Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frmx Structured version   Unicode version

Theorem frmx 35515
Description: The X sequence is a nonnegative integer. See rmxnn 35555 for a strengthening. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
frmx  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0

Proof of Theorem frmx
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rmxyelxp 35514 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  ( ( a  +  ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
b ) )  e.  ( NN0  X.  ZZ ) )
2 xp1st 6828 . . . 4  |-  ( ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  ( ( a  +  ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
b ) )  e.  ( NN0  X.  ZZ )  ->  ( 1st `  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  ( ( a  +  ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
b ) ) )  e.  NN0 )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( 1st `  ( `' ( c  e.  ( NN0 
X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c
)  +  ( ( sqr `  ( ( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c
) ) ) ) `
 ( ( a  +  ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ b
) ) )  e. 
NN0 )
43rgen2 2848 . 2  |-  A. a  e.  ( ZZ>= `  2 ) A. b  e.  ZZ  ( 1st `  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ ) 
|->  ( ( 1st `  c
)  +  ( ( sqr `  ( ( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c
) ) ) ) `
 ( ( a  +  ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ b
) ) )  e. 
NN0
5 df-rmx 35504 . . 3  |- Xrm  =  (
a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ,  b  e.  ZZ  |->  ( 1st `  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  (
( a  +  ( sqr `  ( ( a ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ b ) ) ) )
65fmpt2 6865 . 2  |-  ( A. a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) A. b  e.  ZZ  ( 1st `  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  ( ( a  +  ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
b ) ) )  e.  NN0  <-> Xrm 
: ( ( ZZ>= ` 
2 )  X.  ZZ )
--> NN0 )
74, 6mpbi 211 1  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    e. wcel 1867   A.wral 2773    |-> cmpt 4475    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   1stc1st 6796   2ndc2nd 6797   1c1 9529    + caddc 9531    x. cmul 9533    - cmin 9849   2c2 10648   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   ZZ>=cuz 11148   ^cexp 12258   sqrcsqrt 13264   Xrm crmx 35502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-acn 8366  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-fac 12446  df-bc 12474  df-hash 12502  df-shft 13098  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-limsup 13493  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-ef 14088  df-sin 14090  df-cos 14091  df-pi 14093  df-dvds 14273  df-gcd 14432  df-numer 14644  df-denom 14645  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-starv 15165  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-ip 15168  df-tset 15169  df-ple 15170  df-ds 15172  df-unif 15173  df-hom 15174  df-cco 15175  df-rest 15281  df-topn 15282  df-0g 15300  df-gsum 15301  df-topgen 15302  df-pt 15303  df-prds 15306  df-xrs 15360  df-qtop 15365  df-imas 15366  df-xps 15368  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-acs 15447  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-submnd 16535  df-mulg 16628  df-cntz 16923  df-cmn 17373  df-psmet 18903  df-xmet 18904  df-met 18905  df-bl 18906  df-mopn 18907  df-fbas 18908  df-fg 18909  df-cnfld 18912  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-topsp 19861  df-cld 19971  df-ntr 19972  df-cls 19973  df-nei 20051  df-lp 20089  df-perf 20090  df-cn 20180  df-cnp 20181  df-haus 20268  df-tx 20514  df-hmeo 20707  df-fil 20798  df-fm 20890  df-flim 20891  df-flf 20892  df-xms 21272  df-ms 21273  df-tms 21274  df-cncf 21832  df-limc 22728  df-dv 22729  df-log 23410  df-squarenn 35440  df-pell1qr 35441  df-pell14qr 35442  df-pell1234qr 35443  df-pellfund 35444  df-rmx 35504
This theorem is referenced by:  rmxycomplete  35519  rmxynorm  35520  rmxyneg  35522  rmxyadd  35523  rmxy1  35524  rmxy0  35525  rmyp1  35535  rmxm1  35536  rmym1  35537  rmxluc  35538  rmyluc  35539  rmxdbl  35541  rmydbl  35542  rmxypos  35551  ltrmynn0  35552  ltrmxnn0  35553  lermxnn0  35554  rmxnn  35555  jm2.24nn  35563  jm2.24  35567  jm2.18  35597  jm2.19lem1  35598  jm2.19lem2  35599  jm2.22  35604  jm2.23  35605  jm2.20nn  35606  jm2.25  35608  jm2.26a  35609  jm2.26lem3  35610  jm2.26  35611  jm2.27c  35616  rmxdiophlem  35624  jm3.1  35629  expdiophlem1  35630
  Copyright terms: Public domain W3C validator