Theorem frrlem11 30477

Description: Lemma for founded recursion. Here, we calculate the value of F (the union of all acceptable functions). (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
frrlem10.1	|- R Fr A
frrlem10.2	|- R Se A
frrlem10.3	|- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
frrlem10.4	|- F = U. B

Assertion

Ref	Expression
frrlem11	|- ( y e. dom F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, x, y   x, F   f, G, x, y   R, f, x, y   x, B   f, F

Allowed substitution hints:   B( y, f)   F( y)

Proof of Theorem frrlem11

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3025	. . 3 |- y e. _V
2	1	eldm2 4995	. 2 |- ( y e. dom F <-> E. z <. y , z >. e. F )
3		frrlem10.4	. . . . . . 7 |- F = U. B
4		frrlem10.3	. . . . . . . 8 |- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
5	4	unieqi 4171	. . . . . . 7 |- U. B = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
6	3, 5	eqtri 2450	. . . . . 6 |- F = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
7	6	eleq2i 2498	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. F <-> <. y , z >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) } )
8		eluniab 4173	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) } <-> E. f ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
9	7, 8	bitri 252	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. F <-> E. f ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
10	4	abeq2i 2540	. . . . . . . 8 |- ( f e. B <-> E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
11		elssuni 4191	. . . . . . . . 9 |- ( f e. B -> f C_ U. B )
12	11, 3	syl6sseqr 3454	. . . . . . . 8 |- ( f e. B -> f C_ F )
13	10, 12	sylbir 216	. . . . . . 7 |- ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> f C_ F )
14		fnop 5640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn x /\ <. y , z >. e. f ) -> y e. x )
15	14	ex 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn x -> ( <. y , z >. e. f -> y e. x ) )
16		rsp 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( y e. x -> ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
17	16	impcom 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
18		rsp 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( y e. x -> Pred ( R , A , y ) C_ x ) )
19		fndm 5636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( f Fn x -> dom f = x )
20		sseq2 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( dom f = x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f <-> Pred ( R , A , y ) C_ x ) )
21		eleq2 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( dom f = x -> ( y e. dom f <-> y e. x ) )
22	20, 21	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( dom f = x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) <-> ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ y e. x ) ) )
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( f Fn x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) <-> ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ y e. x ) ) )
24	23	biimprd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f Fn x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ y e. x ) -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) )
25	24	expd 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f Fn x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) ) )
26	25	impcom 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ f Fn x ) -> ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) )
27		frrlem10.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- R Fr A
28		frrlem10.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- R Se A
29	27, 28, 4, 3	frrlem10 30476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- Fun F
30		funssfv 5840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ y e. dom f ) -> ( F ` y ) = ( f ` y ) )
31	30	3adant3l 1260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( F ` y ) = ( f ` y ) )
32		fun2ssres 5585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ Pred ( R , A , y ) C_ dom f ) -> ( F |` Pred ( R , A , y ) ) = ( f |` Pred ( R , A , y ) ) )
33	32	3adant3r 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , y ) ) = ( f |` Pred ( R , A , y ) ) )
34	33	oveq2d 6265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
35	31, 34	eqeq12d 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) <-> ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
36	35	biimprd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
37	29, 36	mp3an1 1347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
38	37	expcom 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) -> ( f C_ F -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
39	38	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
40	26, 39	syl6com 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ f Fn x ) -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
41	40	expd 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( f Fn x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
42	41	com34 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f Fn x -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
43	18, 42	sylcom 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( y e. x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f Fn x -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
44	43	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( y e. x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f Fn x -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
45	44	com14 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
46	17, 45	syl7 70	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( y e. x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
47	46	exp4a 609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) ) )
48	47	pm2.43d 50	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
49	48	com34 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
50	49	imp 430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn x /\ y e. x ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
51	50	expd 437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn x /\ y e. x ) -> ( x C_ A -> ( A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
52	51	3impd 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn x /\ y e. x ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
53	52	ex 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
54	15, 53	syld 45	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn x -> ( <. y , z >. e. f -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
55	54	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( <. y , z >. e. f -> ( f Fn x -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
56	55	impd 432	. . . . . . . 8 |- ( <. y , z >. e. f -> ( ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
57	56	exlimdv 1772	. . . . . . 7 |- ( <. y , z >. e. f -> ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
58	13, 57	mpdi 43	. . . . . 6 |- ( <. y , z >. e. f -> ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
59	58	imp 430	. . . . 5 |- ( ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
60	59	exlimiv 1770	. . . 4 |- ( E. f ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
61	9, 60	sylbi 198	. . 3 |- ( <. y , z >. e. F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
62	61	exlimiv 1770	. 2 |- ( E. z <. y , z >. e. F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
63	2, 62	sylbi 198	1 |- ( y e. dom F -> ( F ` y ) = ( y G ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   {cab 2414   A.wral 2714   C_ wss 3379   <.cop 3947   U.cuni 4162   Fr wfr 4752   Se wse 4753   dom cdm 4796   |` cres 4798   Predcpred 5341   Fun wfun 5538   Fn wfn 5539   ` cfv 5544  (class class class)co 6249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-trpred 30410

This theorem is referenced by: (None)