Theorem frrlem11 27900

Description: Lemma for founded recursion. Here, we calculate the value of F (the union of all acceptable functions). (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
frrlem10.1	|- R Fr A
frrlem10.2	|- R Se A
frrlem10.3	|- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
frrlem10.4	|- F = U. B

Assertion

Ref	Expression
frrlem11	|- ( y e. dom F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, x, y   x, F   f, G, x, y   R, f, x, y   x, B   f, F

Allowed substitution hints:   B( y, f)   F( y)

Proof of Theorem frrlem11

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3057	. . 3 |- y e. _V
2	1	eldm2 5122	. 2 |- ( y e. dom F <-> E. z <. y , z >. e. F )
3		frrlem10.4	. . . . . . 7 |- F = U. B
4		frrlem10.3	. . . . . . . 8 |- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
5	4	unieqi 4184	. . . . . . 7 |- U. B = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
6	3, 5	eqtri 2478	. . . . . 6 |- F = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
7	6	eleq2i 2526	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. F <-> <. y , z >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) } )
8		eluniab 4186	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) } <-> E. f ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
9	7, 8	bitri 249	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. F <-> E. f ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
10	4	abeq2i 2575	. . . . . . . 8 |- ( f e. B <-> E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
11		elssuni 4205	. . . . . . . . 9 |- ( f e. B -> f C_ U. B )
12	11, 3	syl6sseqr 3487	. . . . . . . 8 |- ( f e. B -> f C_ F )
13	10, 12	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> f C_ F )
14		fnop 5598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn x /\ <. y , z >. e. f ) -> y e. x )
15	14	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn x -> ( <. y , z >. e. f -> y e. x ) )
16		rsp 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( y e. x -> ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
17	16	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
18		rsp 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( y e. x -> Pred ( R , A , y ) C_ x ) )
19		fndm 5594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( f Fn x -> dom f = x )
20		sseq2 3462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( dom f = x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f <-> Pred ( R , A , y ) C_ x ) )
21		eleq2 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( dom f = x -> ( y e. dom f <-> y e. x ) )
22	20, 21	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( dom f = x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) <-> ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ y e. x ) ) )
23	19, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( f Fn x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) <-> ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ y e. x ) ) )
24	23	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f Fn x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ y e. x ) -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) )
25	24	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f Fn x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) ) )
26	25	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ f Fn x ) -> ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) )
27		frrlem10.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- R Fr A
28		frrlem10.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- R Se A
29	27, 28, 4, 3	frrlem10 27899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- Fun F
30		funssfv 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ y e. dom f ) -> ( F ` y ) = ( f ` y ) )
31	30	3adant3l 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( F ` y ) = ( f ` y ) )
32		fun2ssres 5543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ Pred ( R , A , y ) C_ dom f ) -> ( F |` Pred ( R , A , y ) ) = ( f |` Pred ( R , A , y ) ) )
33	32	3adant3r 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , y ) ) = ( f |` Pred ( R , A , y ) ) )
34	33	oveq2d 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
35	31, 34	eqeq12d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) <-> ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
36	35	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
37	29, 36	mp3an1 1302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
38	37	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) -> ( f C_ F -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
39	38	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
40	26, 39	syl6com 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ f Fn x ) -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
41	40	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( f Fn x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
42	41	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f Fn x -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
43	18, 42	sylcom 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( y e. x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f Fn x -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
44	43	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( y e. x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f Fn x -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
45	44	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
46	17, 45	syl7 68	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( y e. x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
47	46	exp4a 606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) ) )
48	47	pm2.43d 48	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
49	48	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
50	49	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn x /\ y e. x ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
51	50	expd 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn x /\ y e. x ) -> ( x C_ A -> ( A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
52	51	3impd 1202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn x /\ y e. x ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
53	52	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
54	15, 53	syld 44	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn x -> ( <. y , z >. e. f -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
55	54	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( <. y , z >. e. f -> ( f Fn x -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
56	55	impd 431	. . . . . . . 8 |- ( <. y , z >. e. f -> ( ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
57	56	exlimdv 1691	. . . . . . 7 |- ( <. y , z >. e. f -> ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
58	13, 57	mpdi 42	. . . . . 6 |- ( <. y , z >. e. f -> ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
59	58	imp 429	. . . . 5 |- ( ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
60	59	exlimiv 1689	. . . 4 |- ( E. f ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
61	9, 60	sylbi 195	. . 3 |- ( <. y , z >. e. F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
62	61	exlimiv 1689	. 2 |- ( E. z <. y , z >. e. F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
63	2, 62	sylbi 195	1 |- ( y e. dom F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1757   {cab 2435   A.wral 2792   C_ wss 3412   <.cop 3967   U.cuni 4175   Fr wfr 4760   Se wse 4761   dom cdm 4924   |` cres 4926   Fun wfun 5496   Fn wfn 5497   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Predcpred 27744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-om 6563  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-pred 27745  df-trpred 27802

This theorem is referenced by: (None)