Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frmdup3 16729
 Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup3.m freeMnd
frmdup3.b
frmdup3.u varFMnd
Assertion
Ref Expression
frmdup3 MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem frmdup3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdup3.m . . 3 freeMnd
2 frmdup3.b . . 3
3 eqid 2471 . . 3 Word g Word g
4 simp1 1030 . . 3
5 simp2 1031 . . 3
6 simp3 1032 . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6frmdup1 16726 . 2 Word g MndHom
84adantr 472 . . . . 5
95adantr 472 . . . . 5
106adantr 472 . . . . 5
11 frmdup3.u . . . . 5 varFMnd
12 simpr 468 . . . . 5
131, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12frmdup2 16727 . . . 4 Word g
1413mpteq2dva 4482 . . 3 Word g
15 eqid 2471 . . . . . 6
1615, 2mhmf 16665 . . . . 5 Word g MndHom Word g
177, 16syl 17 . . . 4 Word g
1811vrmdf 16720 . . . . . 6 Word
19183ad2ant2 1052 . . . . 5 Word
201, 15frmdbas 16714 . . . . . . 7 Word
21203ad2ant2 1052 . . . . . 6 Word
2221feq3d 5726 . . . . 5 Word
2319, 22mpbird 240 . . . 4
24 fcompt 6075 . . . 4 Word g Word g Word g
2517, 23, 24syl2anc 673 . . 3 Word g Word g
266feqmptd 5932 . . 3
2714, 25, 263eqtr4d 2515 . 2 Word g
281, 2, 11frmdup3lem 16728 . . . 4 MndHom Word g
2928expr 626 . . 3 MndHom Word g
3029ralrimiva 2809 . 2 MndHom Word g
31 coeq1 4997 . . . 4 Word g Word g
3231eqeq1d 2473 . . 3 Word g Word g
3332eqreu 3218 . 2 Word g MndHom Word g MndHom Word g MndHom
347, 27, 30, 33syl3anc 1292 1 MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wreu 2758   cmpt 4454   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  Word cword 12703  cbs 15199   g cgsu 15417  cmnd 16613   MndHom cmhm 16658  freeMndcfrmd 16709  varFMndcvrmd 16710 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-frmd 16711  df-vrmd 16712 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator