Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frmx Structured version   Unicode version

Theorem frmx 29280
Description: The X sequence is a nonnegative integer. See rmxnn 29320 for a strengthening. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
frmx  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0

Proof of Theorem frmx
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rmxyelxp 29279 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  ( ( a  +  ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
b ) )  e.  ( NN0  X.  ZZ ) )
2 xp1st 6627 . . . 4  |-  ( ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  ( ( a  +  ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
b ) )  e.  ( NN0  X.  ZZ )  ->  ( 1st `  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  ( ( a  +  ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
b ) ) )  e.  NN0 )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( 1st `  ( `' ( c  e.  ( NN0 
X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c
)  +  ( ( sqr `  ( ( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c
) ) ) ) `
 ( ( a  +  ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ b
) ) )  e. 
NN0 )
43rgen2 2833 . 2  |-  A. a  e.  ( ZZ>= `  2 ) A. b  e.  ZZ  ( 1st `  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ ) 
|->  ( ( 1st `  c
)  +  ( ( sqr `  ( ( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c
) ) ) ) `
 ( ( a  +  ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ b
) ) )  e. 
NN0
5 df-rmx 29269 . . 3  |- Xrm  =  (
a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ,  b  e.  ZZ  |->  ( 1st `  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  (
( a  +  ( sqr `  ( ( a ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ b ) ) ) )
65fmpt2 6662 . 2  |-  ( A. a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) A. b  e.  ZZ  ( 1st `  ( `' ( c  e.  ( NN0  X.  ZZ )  |->  ( ( 1st `  c )  +  ( ( sqr `  (
( a ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( 2nd `  c ) ) ) ) `  ( ( a  +  ( sqr `  ( ( a ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
b ) ) )  e.  NN0  <-> Xrm 
: ( ( ZZ>= ` 
2 )  X.  ZZ )
--> NN0 )
74, 6mpbi 208 1  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2736    e. cmpt 4371    X. cxp 4859   `'ccnv 4860   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   1stc1st 6596   2ndc2nd 6597   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    - cmin 9616   2c2 10392   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   ^cexp 11886   sqrcsqr 12743   Xrm crmx 29267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-sin 13376  df-cos 13377  df-pi 13379  df-dvds 13557  df-gcd 13712  df-numer 13834  df-denom 13835  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364  df-log 22030  df-squarenn 29208  df-pell1qr 29209  df-pell14qr 29210  df-pell1234qr 29211  df-pellfund 29212  df-rmx 29269
This theorem is referenced by:  rmxycomplete  29284  rmxynorm  29285  rmxyneg  29287  rmxyadd  29288  rmxy1  29289  rmxy0  29290  rmyp1  29300  rmxm1  29301  rmym1  29302  rmxluc  29303  rmyluc  29304  rmxdbl  29306  rmydbl  29307  rmxypos  29316  ltrmynn0  29317  ltrmxnn0  29318  lermxnn0  29319  rmxnn  29320  jm2.24nn  29328  jm2.24  29332  jm2.18  29363  jm2.19lem1  29364  jm2.19lem2  29365  jm2.22  29370  jm2.23  29371  jm2.20nn  29372  jm2.25  29374  jm2.26a  29375  jm2.26lem3  29376  jm2.26  29377  jm2.27c  29382  rmxdiophlem  29390  jm3.1  29395  expdiophlem1  29396
  Copyright terms: Public domain W3C validator