Theorem frsucopabn 13911

Description: The value of the finite recursive definition generator at a successor (special case where the characteristic function is an ordered-pair class abstraction and where the mapping class D is a proper class). This is a technical lemma that can be used together with frsucopab 5162 to help eliminate redundant sethood antecedents.

Hypotheses

Ref	Expression
frsucopabn.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
frsucopabn.2	|- (z e. B -> A.x z e. B)
frsucopabn.3	|- (z e. D -> A.x z e. D)
frsucopabn.4	|- F = (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)
frsucopabn.5	|- (x = (F` B) -> C = D)

Assertion

Ref	Expression
frsucopabn	|- (-. D e. _V -> (F` suc B) = (/))

Distinct variable groups:   z,D   y,z,C   z,A   z,B   x,y,z

Proof of Theorem frsucopabn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuc 5161	. . . 4 |- (B e. om -> ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)))
2		frsucopabn.4	. . . . 5 |- F = (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)
3	2	fveq1i 4682	. . . 4 |- (F` suc B) = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` suc B)
4	1, 3	syl5eq 1940	. . 3 |- (B e. om -> (F` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)))
5		hbopab1 3562	. . . . . . 7 |- (z e. {<.x, y>. | y = C} -> A.x z e. {<.x, y>. | y = C})
6		frsucopabn.1	. . . . . . 7 |- (z e. A -> A.x z e. A)
7	5, 6	hbrdg 5144	. . . . . 6 |- (z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A) -> A.x z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A))
8		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (z e. om -> A.x z e. om)
9	7, 8	hbres 4220	. . . . 5 |- (z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om) -> A.x z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om))
10		frsucopabn.2	. . . . 5 |- (z e. B -> A.x z e. B)
11	9, 10	hbfv 4686	. . . 4 |- (z e. ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) -> A.x z e. ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B))
12		frsucopabn.3	. . . 4 |- (z e. D -> A.x z e. D)
13	2	fveq1i 4682	. . . . . 6 |- (F` B) = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)
14	13	eqeq2i 1894	. . . . 5 |- (x = (F` B) <-> x = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B))
15		frsucopabn.5	. . . . 5 |- (x = (F` B) -> C = D)
16	14, 15	sylbir 218	. . . 4 |- (x = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) -> C = D)
17	11, 12, 16	fvopabnf 4751	. . 3 |- (-. D e. _V -> ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)) = (/))
18	4, 17	sylan9eq 1948	. 2 |- ((B e. om /\ -. D e. _V) -> (F` suc B) = (/))
19		peano2b 3968	. . . . . 6 |- (B e. om <-> suc B e. om)
20	2	dmeqi 4158	. . . . . . . 8 |- dom F = dom (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)
21		frfnom 5159	. . . . . . . . 9 |- (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om) Fn om
22		fndm 4512	. . . . . . . . 9 |- ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om) Fn om -> dom (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om) = om)
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- dom (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om) = om
24	20, 23	eqtri 1908	. . . . . . 7 |- dom F = om
25	24	eleq2i 1961	. . . . . 6 |- (suc B e. dom F <-> suc B e. om)
26	19, 25	bitr4i 193	. . . . 5 |- (B e. om <-> suc B e. dom F)
27	26	notbii 204	. . . 4 |- (-. B e. om <-> -. suc B e. dom F)
28		ndmfv 4702	. . . 4 |- (-. suc B e. dom F -> (F` suc B) = (/))
29	27, 28	sylbi 216	. . 3 |- (-. B e. om -> (F` suc B) = (/))
30	29	adantr 425	. 2 |- ((-. B e. om /\ -. D e. _V) -> (F` suc B) = (/))
31	18, 30	pm2.61ian 534	1 |- (-. D e. _V -> (F` suc B) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  {copab 3395  suc csuc 3659  omcom 3949  dom cdm 3986   |` cres 3988   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  reccrdg 5139

This theorem is referenced by:  trcllem1 13933

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140

Copyright terms: Public domain