Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frrlem5c Structured version   Unicode version

Theorem frrlem5c 29558
Description: Lemma for founded recursion. The union of a subclass of  B is a function. (Contributed by Paul Chapman, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
frrlem5.1  |-  R  Fr  A
frrlem5.2  |-  R Se  A
frrlem5.3  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
frrlem5c  |-  ( C 
C_  B  ->  Fun  U. C )
Distinct variable groups:    A, f, x, y    f, G, x, y    R, f, x, y   
x, B
Allowed substitution hints:    B( y, f)    C( x, y, f)

Proof of Theorem frrlem5c
Dummy variables  g  h  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4184 . 2  |-  ( C 
C_  B  ->  U. C  C_ 
U. B )
2 ssid 3436 . . . 4  |-  B  C_  B
3 frrlem5.1 . . . . 5  |-  R  Fr  A
4 frrlem5.2 . . . . 5  |-  R Se  A
5 frrlem5.3 . . . . 5  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
63, 4, 5frrlem5b 29557 . . . 4  |-  ( B 
C_  B  ->  Rel  U. B )
72, 6ax-mp 5 . . 3  |-  Rel  U. B
8 eluni 4166 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  u >.  e. 
U. B  <->  E. g
( <. x ,  u >.  e.  g  /\  g  e.  B ) )
9 df-br 4368 . . . . . . . . 9  |-  ( x U. B u  <->  <. x ,  u >.  e.  U. B
)
10 df-br 4368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x g u  <->  <. x ,  u >.  e.  g
)
1110anbi1i 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x g u  /\  g  e.  B )  <->  (
<. x ,  u >.  e.  g  /\  g  e.  B ) )
1211exbii 1675 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g ( x g u  /\  g  e.  B )  <->  E. g
( <. x ,  u >.  e.  g  /\  g  e.  B ) )
138, 9, 123bitr4i 277 . . . . . . . 8  |-  ( x U. B u  <->  E. g
( x g u  /\  g  e.  B
) )
14 eluni 4166 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  v >.  e.  U. B  <->  E. h
( <. x ,  v
>.  e.  h  /\  h  e.  B ) )
15 df-br 4368 . . . . . . . . 9  |-  ( x U. B v  <->  <. x ,  v >.  e.  U. B
)
16 df-br 4368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x h v  <->  <. x ,  v >.  e.  h
)
1716anbi1i 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x h v  /\  h  e.  B )  <->  (
<. x ,  v >.  e.  h  /\  h  e.  B ) )
1817exbii 1675 . . . . . . . . 9  |-  ( E. h ( x h v  /\  h  e.  B )  <->  E. h
( <. x ,  v
>.  e.  h  /\  h  e.  B ) )
1914, 15, 183bitr4i 277 . . . . . . . 8  |-  ( x U. B v  <->  E. h
( x h v  /\  h  e.  B
) )
2013, 19anbi12i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  <->  ( E. g ( x g u  /\  g  e.  B )  /\  E. h ( x h v  /\  h  e.  B ) ) )
21 eeanv 1996 . . . . . . 7  |-  ( E. g E. h ( ( x g u  /\  g  e.  B
)  /\  ( x h v  /\  h  e.  B ) )  <->  ( E. g ( x g u  /\  g  e.  B )  /\  E. h ( x h v  /\  h  e.  B ) ) )
2220, 21bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  <->  E. g E. h ( ( x g u  /\  g  e.  B )  /\  (
x h v  /\  h  e.  B )
) )
233, 4, 5frrlem5 29556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  B  /\  h  e.  B )  ->  ( ( x g u  /\  x h v )  ->  u  =  v ) )
2423impcom 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x g u  /\  x h v )  /\  ( g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  ->  u  =  v )
2524an4s 824 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x g u  /\  g  e.  B
)  /\  ( x h v  /\  h  e.  B ) )  ->  u  =  v )
2625exlimivv 1731 . . . . . 6  |-  ( E. g E. h ( ( x g u  /\  g  e.  B
)  /\  ( x h v  /\  h  e.  B ) )  ->  u  =  v )
2722, 26sylbi 195 . . . . 5  |-  ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  ->  u  =  v )
2827ax-gen 1626 . . . 4  |-  A. v
( ( x U. B u  /\  x U. B v )  ->  u  =  v )
2928gen2 1627 . . 3  |-  A. x A. u A. v ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  ->  u  =  v )
30 dffun2 5506 . . 3  |-  ( Fun  U. B  <->  ( Rel  U. B  /\  A. x A. u A. v ( ( x U. B u  /\  x U. B
v )  ->  u  =  v ) ) )
317, 29, 30mpbir2an 918 . 2  |-  Fun  U. B
32 funss 5514 . 2  |-  ( U. C  C_  U. B  -> 
( Fun  U. B  ->  Fun  U. C ) )
331, 31, 32mpisyl 18 1  |-  ( C 
C_  B  ->  Fun  U. C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1397    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826   {cab 2367   A.wral 2732    C_ wss 3389   <.cop 3950   U.cuni 4163   class class class wbr 4367    Fr wfr 4749   Se wse 4750    |` cres 4915   Rel wrel 4918   Fun wfun 5490    Fn wfn 5491   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Predcpred 29408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-pred 29409  df-trpred 29466
This theorem is referenced by:  frrlem10  29563
  Copyright terms: Public domain W3C validator