Theorem frsucmpt 5163

Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation (special case where the generation function is expressed in maps-to notation).

Hypotheses

Ref	Expression
frsucmpt.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
frsucmpt.2	|- (z e. B -> A.x z e. B)
frsucmpt.3	|- (z e. D -> A.x z e. D)
frsucmpt.4	|- F = (rec((x e. _V |-> C), A) |` om)
frsucmpt.5	|- (x = (F` B) -> C = D)

Assertion

Ref	Expression
frsucmpt	|- ((B e. om /\ D e. R) -> (F` suc B) = D)

Distinct variable groups:   z,D   z,C   z,A   z,B   x,z

Proof of Theorem frsucmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsucmpt.1	. 2 |- (z e. A -> A.x z e. A)
2		frsucmpt.2	. 2 |- (z e. B -> A.x z e. B)
3		frsucmpt.3	. 2 |- (z e. D -> A.x z e. D)
4		frsucmpt.4	. . 3 |- F = (rec((x e. _V |-> C), A) |` om)
5		df-mpt 5006	. . . . . 6 |- (x e. _V |-> C) = {<.x, y>. | (x e. _V /\ y = C)}
6		visset 2295	. . . . . . . 8 |- x e. _V
7	6	biantrur 794	. . . . . . 7 |- (y = C <-> (x e. _V /\ y = C))
8	7	opabbii 3402	. . . . . 6 |- {<.x, y>. | y = C} = {<.x, y>. | (x e. _V /\ y = C)}
9	5, 8	eqtr4i 1911	. . . . 5 |- (x e. _V |-> C) = {<.x, y>. | y = C}
10		rdgeq1 5142	. . . . 5 |- ((x e. _V |-> C) = {<.x, y>. | y = C} -> rec((x e. _V |-> C), A) = rec({<.x, y>. | y = C}, A))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . 4 |- rec((x e. _V |-> C), A) = rec({<.x, y>. | y = C}, A)
12		reseq1 4218	. . . 4 |- (rec((x e. _V |-> C), A) = rec({<.x, y>. | y = C}, A) -> (rec((x e. _V |-> C), A) |` om) = (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om))
13	11, 12	ax-mp 7	. . 3 |- (rec((x e. _V |-> C), A) |` om) = (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)
14	4, 13	eqtri 1908	. 2 |- F = (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)
15		frsucmpt.5	. 2 |- (x = (F` B) -> C = D)
16	1, 2, 3, 14, 15	frsucopab 5162	1 |- ((B e. om /\ D e. R) -> (F` suc B) = D)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  {copab 3395  suc csuc 3659  omcom 3949   |` cres 3988  ` cfv 3998   e. cmpt 5004  reccrdg 5139

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-mpt 5006  df-rdg 5140

Copyright terms: Public domain