MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Unicode version

Theorem frmdplusg 14754
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
frmdbas.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
frmdplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
frmdplusg  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )

Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
2 frmdbas.m . . . . . 6  |-  M  =  (freeMnd `  I )
3 frmdbas.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
42, 3frmdbas 14752 . . . . . 6  |-  ( I  e.  _V  ->  B  = Word  I )
5 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  =  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
62, 4, 5frmdval 14751 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
>. } )
76fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
>. } ) )
81, 7syl5eq 2448 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. } ) )
9 wrdexg 11694 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  -> Word  I  e. 
_V )
10 ccatfn 11696 . . . . . . 7  |- concat  Fn  ( _V  X.  _V )
11 xpss 4941 . . . . . . 7  |-  ( B  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
12 fnssres 5517 . . . . . . 7  |-  ( ( concat  Fn  ( _V  X.  _V )  /\  ( B  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B ) )
1310, 11, 12mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B )
14 ovres 6172 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  =  ( x concat  y ) )
152, 3frmdelbas 14753 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  x  e. Word  I )
162, 3frmdelbas 14753 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e. Word  I )
17 ccatcl 11698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e. Word  I  /\  y  e. Word  I )  ->  ( x concat  y )  e. Word  I )
1815, 16, 17syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x concat  y )  e. Word  I )
1914, 18eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
)
2019rgen2a 2732 . . . . . 6  |-  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
21 ffnov 6133 . . . . . 6  |-  ( ( concat  |`  ( B  X.  B
) ) : ( B  X.  B ) -->Word  I  <->  ( ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) y )  e. Word  I
) )
2213, 20, 21mpbir2an 887 . . . . 5  |-  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) : ( B  X.  B ) -->Word  I
23 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( Base `  M )  e.  _V
243, 23eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2524, 24xpex 4949 . . . . 5  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
26 fex2 5562 . . . . 5  |-  ( ( ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) : ( B  X.  B
) -->Word  I  /\  ( B  X.  B )  e. 
_V  /\ Word  I  e.  _V )  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  e.  _V )
2722, 25, 26mp3an12 1269 . . . 4  |-  (Word  I  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  e.  _V )
28 eqid 2404 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. }
2928grpplusg 13525 . . . 4  |-  ( ( concat  |`  ( B  X.  B
) )  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) )
>. } ) )
309, 27, 293syl 19 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( +g  `  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) >. } ) )
318, 30eqtr4d 2439 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) ) )
32 fvprc 5681 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (freeMnd `  I )  =  (/) )
332, 32syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  M  =  (/) )
3433fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  (/) ) )
351, 34syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  (/) ) )
36 res0 5109 . . . . 5  |-  ( concat  |`  (/) )  =  (/)
37 df-plusg 13497 . . . . . 6  |-  +g  = Slot  2
3837str0 13460 . . . . 5  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
3936, 38eqtr2i 2425 . . . 4  |-  ( +g  `  (/) )  =  ( concat  |`  (/) )
4035, 39syl6eq 2452 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( concat  |`  (/) ) )
4133fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  M )  =  ( Base `  (/) ) )
42 base0 13461 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
4341, 3, 423eqtr4g 2461 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  B  =  (/) )
4443xpeq2d 4861 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  ( B  X.  (/) ) )
45 xp0 5250 . . . . 5  |-  ( B  X.  (/) )  =  (/)
4644, 45syl6eq 2452 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  (/) )
4746reseq2d 5105 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( concat  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( concat  |`  (/) ) )
4840, 47eqtr4d 2439 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  .+  =  ( concat  |`  ( B  X.  B ) ) )
4931, 48pm2.61i 158 1  |-  .+  =  ( concat 
|`  ( B  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {cpr 3775   <.cop 3777    X. cxp 4835    |` cres 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   2c2 10005  Word cword 11672   concat cconcat 11673   ndxcnx 13421   Basecbs 13424   +g cplusg 13484  freeMndcfrmd 14747
This theorem is referenced by:  frmdadd  14755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-frmd 14749
  Copyright terms: Public domain W3C validator