MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Unicode version

Theorem frmdplusg 16589
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdbas.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
frmdplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
frmdplusg  |-  .+  =  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )

Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
2 frmdbas.m . . . . . 6  |-  M  =  (freeMnd `  I )
3 frmdbas.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
42, 3frmdbas 16587 . . . . . 6  |-  ( I  e.  _V  ->  B  = Word  I )
5 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  =  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )
62, 4, 5frmdval 16586 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )
>. } )
76fveq2d 5885 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )
>. } ) )
81, 7syl5eq 2482 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) >. } ) )
9 wrdexg 12669 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  -> Word  I  e. 
_V )
10 ccatfn 12704 . . . . . . 7  |- ++  Fn  ( _V  X.  _V )
11 xpss 4961 . . . . . . 7  |-  ( B  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
12 fnssres 5707 . . . . . . 7  |-  ( ( ++ 
Fn  ( _V  X.  _V )  /\  ( B  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
)  ->  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B ) )
1310, 11, 12mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B )
14 ovres 6450 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) y )  =  ( x ++  y ) )
152, 3frmdelbas 16588 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  x  e. Word  I )
162, 3frmdelbas 16588 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e. Word  I )
17 ccatcl 12707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e. Word  I  /\  y  e. Word  I )  ->  ( x ++  y )  e. Word  I )
1815, 16, 17syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ++  y )  e. Word  I )
1914, 18eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
)
2019rgen2a 2859 . . . . . 6  |-  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( ++  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
21 ffnov 6414 . . . . . 6  |-  ( ( ++  |`  ( B  X.  B
) ) : ( B  X.  B ) -->Word  I  <->  ( ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
) )
2213, 20, 21mpbir2an 928 . . . . 5  |-  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) : ( B  X.  B ) -->Word  I
23 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( Base `  M )  e.  _V
243, 23eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2524, 24xpex 6609 . . . . 5  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
26 fex2 6762 . . . . 5  |-  ( ( ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) : ( B  X.  B
) -->Word  I  /\  ( B  X.  B )  e. 
_V  /\ Word  I  e.  _V )  ->  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  e.  _V )
2722, 25, 26mp3an12 1350 . . . 4  |-  (Word  I  e.  _V  ->  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  e.  _V )
28 eqid 2429 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) >. }
2928grpplusg 15197 . . . 4  |-  ( ( ++  |`  ( B  X.  B
) )  e.  _V  ->  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )
>. } ) )
309, 27, 293syl 18 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  ( ++  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( +g  `  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) >. } ) )
318, 30eqtr4d 2473 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  .+  =  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) )
32 fvprc 5875 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (freeMnd `  I )  =  (/) )
332, 32syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  M  =  (/) )
3433fveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  (/) ) )
351, 34syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  (/) ) )
36 res0 5129 . . . . 5  |-  ( ++  |`  (/) )  =  (/)
37 df-plusg 15165 . . . . . 6  |-  +g  = Slot  2
3837str0 15124 . . . . 5  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
3936, 38eqtr2i 2459 . . . 4  |-  ( +g  `  (/) )  =  ( ++  |`  (/) )
4035, 39syl6eq 2486 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( ++  |`  (/) ) )
4133fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  M )  =  ( Base `  (/) ) )
42 base0 15125 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
4341, 3, 423eqtr4g 2495 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  B  =  (/) )
4443xpeq2d 4878 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  ( B  X.  (/) ) )
45 xp0 5275 . . . . 5  |-  ( B  X.  (/) )  =  (/)
4644, 45syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  (/) )
4746reseq2d 5125 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ++  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( ++  |`  (/) ) )
4840, 47eqtr4d 2473 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( ++  |`  ( B  X.  B ) ) )
4931, 48pm2.61i 167 1  |-  .+  =  ( ++  |`  ( B  X.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {cpr 4004   <.cop 4008    X. cxp 4852    |` cres 4856    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   2c2 10659  Word cword 12643   ++ cconcat 12645   ndxcnx 15081   Basecbs 15084   +g cplusg 15152  freeMndcfrmd 16582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-hash 12513  df-word 12651  df-concat 12653  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-frmd 16584
This theorem is referenced by:  frmdadd  16590
  Copyright terms: Public domain W3C validator