Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frrusgraord Structured version   Unicode version

Theorem frrusgraord 25370
 Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". Variant of frgregordn0 25369, using the definition RegUSGrph (df-rusgra 25224). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
frrusgraord FriendGrph RegUSGrph

Proof of Theorem frrusgraord
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 755 . . 3 FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
2 simpll 752 . . 3 FriendGrph RegUSGrph
3 simplr 754 . . 3 FriendGrph RegUSGrph
4 rusgraprop 25228 . . . . 5 RegUSGrph USGrph VDeg
54simp3d 1009 . . . 4 RegUSGrph VDeg
65ad2antll 727 . . 3 FriendGrph RegUSGrph VDeg
7 frgregordn0 25369 . . . 4 FriendGrph VDeg
87imp 427 . . 3 FriendGrph VDeg
91, 2, 3, 6, 8syl31anc 1231 . 2 FriendGrph RegUSGrph
109ex 432 1 FriendGrph RegUSGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 972   wceq 1403   wcel 1840   wne 2596  wral 2751  c0 3735  cop 3975   class class class wbr 4392  cfv 5523  (class class class)co 6232  cfn 7472  c1 9441   caddc 9443   cmul 9445   cmin 9759  cn0 10754  chash 12357   USGrph cusg 24629   VDeg cvdg 25192   RegUSGrph crusgra 25222   FriendGrph cfrgra 25287 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-ot 3978  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-disj 4364  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-xadd 11288  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-word 12496  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-sum 13563  df-usgra 24632  df-nbgra 24719  df-wlk 24807  df-trail 24808  df-pth 24809  df-spth 24810  df-wlkon 24813  df-spthon 24816  df-2wlkonot 25157  df-2spthonot 25159  df-2spthsot 25160  df-vdgr 25193  df-rgra 25223  df-rusgra 25224  df-frgra 25288 This theorem is referenced by:  numclwwlk7  25413  frgraregord013  25417
 Copyright terms: Public domain W3C validator