MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmd0 Structured version   Unicode version

Theorem frmd0 15848
Description: The identity of the free monoid is the empty word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
Assertion
Ref Expression
frmd0  |-  (/)  =  ( 0g `  M )

Proof of Theorem frmd0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
4 wrd0 12525 . . . 4  |-  (/)  e. Word  I
5 frmdmnd.m . . . . 5  |-  M  =  (freeMnd `  I )
65, 1frmdbas 15840 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  ( Base `  M )  = Word 
I )
74, 6syl5eleqr 2562 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  (/)  e.  (
Base `  M )
)
85, 1, 3frmdadd 15843 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  ( Base `  M )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( (/) ( +g  `  M
) x )  =  ( (/) concat  x ) )
97, 8sylan 471 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( (/) ( +g  `  M
) x )  =  ( (/) concat  x ) )
105, 1frmdelbas 15841 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  M
)  ->  x  e. Word  I )
1110adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  ->  x  e. Word  I )
12 ccatlid 12562 . . . . 5  |-  ( x  e. Word  I  ->  ( (/) concat  x )  =  x )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( (/) concat  x )  =  x )
149, 13eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( (/) ( +g  `  M
) x )  =  x )
155, 1, 3frmdadd 15843 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  M )  /\  (/)  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( x
( +g  `  M )
(/) )  =  ( x concat  (/) ) )
1615ancoms 453 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  ( Base `  M )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) (/) )  =  ( x concat  (/) ) )
177, 16sylan 471 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x ( +g  `  M ) (/) )  =  ( x concat  (/) ) )
18 ccatrid 12563 . . . . 5  |-  ( x  e. Word  I  ->  (
x concat  (/) )  =  x )
1911, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x concat  (/) )  =  x )
2017, 19eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x ( +g  `  M ) (/) )  =  x )
211, 2, 3, 7, 14, 20ismgmid2 15748 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  (/)  =  ( 0g `  M ) )
22 fvprc 5858 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (freeMnd `  I )  =  (/) )
235, 22syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  M  =  (/) )
2423fveq2d 5868 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( 0g `  M )  =  ( 0g `  (/) ) )
25 0g0 15744 . . 3  |-  (/)  =  ( 0g `  (/) )
2624, 25syl6reqr 2527 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (/)  =  ( 0g `  M ) )
2721, 26pm2.61i 164 1  |-  (/)  =  ( 0g `  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   ` cfv 5586  (class class class)co 6282  Word cword 12494   concat cconcat 12496   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   0gc0g 14688  freeMndcfrmd 15835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12368  df-word 12502  df-concat 12504  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-plusg 14561  df-0g 14690  df-frmd 15837
This theorem is referenced by:  frmdsssubm  15849  frmdgsum  15850  frmdup1  15852  frgpmhm  16576
  Copyright terms: Public domain W3C validator