MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdsssubm Structured version   Unicode version

Theorem frmdsssubm 16243
Description: The set of words taking values in a subset is a (free) submonoid of the free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
Assertion
Ref Expression
frmdsssubm  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  -> Word  J  e.  (SubMnd `  M
) )

Proof of Theorem frmdsssubm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sswrd 12511 . . . 4  |-  ( J 
C_  I  -> Word  J  C_ Word  I )
21adantl 464 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  -> Word  J 
C_ Word  I )
3 frmdmnd.m . . . . 5  |-  M  =  (freeMnd `  I )
4 eqid 2400 . . . . 5  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
53, 4frmdbas 16234 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  M )  = Word 
I )
65adantr 463 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  -> 
( Base `  M )  = Word  I )
72, 6sseqtr4d 3476 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  -> Word  J 
C_  ( Base `  M
) )
8 wrd0 12523 . . 3  |-  (/)  e. Word  J
98a1i 11 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (/) 
e. Word  J )
107sselda 3439 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e. Word  J
)  ->  x  e.  ( Base `  M )
)
117sselda 3439 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e. Word  J
)  ->  y  e.  ( Base `  M )
)
1210, 11anim12dan 836 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( x  e. Word  J  /\  y  e. Word  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M
) ) )
13 eqid 2400 . . . . . 6  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
143, 4, 13frmdadd 16237 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  =  ( x ++  y ) )
1512, 14syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( x  e. Word  J  /\  y  e. Word  J
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  =  ( x ++  y ) )
16 ccatcl 12552 . . . . 5  |-  ( ( x  e. Word  J  /\  y  e. Word  J )  ->  ( x ++  y )  e. Word  J )
1716adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( x  e. Word  J  /\  y  e. Word  J
) )  ->  (
x ++  y )  e. Word  J )
1815, 17eqeltrd 2488 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( x  e. Word  J  /\  y  e. Word  J
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  e. Word  J )
1918ralrimivva 2822 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  A. x  e. Word  J A. y  e. Word  J (
x ( +g  `  M
) y )  e. Word  J )
203frmdmnd 16241 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  M  e.  Mnd )
2120adantr 463 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  M  e.  Mnd )
223frmd0 16242 . . . 4  |-  (/)  =  ( 0g `  M )
234, 22, 13issubm 16192 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (Word  J  e.  (SubMnd `  M
)  <->  (Word  J  C_  ( Base `  M )  /\  (/) 
e. Word  J  /\  A. x  e. Word  J A. y  e. Word  J ( x ( +g  `  M ) y )  e. Word  J
) ) )
2421, 23syl 17 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  -> 
(Word  J  e.  (SubMnd `  M )  <->  (Word  J  C_  ( Base `  M
)  /\  (/)  e. Word  J  /\  A. x  e. Word  J A. y  e. Word  J ( x ( +g  `  M
) y )  e. Word  J ) ) )
257, 9, 19, 24mpbir3and 1178 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  C_  I )  -> Word  J  e.  (SubMnd `  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   A.wral 2751    C_ wss 3411   (/)c0 3735   ` cfv 5523  (class class class)co 6232  Word cword 12488   ++ cconcat 12490   Basecbs 14731   +g cplusg 14799   Mndcmnd 16133  SubMndcsubmnd 16179  freeMndcfrmd 16229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-hash 12358  df-word 12496  df-concat 12498  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-plusg 14812  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-frmd 16231
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator