Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdss2 Structured version   Unicode version

Theorem frmdss2 15900
 Description: A subset of generators is contained in a submonoid iff the set of words on the generators is in the submonoid. This can be viewed as an elementary way of saying "the monoidal closure of is Word ". (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m freeMnd
frmdgsum.u varFMnd
Assertion
Ref Expression
frmdss2 SubMnd Word

Proof of Theorem frmdss2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 998 . . . . . . 7 SubMnd Word
2 simpl2 999 . . . . . . . . 9 SubMnd Word
3 sswrd 12529 . . . . . . . . 9 Word Word
42, 3syl 16 . . . . . . . 8 SubMnd Word Word Word
5 simprr 756 . . . . . . . 8 SubMnd Word Word
64, 5sseldd 3487 . . . . . . 7 SubMnd Word Word
7 frmdmnd.m . . . . . . . 8 freeMnd
8 frmdgsum.u . . . . . . . 8 varFMnd
97, 8frmdgsum 15899 . . . . . . 7 Word g
101, 6, 9syl2anc 661 . . . . . 6 SubMnd Word g
11 simpl3 1000 . . . . . . 7 SubMnd Word SubMnd
12 wrdf 12527 . . . . . . . . . . 11 Word ..^
1312ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 SubMnd Word ..^
14 frn 5723 . . . . . . . . . 10 ..^
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9 SubMnd Word
16 cores 5496 . . . . . . . . 9
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8 SubMnd Word
188vrmdf 15895 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
19183ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd Word
20 ffn 5717 . . . . . . . . . . . . 13 Word
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd
2221adantr 465 . . . . . . . . . . 11 SubMnd Word
23 fnssres 5680 . . . . . . . . . . 11
2422, 2, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 SubMnd Word
25 df-ima 4998 . . . . . . . . . . 11
26 simprl 755 . . . . . . . . . . 11 SubMnd Word
2725, 26syl5eqssr 3531 . . . . . . . . . 10 SubMnd Word
28 df-f 5578 . . . . . . . . . 10
2924, 27, 28sylanbrc 664 . . . . . . . . 9 SubMnd Word
30 wrdco 12771 . . . . . . . . 9 Word Word
315, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8 SubMnd Word Word
3217, 31eqeltrrd 2530 . . . . . . 7 SubMnd Word Word
33 gsumwsubmcl 15875 . . . . . . 7 SubMnd Word g
3411, 32, 33syl2anc 661 . . . . . 6 SubMnd Word g
3510, 34eqeltrrd 2530 . . . . 5 SubMnd Word
3635expr 615 . . . 4 SubMnd Word
3736ssrdv 3492 . . 3 SubMnd Word
3837ex 434 . 2 SubMnd Word
39 simpl1 998 . . . . . . 7 SubMnd
40 simp2 996 . . . . . . . 8 SubMnd
4140sselda 3486 . . . . . . 7 SubMnd
428vrmdval 15894 . . . . . . 7
4339, 41, 42syl2anc 661 . . . . . 6 SubMnd
44 simpr 461 . . . . . . 7 SubMnd
4544s1cld 12589 . . . . . 6 SubMnd Word
4643, 45eqeltrd 2529 . . . . 5 SubMnd Word
4746ralrimiva 2855 . . . 4 SubMnd Word
48 fnfun 5664 . . . . . 6
4921, 48syl 16 . . . . 5 SubMnd
50 fndm 5666 . . . . . . 7
5121, 50syl 16 . . . . . 6 SubMnd
5240, 51sseqtr4d 3523 . . . . 5 SubMnd
53 funimass4 5905 . . . . 5 Word Word
5449, 52, 53syl2anc 661 . . . 4 SubMnd Word Word
5547, 54mpbird 232 . . 3 SubMnd Word
56 sstr2 3493 . . 3 Word Word
5755, 56syl 16 . 2 SubMnd Word
5838, 57impbid 191 1 SubMnd Word
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 972   wceq 1381   wcel 1802  wral 2791   wss 3458   cdm 4985   crn 4986   cres 4987  cima 4988   ccom 4989   wfun 5568   wfn 5569  wf 5570  cfv 5574  (class class class)co 6277  cc0 9490  ..^cfzo 11798  chash 12379  Word cword 12508  cs1 12511   g cgsu 14710  SubMndcsubmnd 15834  freeMndcfrmd 15884  varFMndcvrmd 15885 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-hash 12380  df-word 12516  df-concat 12518  df-s1 12519  df-substr 12520  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-frmd 15886  df-vrmd 15887 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator