theorem fseqen 8442
Description: A set that is equinumerous to its Cartesian product is equinumerous to the set of finite sequences on it. (This can be proven more easily using some choice but this proof avoids it.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fseqen  |-  ( ( ( A  X.  A
)  ~~  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ~~  ( om  X.  A ) )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem fseqen
Dummy variables  f 
b  g  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7565 . 2  |-  ( ( A  X.  A ) 
~~  A  <->  E. f 
f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
2 n0 3750 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  A )
3 eeanv 2018 . . 3  |-  ( E. f E. b ( f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  <->  ( E. f  f : ( A  X.  A
)
-1-1-onto-> A  /\  E. b  b  e.  A ) )
4 omex 8095 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
5 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
6 f1ofo 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( A  X.  A
) -onto-> A )
7 forn 5783 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( A  X.  A ) -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  ran  f  =  A )
9 vex 3064 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
109rnex 6720 . . . . . . . 8  |-  ran  f  e.  _V
118, 10syl6eqelr 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  A  e.  _V )
12 xpexg 6586 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( om  X.  A
)  e.  _V )
134, 11, 12sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  ( om  X.  A
)  e.  _V )
14 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  A )
15 eqid 2404 . . . . . . 7  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  g  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( A  ^m  suc  k )  |->  ( ( g `  ( y  |`  k ) ) f ( y `  k
) ) ) ) ,  { <. (/) ,  b
>. } )  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
g  e.  _V  |->  ( y  e.  ( A  ^m  suc  k ) 
|->  ( ( g `  ( y  |`  k
) ) f ( y `  k ) ) ) ) ,  { <. (/) ,  b >. } )
16 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  <. dom  x ,  ( (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
g  e.  _V  |->  ( y  e.  ( A  ^m  suc  k ) 
|->  ( ( g `  ( y  |`  k
) ) f ( y `  k ) ) ) ) ,  { <. (/) ,  b >. } ) `  dom  x ) `  x
) >. )  =  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  <. dom  x ,  ( (seq𝜔 ( ( k  e.  _V , 
g  e.  _V  |->  ( y  e.  ( A  ^m  suc  k ) 
|->  ( ( g `  ( y  |`  k
) ) f ( y `  k ) ) ) ) ,  { <. (/) ,  b >. } ) `  dom  x ) `  x
) >. )
1711, 14, 5, 15, 16fseqenlem2 8440 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  <. dom  x ,  ( (seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  g  e.  _V  |->  ( y  e.  ( A  ^m  suc  k
)  |->  ( ( g `
 ( y  |`  k ) ) f ( y `  k
) ) ) ) ,  { <. (/) ,  b
>. } ) `  dom  x ) `  x
) >. ) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) -1-1-> ( om  X.  A ) )
18 f1domg 7575 . . . . . 6  |-  ( ( om  X.  A )  e.  _V  ->  (
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  <. dom  x ,  ( (seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  g  e.  _V  |->  ( y  e.  ( A  ^m  suc  k
)  |->  ( ( g `
 ( y  |`  k ) ) f ( y `  k
) ) ) ) ,  { <. (/) ,  b
>. } ) `  dom  x ) `  x
) >. ) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) -1-1-> ( om  X.  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~<_  ( om  X.  A ) ) )
1913, 17, 18sylc 61 . . . . 5  |-  ( ( f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~<_  ( om  X.  A ) )
20 fseqdom 8441 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( om  X.  A )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
2111, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ( f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  ( om  X.  A
)  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) )
22 sbth 7677 . . . . 5  |-  ( (
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~<_  ( om  X.  A )  /\  ( om  X.  A )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~~  ( om  X.  A ) )
2319, 21, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~~  ( om  X.  A ) )
2423exlimivv 1746 . . 3  |-  ( E. f E. b ( f : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~~  ( om  X.  A ) )
253, 24sylbir 215 . 2  |-  ( ( E. f  f : ( A  X.  A
)
-1-1-onto-> A  /\  E. b  b  e.  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~~  ( om  X.  A ) )
261, 2, 25syl2anb 479 1  |-  ( ( ( A  X.  A
)  ~~  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ~~  ( om  X.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407   E.wex 1635    e. wcel 1844    =/= wne 2600   _Vcvv 3061   (/)c0 3740   {csn 3974   <.cop 3980   U_ciun 4273   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455    X. cxp 4823   dom cdm 4825   ran crn 4826    |` cres 4827   suc csuc 5414   -1-1->wf1 5568   -onto->wfo 5569   -1-1-onto->wf1o 5570   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282   omcom 6685  seq𝜔cseqom 7151    ^m cmap 7459    ~~ cen 7553    ~<_ cdom 7554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-seqom 7152  df-1o 7169  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558
This theorem is referenced by:  infpwfien  8477
  Copyright terms: Public domain W3C validator