Theorem frsucopab 5162

Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation (special case where the generation function is an ordered pair abstraction).

Hypotheses

Ref	Expression
frsucopab.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
frsucopab.2	|- (z e. B -> A.x z e. B)
frsucopab.3	|- (z e. D -> A.x z e. D)
frsucopab.4	|- F = (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)
frsucopab.5	|- (x = (F` B) -> C = D)

Assertion

Ref	Expression
frsucopab	|- ((B e. om /\ D e. R) -> (F` suc B) = D)

Distinct variable groups:   z,D   y,z,C   z,A   z,B   x,y,z

Proof of Theorem frsucopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuc 5161	. . 3 |- (B e. om -> ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)))
2		frsucopab.4	. . . 4 |- F = (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)
3	2	fveq1i 4682	. . 3 |- (F` suc B) = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` suc B)
4	1, 3	syl5eq 1940	. 2 |- (B e. om -> (F` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)))
5		fvex 4689	. . 3 |- ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) e. _V
6		hbopab1 3562	. . . . . . 7 |- (z e. {<.x, y>. | y = C} -> A.x z e. {<.x, y>. | y = C})
7		frsucopab.1	. . . . . . 7 |- (z e. A -> A.x z e. A)
8	6, 7	hbrdg 5144	. . . . . 6 |- (z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A) -> A.x z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A))
9		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (z e. om -> A.x z e. om)
10	8, 9	hbres 4220	. . . . 5 |- (z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om) -> A.x z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om))
11		frsucopab.2	. . . . 5 |- (z e. B -> A.x z e. B)
12	10, 11	hbfv 4686	. . . 4 |- (z e. ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) -> A.x z e. ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B))
13		frsucopab.3	. . . 4 |- (z e. D -> A.x z e. D)
14	2	fveq1i 4682	. . . . . 6 |- (F` B) = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)
15	14	eqeq2i 1894	. . . . 5 |- (x = (F` B) <-> x = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B))
16		frsucopab.5	. . . . 5 |- (x = (F` B) -> C = D)
17	15, 16	sylbir 218	. . . 4 |- (x = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) -> C = D)
18	12, 13, 17	fvopabgf 4750	. . 3 |- ((((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) e. _V /\ D e. R) -> ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)) = D)
19	5, 18	mpan 759	. 2 |- (D e. R -> ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)) = D)
20	4, 19	sylan9eq 1948	1 |- ((B e. om /\ D e. R) -> (F` suc B) = D)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  {copab 3395  suc csuc 3659  omcom 3949   |` cres 3988  ` cfv 3998  reccrdg 5139

This theorem is referenced by:  frsucmpt 5163  unblem2 5634  unblem3 5635  inf0 5712  trcl 5752  alephfplem2 6045  om2uzsuci 7707  trcllem1 13933  trcltr 13936

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140

Copyright terms: Public domain