MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Unicode version

Theorem frmdplusg 15650
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdbas.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
frmdplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
frmdplusg  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )

Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
2 frmdbas.m . . . . . 6  |-  M  =  (freeMnd `  I )
3 frmdbas.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
42, 3frmdbas 15648 . . . . . 6  |-  ( I  e.  _V  ->  B  = Word  I )
5 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  =  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
62, 4, 5frmdval 15647 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
>. } )
76fveq2d 5802 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
>. } ) )
81, 7syl5eq 2507 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. } ) )
9 wrdexg 12361 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  -> Word  I  e. 
_V )
10 ccatfn 12389 . . . . . . 7  |- concat  Fn  ( _V  X.  _V )
11 xpss 5053 . . . . . . 7  |-  ( B  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
12 fnssres 5631 . . . . . . 7  |-  ( ( concat  Fn  ( _V  X.  _V )  /\  ( B  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B ) )
1310, 11, 12mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B )
14 ovres 6339 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  =  ( x concat  y ) )
152, 3frmdelbas 15649 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  x  e. Word  I )
162, 3frmdelbas 15649 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e. Word  I )
17 ccatcl 12391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e. Word  I  /\  y  e. Word  I )  ->  ( x concat  y )  e. Word  I )
1815, 16, 17syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x concat  y )  e. Word  I )
1914, 18eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
)
2019rgen2a 2898 . . . . . 6  |-  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
21 ffnov 6303 . . . . . 6  |-  ( ( concat  |`  ( B  X.  B
) ) : ( B  X.  B ) -->Word  I  <->  ( ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
) )
2213, 20, 21mpbir2an 911 . . . . 5  |-  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) : ( B  X.  B ) -->Word  I
23 fvex 5808 . . . . . . 7  |-  ( Base `  M )  e.  _V
243, 23eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2524, 24xpex 6617 . . . . 5  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
26 fex2 6641 . . . . 5  |-  ( ( ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) : ( B  X.  B
) -->Word  I  /\  ( B  X.  B )  e. 
_V  /\ Word  I  e.  _V )  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  e.  _V )
2722, 25, 26mp3an12 1305 . . . 4  |-  (Word  I  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  e.  _V )
28 eqid 2454 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. }
2928grpplusg 14397 . . . 4  |-  ( ( concat  |`  ( B  X.  B
) )  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
>. } ) )
309, 27, 293syl 20 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( +g  `  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. } ) )
318, 30eqtr4d 2498 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) ) )
32 fvprc 5792 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (freeMnd `  I )  =  (/) )
332, 32syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  M  =  (/) )
3433fveq2d 5802 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  (/) ) )
351, 34syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  (/) ) )
36 res0 5222 . . . . 5  |-  ( concat  |`  (/) )  =  (/)
37 df-plusg 14369 . . . . . 6  |-  +g  = Slot  2
3837str0 14329 . . . . 5  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
3936, 38eqtr2i 2484 . . . 4  |-  ( +g  `  (/) )  =  ( concat  |`  (/) )
4035, 39syl6eq 2511 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( concat  |`  (/) ) )
4133fveq2d 5802 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  M )  =  ( Base `  (/) ) )
42 base0 14330 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
4341, 3, 423eqtr4g 2520 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  B  =  (/) )
4443xpeq2d 4971 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  ( B  X.  (/) ) )
45 xp0 5363 . . . . 5  |-  ( B  X.  (/) )  =  (/)
4644, 45syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  (/) )
4746reseq2d 5217 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( concat  |`  (/) ) )
4840, 47eqtr4d 2498 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) )
4931, 48pm2.61i 164 1  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   _Vcvv 3076    C_ wss 3435   (/)c0 3744   {cpr 3986   <.cop 3990    X. cxp 4945    |` cres 4949    Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   2c2 10481  Word cword 12338   concat cconcat 12340   ndxcnx 14288   Basecbs 14291   +g cplusg 14356  freeMndcfrmd 15643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-hash 12220  df-word 12346  df-concat 12348  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-plusg 14369  df-frmd 15645
This theorem is referenced by:  frmdadd  15651
  Copyright terms: Public domain W3C validator