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Theorem frrlem11 29616
Description: Lemma for founded recursion. Here, we calculate the value of  F (the union of all acceptable functions). (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
frrlem10.1  |-  R  Fr  A
frrlem10.2  |-  R Se  A
frrlem10.3  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
frrlem10.4  |-  F  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
frrlem11  |-  ( y  e.  dom  F  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, x, y    x, F    f, G, x, y    R, f, x, y    x, B   
f, F
Allowed substitution hints:    B( y, f)    F( y)

Proof of Theorem frrlem11
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . 3  |-  y  e. 
_V
21eldm2 5211 . 2  |-  ( y  e.  dom  F  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  F )
3 frrlem10.4 . . . . . . 7  |-  F  = 
U. B
4 frrlem10.3 . . . . . . . 8  |-  B  =  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
54unieqi 4260 . . . . . . 7  |-  U. B  =  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
63, 5eqtri 2486 . . . . . 6  |-  F  = 
U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }
76eleq2i 2535 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  <->  <. y ,  z
>.  e.  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) } )
8 eluniab 4262 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U. { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) }  <->  E. f ( <. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) )
97, 8bitri 249 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  <->  E. f ( <.
y ,  z >.  e.  f  /\  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) )
104abeq2i 2584 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  B  <->  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) )
11 elssuni 4281 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  B  ->  f  C_ 
U. B )
1211, 3syl6sseqr 3546 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  B  ->  f  C_  F )
1310, 12sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  -> 
f  C_  F )
14 fnop 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  x  /\  <.
y ,  z >.  e.  f )  ->  y  e.  x )
1514ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  x  ->  ( <. y ,  z >.  e.  f  ->  y  e.  x ) )
16 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( y  e.  x  ->  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
1716impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  ->  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
18 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x ) )
19 fndm 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  Fn  x  ->  dom  f  =  x )
20 sseq2 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( dom  f  =  x  -> 
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  <->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )
)
21 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( dom  f  =  x  -> 
( y  e.  dom  f 
<->  y  e.  x ) )
2220, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( dom  f  =  x  -> 
( ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f )  <->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  y  e.  x
) ) )
2319, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  Fn  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  <->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  y  e.  x
) ) )
2423biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  Fn  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  y  e.  x )  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) )
2524expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  Fn  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) ) )
2625impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  f  Fn  x )  ->  (
y  e.  x  -> 
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f ) ) )
27 frrlem10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  R  Fr  A
28 frrlem10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  R Se  A
2927, 28, 4, 3frrlem10 29615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  Fun  F
30 funssfv 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  y  e. 
dom  f )  -> 
( F `  y
)  =  ( f `
 y ) )
31303adant3l 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( F `  y )  =  ( f `  y ) )
32 fun2ssres 5635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  dom  f )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )
33323adant3r 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )
3433oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
3531, 34eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( F `
 y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  <->  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
3635biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( f `
 y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
3729, 36mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f  C_  F  /\  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f ) )  ->  ( ( f `
 y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
3837expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( f  C_  F  ->  ( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
3938com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
Pred ( R ,  A ,  y )  C_ 
dom  f  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
4026, 39syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  x  ->  (
( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  f  Fn  x )  ->  (
( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) )
4140expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( f  Fn  x  ->  ( (
f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4241com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  x  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( ( f `
 y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  -> 
( f  Fn  x  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) ) )
4318, 42sylcom 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) ) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  Fn  x  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
4544com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4617, 45syl7 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( y  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4746exp4a 606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( y  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) ) )
4847pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) ) )
4948com34 83 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
5049imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) )
5150expd 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( x  C_  A  ->  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  ->  ( f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) ) ) )
52513impd 1210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
5352ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) )
5415, 53syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  x  ->  ( <. y ,  z >.  e.  f  ->  ( ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )  ->  (
f  C_  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) ) )
5554com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( f  Fn  x  ->  (
( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) ) )
5655impd 431 . . . . . . . 8  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
5756exlimdv 1725 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  -> 
( f  C_  F  ->  ( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )
5813, 57mpdi 42 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  f  ->  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )
5958imp 429 . . . . 5  |-  ( (
<. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
6059exlimiv 1723 . . . 4  |-  ( E. f ( <. y ,  z >.  e.  f  /\  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( y G ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
619, 60sylbi 195 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  F  ->  ( F `
 y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
6261exlimiv 1723 . 2  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  F  ->  ( F `  y )  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
632, 62sylbi 195 1  |-  ( y  e.  dom  F  -> 
( F `  y
)  =  ( y G ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807    C_ wss 3471   <.cop 4038   U.cuni 4251    Fr wfr 4844   Se wse 4845   dom cdm 5008    |` cres 5010   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Predcpred 29460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-pred 29461  df-trpred 29518
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