Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frrusgraord Structured version   Unicode version

Theorem frrusgraord 24748
 Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to the third claim in the proof of the friendship theorem in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". Variant of frgregordn0 24747, using the definition RegUSGrph (df-rusgra 24601). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
frrusgraord FriendGrph RegUSGrph

Proof of Theorem frrusgraord
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4 FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
21adantl 466 . . 3 FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
3 simpll 753 . . 3 FriendGrph RegUSGrph
4 simplr 754 . . 3 FriendGrph RegUSGrph
5 rusgraprop 24605 . . . . . 6 RegUSGrph USGrph VDeg
65simp3d 1010 . . . . 5 RegUSGrph VDeg
76adantl 466 . . . 4 FriendGrph RegUSGrph VDeg
87adantl 466 . . 3 FriendGrph RegUSGrph VDeg
9 frgregordn0 24747 . . . 4 FriendGrph VDeg
109imp 429 . . 3 FriendGrph VDeg
112, 3, 4, 8, 10syl31anc 1231 . 2 FriendGrph RegUSGrph
1211ex 434 1 FriendGrph RegUSGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  c0 3785  cop 4033   class class class wbr 4447  cfv 5586  (class class class)co 6282  cfn 7513  c1 9489   caddc 9491   cmul 9493   cmin 9801  cn0 10791  chash 12369   USGrph cusg 24006   VDeg cvdg 24569   RegUSGrph crusgra 24599   FriendGrph cfrgra 24664 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-word 12504  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-usgra 24009  df-nbgra 24096  df-wlk 24184  df-trail 24185  df-pth 24186  df-spth 24187  df-wlkon 24190  df-spthon 24193  df-2wlkonot 24534  df-2spthonot 24536  df-2spthsot 24537  df-vdgr 24570  df-rgra 24600  df-rusgra 24601  df-frgra 24665 This theorem is referenced by:  numclwwlk7  24791  frgraregord013  24795
 Copyright terms: Public domain W3C validator