Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdgsum Structured version   Unicode version

Theorem frmdgsum 16354
 Description: Any word in a free monoid can be expressed as the sum of the singletons composing it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m freeMnd
frmdgsum.u varFMnd
Assertion
Ref Expression
frmdgsum Word g

Proof of Theorem frmdgsum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeq2 4982 . . . . . . 7
2 co02 5337 . . . . . . 7
31, 2syl6eq 2459 . . . . . 6
43oveq2d 6294 . . . . 5 g g
5 id 22 . . . . 5
64, 5eqeq12d 2424 . . . 4 g g
76imbi2d 314 . . 3 g g
8 coeq2 4982 . . . . . 6
98oveq2d 6294 . . . . 5 g g
10 id 22 . . . . 5
119, 10eqeq12d 2424 . . . 4 g g
1211imbi2d 314 . . 3 g g
13 coeq2 4982 . . . . . 6 ++ ++
1413oveq2d 6294 . . . . 5 ++ g g ++
15 id 22 . . . . 5 ++ ++
1614, 15eqeq12d 2424 . . . 4 ++ g g ++ ++
1716imbi2d 314 . . 3 ++ g g ++ ++
18 coeq2 4982 . . . . . 6
1918oveq2d 6294 . . . . 5 g g
20 id 22 . . . . 5
2119, 20eqeq12d 2424 . . . 4 g g
2221imbi2d 314 . . 3 g g
23 frmdmnd.m . . . . . 6 freeMnd
2423frmd0 16352 . . . . 5
2524gsum0 16229 . . . 4 g
2625a1i 11 . . 3 g
27 oveq1 6285 . . . . . 6 g g ++ ++
28 simprl 756 . . . . . . . . . . 11 Word Word
29 simprr 758 . . . . . . . . . . . 12 Word
3029s1cld 12669 . . . . . . . . . . 11 Word Word
31 frmdgsum.u . . . . . . . . . . . . 13 varFMnd
3231vrmdf 16350 . . . . . . . . . . . 12 Word
3332adantr 463 . . . . . . . . . . 11 Word Word
34 ccatco 12857 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word ++ ++
3528, 30, 33, 34syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10 Word ++ ++
36 s1co 12855 . . . . . . . . . . . . 13 Word
3729, 33, 36syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12 Word
3831vrmdval 16349 . . . . . . . . . . . . . 14
3938adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 Word
4039s1eqd 12667 . . . . . . . . . . . 12 Word
4137, 40eqtrd 2443 . . . . . . . . . . 11 Word
4241oveq2d 6294 . . . . . . . . . 10 Word ++ ++
4335, 42eqtrd 2443 . . . . . . . . 9 Word ++ ++
4443oveq2d 6294 . . . . . . . 8 Word g ++ g ++
4523frmdmnd 16351 . . . . . . . . . . 11
4645adantr 463 . . . . . . . . . 10 Word
47 wrdco 12853 . . . . . . . . . . . 12 Word Word Word Word
4828, 33, 47syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word
49 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14
5023, 49frmdbas 16344 . . . . . . . . . . . . 13 Word
5150adantr 463 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
52 wrdeq 12616 . . . . . . . . . . . 12 Word Word Word Word
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word Word
5448, 53eleqtrrd 2493 . . . . . . . . . 10 Word Word
5530, 51eleqtrrd 2493 . . . . . . . . . . 11 Word
5655s1cld 12669 . . . . . . . . . 10 Word Word
57 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11
5849, 57gsumccat 16333 . . . . . . . . . 10 Word Word g ++ g g
5946, 54, 56, 58syl3anc 1230 . . . . . . . . 9 Word g ++ g g
6049gsumws1 16331 . . . . . . . . . . . 12 g
6155, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 Word g
6261oveq2d 6294 . . . . . . . . . 10 Word g g g
6349gsumwcl 16332 . . . . . . . . . . . 12 Word g
6446, 54, 63syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11 Word g
6523, 49, 57frmdadd 16347 . . . . . . . . . . 11 g g g ++
6664, 55, 65syl2anc 659 . . . . . . . . . 10 Word g g ++
6762, 66eqtrd 2443 . . . . . . . . 9 Word g g g ++
6859, 67eqtrd 2443 . . . . . . . 8 Word g ++ g ++
6944, 68eqtrd 2443 . . . . . . 7 Word g ++ g ++
7069eqeq1d 2404 . . . . . 6 Word g ++ ++ g ++ ++
7127, 70syl5ibr 221 . . . . 5 Word g g ++ ++
7271expcom 433 . . . 4 Word g g ++ ++
7372a2d 26 . . 3 Word g g ++ ++
747, 12, 17, 22, 26, 73wrdind 12758 . 2 Word g
7574impcom 428 1 Word g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  c0 3738   ccom 4827  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278  Word cword 12583   ++ cconcat 12585  cs1 12586  cbs 14841   cplusg 14909   g cgsu 15055  cmnd 16243  freeMndcfrmd 16339  varFMndcvrmd 16340 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-word 12591  df-lsw 12592  df-concat 12593  df-s1 12594  df-substr 12595  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-frmd 16341  df-vrmd 16342 This theorem is referenced by:  frmdss2  16355  frmdup3lem  16358  frgpup3lem  17119
 Copyright terms: Public domain W3C validator