Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup1 Structured version   Unicode version

Theorem frmdup1 15855
 Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup.m freeMnd
frmdup.b
frmdup.e Word g
frmdup.g
frmdup.i
frmdup.a
Assertion
Ref Expression
frmdup1 MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem frmdup1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdup.i . . . 4
2 frmdup.m . . . . 5 freeMnd
32frmdmnd 15850 . . . 4
41, 3syl 16 . . 3
5 frmdup.g . . 3
64, 5jca 532 . 2
75adantr 465 . . . . . 6 Word
8 simpr 461 . . . . . . 7 Word Word
9 frmdup.a . . . . . . . 8
109adantr 465 . . . . . . 7 Word
11 wrdco 12756 . . . . . . 7 Word Word
128, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6 Word Word
13 frmdup.b . . . . . . 7
1413gsumwcl 15831 . . . . . 6 Word g
157, 12, 14syl2anc 661 . . . . 5 Word g
16 frmdup.e . . . . 5 Word g
1715, 16fmptd 6043 . . . 4 Word
18 eqid 2467 . . . . . . 7
192, 18frmdbas 15843 . . . . . 6 Word
201, 19syl 16 . . . . 5 Word
2120feq2d 5716 . . . 4 Word
2217, 21mpbird 232 . . 3
232, 18frmdelbas 15844 . . . . . . . . 9 Word
2423ad2antrl 727 . . . . . . . 8 Word
252, 18frmdelbas 15844 . . . . . . . . 9 Word
2625ad2antll 728 . . . . . . . 8 Word
279adantr 465 . . . . . . . 8
28 ccatco 12760 . . . . . . . 8 Word Word concat concat
2924, 26, 27, 28syl3anc 1228 . . . . . . 7 concat concat
3029oveq2d 6298 . . . . . 6 g concat g concat
315adantr 465 . . . . . . 7
32 wrdco 12756 . . . . . . . 8 Word Word
3324, 27, 32syl2anc 661 . . . . . . 7 Word
34 wrdco 12756 . . . . . . . 8 Word Word
3526, 27, 34syl2anc 661 . . . . . . 7 Word
36 eqid 2467 . . . . . . . 8
3713, 36gsumccat 15832 . . . . . . 7 Word Word g concat g g
3831, 33, 35, 37syl3anc 1228 . . . . . 6 g concat g g
3930, 38eqtrd 2508 . . . . 5 g concat g g
40 eqid 2467 . . . . . . . . 9
412, 18, 40frmdadd 15846 . . . . . . . 8 concat
4241adantl 466 . . . . . . 7 concat
4342fveq2d 5868 . . . . . 6 concat
44 ccatcl 12554 . . . . . . . 8 Word Word concat Word
4524, 26, 44syl2anc 661 . . . . . . 7 concat Word
46 coeq2 5159 . . . . . . . . 9 concat concat
4746oveq2d 6298 . . . . . . . 8 concat g g concat
48 ovex 6307 . . . . . . . 8 g
4947, 16, 48fvmpt3i 5952 . . . . . . 7 concat Word concat g concat
5045, 49syl 16 . . . . . 6 concat g concat
5143, 50eqtrd 2508 . . . . 5 g concat
52 coeq2 5159 . . . . . . . . 9
5352oveq2d 6298 . . . . . . . 8 g g
5453, 16, 48fvmpt3i 5952 . . . . . . 7 Word g
55 coeq2 5159 . . . . . . . . 9
5655oveq2d 6298 . . . . . . . 8 g g
5756, 16, 48fvmpt3i 5952 . . . . . . 7 Word g
5854, 57oveqan12d 6301 . . . . . 6 Word Word g g
5924, 26, 58syl2anc 661 . . . . 5 g g
6039, 51, 593eqtr4d 2518 . . . 4
6160ralrimivva 2885 . . 3
62 wrd0 12527 . . . 4 Word
63 coeq2 5159 . . . . . . . 8
64 co02 5519 . . . . . . . 8
6563, 64syl6eq 2524 . . . . . . 7
6665oveq2d 6298 . . . . . 6 g g
67 eqid 2467 . . . . . . 7
6867gsum0 15823 . . . . . 6 g
6966, 68syl6eq 2524 . . . . 5 g
7069, 16, 48fvmpt3i 5952 . . . 4 Word
7162, 70mp1i 12 . . 3
7222, 61, 713jca 1176 . 2
732frmd0 15851 . . 3
7418, 13, 40, 36, 73, 67ismhm 15779 . 2 MndHom
756, 72, 74sylanbrc 664 1 MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  c0 3785   cmpt 4505   ccom 5003  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282  Word cword 12496   concat cconcat 12498  cbs 14486   cplusg 14551  c0g 14691   g cgsu 14692  cmnd 15722   MndHom cmhm 15775  freeMndcfrmd 15838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-word 12504  df-concat 12506  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-frmd 15840 This theorem is referenced by:  frmdup3  15857
 Copyright terms: Public domain W3C validator