MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdval Structured version   Unicode version

Theorem frmdval 16628
Description: Value of the free monoid construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdval.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdval.b  |-  ( I  e.  V  ->  B  = Word  I )
frmdval.p  |-  .+  =  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )
Assertion
Ref Expression
frmdval  |-  ( I  e.  V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. } )

Proof of Theorem frmdval
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdval.m . 2  |-  M  =  (freeMnd `  I )
2 df-frmd 16626 . . . 4  |- freeMnd  =  ( i  e.  _V  |->  {
<. ( Base `  ndx ) , Word  i >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  (Word  i  X. Word  i ) ) >. } )
32a1i 11 . . 3  |-  ( I  e.  V  -> freeMnd  =  ( i  e.  _V  |->  {
<. ( Base `  ndx ) , Word  i >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  (Word  i  X. Word  i ) ) >. } ) )
4 wrdeq 12687 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  -> Word  i  = Word 
I )
5 frmdval.b . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  B  = Word  I )
65eqcomd 2431 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  -> Word  I  =  B )
74, 6sylan9eqr 2486 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  -> Word  i  =  B )
87opeq2d 4192 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  -> 
<. ( Base `  ndx ) , Word  i >.  =  <. (
Base `  ndx ) ,  B >. )
97sqxpeqd 4877 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  (Word  i  X. Word  i
)  =  ( B  X.  B ) )
109reseq2d 5122 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  ( ++  |`  (Word  i  X. Word 
i ) )  =  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) )
11 frmdval.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )
1210, 11syl6eqr 2482 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  ( ++  |`  (Word  i  X. Word 
i ) )  = 
.+  )
1312opeq2d 4192 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  -> 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  (Word  i  X. Word  i ) )
>.  =  <. ( +g  ` 
ndx ) ,  .+  >.
)
148, 13preq12d 4085 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  i  =  I )  ->  { <. ( Base `  ndx ) , Word  i >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  (Word  i  X. Word  i ) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. } )
15 elex 3091 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
16 prex 4661 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. }  e.  _V
1716a1i 11 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. }  e.  _V )
183, 14, 15, 17fvmptd 5968 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (freeMnd `  I )  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. } )
191, 18syl5eq 2476 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   _Vcvv 3082   {cpr 3999   <.cop 4003    |-> cmpt 4480    X. cxp 4849    |` cres 4853   ` cfv 5599  Word cword 12654   ++ cconcat 12656   ndxcnx 15111   Basecbs 15114   +g cplusg 15183  freeMndcfrmd 16624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-hash 12517  df-word 12662  df-frmd 16626
This theorem is referenced by:  frmdbas  16629  frmdplusg  16631
  Copyright terms: Public domain W3C validator