Theorem frsuc 5161

Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation.

Assertion

Ref	Expression
frsuc	|- (B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` suc B) = (F` ((rec(F, A) |` om)` B)))

Proof of Theorem frsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 3957	. . 3 |- (B e. om -> B e. On)
2		rdgsuc 5153	. . 3 |- (B e. On -> (rec(F, A)` suc B) = (F` (rec(F, A)` B)))
3	1, 2	syl 12	. 2 |- (B e. om -> (rec(F, A)` suc B) = (F` (rec(F, A)` B)))
4		peano2b 3968	. . 3 |- (B e. om <-> suc B e. om)
5		fvres 4691	. . 3 |- (suc B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` suc B) = (rec(F, A)` suc B))
6	4, 5	sylbi 216	. 2 |- (B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` suc B) = (rec(F, A)` suc B))
7		fvres 4691	. . 3 |- (B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` B) = (rec(F, A)` B))
8	7	fveq2d 4685	. 2 |- (B e. om -> (F` ((rec(F, A) |` om)` B)) = (F` (rec(F, A)` B)))
9	3, 6, 8	3eqtr4d 1937	1 |- (B e. om -> ((rec(F, A) |` om)` suc B) = (F` ((rec(F, A) |` om)` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  Oncon0 3657  suc csuc 3659  omcom 3949   |` cres 3988  ` cfv 3998  reccrdg 5139

This theorem is referenced by:  frsucopab 5162  inf3lemc 5717  frsucopabn 13911  expm 14725

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140

Copyright terms: Public domain