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Theorem frr3g 23448
Description: Functions defined by founded recursion are identical up to relation, domain, and characteristic function. General version of frr3 (Contributed by Scott Fenton, 10-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
frr3g  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, G    y, H    y, R

Proof of Theorem frr3g
StepHypRef Expression
1 nfv 1629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
21ra5 3005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z ) ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )  -> 
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( F `
 w )  =  ( G `  w
) ) )
3 r19.26 2637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  A  (
( F `  y
)  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  /\  ( G `
 y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )  <-> 
( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
43anbi2i 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  A. y  e.  A  ( ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  <-> 
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) )
5 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
6 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  y  =  z )
7 predeq3 23339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  z  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
z ) )
87reseq2d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )
96, 8oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )
105, 9eqeq12d 2267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  y
)  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  <->  ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) ) )
11 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
127reseq2d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )
136, 12oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )
1411, 13eqeq12d 2267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
)  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  <->  ( G `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) ) )
1510, 14anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  /\  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  <->  ( ( F `
 z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( G `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) ) ) )
1615rcla4va 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( ( F `  y
)  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  /\  ( G `
 y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  ->  ( ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  /\  ( G `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) ) )
17 predss 23341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  A
18 fvreseq 5480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  A )  ->  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  <->  A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( F `
 w )  =  ( G `  w
) ) )
1917, 18mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  <->  A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( F `
 w )  =  ( G `  w
) ) )
2019biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  ->  ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) )  =  ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )
2120oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  ->  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) )
2221eqcomd 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  ->  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) )
23 eqtr3 2272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) )  ->  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  =  ( F `
 z ) )
2423eqcomd 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )
25 eqtr3 2272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F `  z
)  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( G `
 z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) )
2625ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  ->  ( ( G `
 z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) )
2724, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) )  ->  ( ( G `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) )
2827expimpd 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )  ->  (
( ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) )  /\  ( G `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) )
2922, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  ->  ( ( ( F `  z )  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
z ) ) )  /\  ( G `  z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z )
) ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) )
3029com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  z
)  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( G `
 z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) )  ->  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( F `
 w )  =  ( G `  w
) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) )
3130exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  z
)  =  ( z H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) )  /\  ( G `
 z )  =  ( z H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) )  ->  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( F `
 w )  =  ( G `  w
)  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
3216, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( ( F `  y
)  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  /\  ( G `
 y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) ) )  ->  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( A. w  e. 
Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) )
3332ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  /\  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  ->  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( A. w  e. 
Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) ) )
3433com23 74 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  A  ->  (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  ->  ( A. y  e.  A  (
( F `  y
)  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  /\  ( G `
 y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ) )  ->  ( A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) ) )
3534imp3a 422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  A. y  e.  A  ( ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) )
364, 35syl5bir 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  A  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( A. w  e.  Pred  ( R ,  A ,  z )
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) )
3736a2d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  A  ->  (
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( F `
 w )  =  ( G `  w
) )  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
382, 37syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. w  e.  Pred  ( R ,  A , 
z ) ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )  ->  ( (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
39 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
40 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  ( G `  z )  =  ( G `  w ) )
4139, 40eqeq12d 2267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) )
4241imbi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) )  <->  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) ) )
4338, 42frins2g 23417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  A. z  e.  A  ( (
( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) )
44 ra4 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  (
( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) )  ->  ( z  e.  A  ->  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  A  -> 
( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
4645com3r 75 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )  ->  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  A  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) )
4746an4s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  (
( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  ( z  e.  A  ->  ( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) )
4847com12 29 . . . . 5  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  (
z  e.  A  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) ) )
49483impib 1154 . . . 4  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  (
z  e.  A  -> 
( F `  z
)  =  ( G `
 z ) ) )
5049ralrimiv 2587 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( F `  z )  =  ( G `  z ) )
51 eqid 2253 . . 3  |-  A  =  A
5250, 51jctil 525 . 2  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  ( A  =  A  /\  A. z  e.  A  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) )
53 eqfnfv2 5475 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( F  =  G  <-> 
( A  =  A  /\  A. z  e.  A  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
5453ad2ant2r 730 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  ( F  =  G  <->  ( A  =  A  /\  A. z  e.  A  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
55543adant1 978 . 2  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  ( F  =  G  <->  ( A  =  A  /\  A. z  e.  A  ( F `  z )  =  ( G `  z ) ) ) )
5652, 55mpbird 225 1  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  R Se  A )  /\  ( F  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( F `  y )  =  ( y H ( F  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  =  ( y H ( G  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509    C_ wss 3078    Fr wfr 4242   Se wse 4243    |` cres 4582    Fn wfn 4587   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Predcpred 23335
This theorem is referenced by:  frrlem5  23453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-pred 23336  df-trpred 23389
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