MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frmdplusg 16716
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdbas.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
frmdplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
frmdplusg  |-  .+  =  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )

Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
2 frmdbas.m . . . . . 6  |-  M  =  (freeMnd `  I )
3 frmdbas.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
42, 3frmdbas 16714 . . . . . 6  |-  ( I  e.  _V  ->  B  = Word  I )
5 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  =  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )
62, 4, 5frmdval 16713 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )
>. } )
76fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )
>. } ) )
81, 7syl5eq 2517 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) >. } ) )
9 wrdexg 12729 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  -> Word  I  e. 
_V )
10 ccatfn 12768 . . . . . . 7  |- ++  Fn  ( _V  X.  _V )
11 xpss 4946 . . . . . . 7  |-  ( B  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
12 fnssres 5699 . . . . . . 7  |-  ( ( ++ 
Fn  ( _V  X.  _V )  /\  ( B  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
)  ->  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B ) )
1310, 11, 12mp2an 686 . . . . . 6  |-  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B )
14 ovres 6455 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) y )  =  ( x ++  y ) )
152, 3frmdelbas 16715 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  x  e. Word  I )
162, 3frmdelbas 16715 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e. Word  I )
17 ccatcl 12771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e. Word  I  /\  y  e. Word  I )  ->  ( x ++  y )  e. Word  I )
1815, 16, 17syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ++  y )  e. Word  I )
1914, 18eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
)
2019rgen2a 2820 . . . . . 6  |-  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( ++  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
21 ffnov 6419 . . . . . 6  |-  ( ( ++  |`  ( B  X.  B
) ) : ( B  X.  B ) -->Word  I  <->  ( ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
) )
2213, 20, 21mpbir2an 934 . . . . 5  |-  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) : ( B  X.  B ) -->Word  I
23 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  ( Base `  M )  e.  _V
243, 23eqeltri 2545 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2524, 24xpex 6614 . . . . 5  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
26 fex2 6767 . . . . 5  |-  ( ( ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) : ( B  X.  B
) -->Word  I  /\  ( B  X.  B )  e. 
_V  /\ Word  I  e.  _V )  ->  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  e.  _V )
2722, 25, 26mp3an12 1380 . . . 4  |-  (Word  I  e.  _V  ->  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  e.  _V )
28 eqid 2471 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) >. }
2928grpplusg 15316 . . . 4  |-  ( ( ++  |`  ( B  X.  B
) )  e.  _V  ->  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )
>. } ) )
309, 27, 293syl 18 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  ( ++  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( +g  `  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) >. } ) )
318, 30eqtr4d 2508 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  .+  =  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) )
32 fvprc 5873 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (freeMnd `  I )  =  (/) )
332, 32syl5eq 2517 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  M  =  (/) )
3433fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  (/) ) )
351, 34syl5eq 2517 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  (/) ) )
36 res0 5115 . . . . 5  |-  ( ++  |`  (/) )  =  (/)
37 df-plusg 15281 . . . . . 6  |-  +g  = Slot  2
3837str0 15239 . . . . 5  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
3936, 38eqtr2i 2494 . . . 4  |-  ( +g  `  (/) )  =  ( ++  |`  (/) )
4035, 39syl6eq 2521 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( ++  |`  (/) ) )
4133fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  M )  =  ( Base `  (/) ) )
42 base0 15240 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
4341, 3, 423eqtr4g 2530 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  B  =  (/) )
4443xpeq2d 4863 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  ( B  X.  (/) ) )
45 xp0 5261 . . . . 5  |-  ( B  X.  (/) )  =  (/)
4644, 45syl6eq 2521 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  (/) )
4746reseq2d 5111 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ++  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( ++  |`  (/) ) )
4840, 47eqtr4d 2508 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) )
4931, 48pm2.61i 169 1  |-  .+  =  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {cpr 3961   <.cop 3965    X. cxp 4837    |` cres 4841    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   2c2 10681  Word cword 12703   ++ cconcat 12705   ndxcnx 15196   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  freeMndcfrmd 16709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-frmd 16711
This theorem is referenced by:  frmdadd  16717
  Copyright terms: Public domain W3C validator