MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmd0 Structured version   Unicode version

Theorem frmd0 16352
Description: The identity of the free monoid is the empty word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m  |-  M  =  (freeMnd `  I )
Assertion
Ref Expression
frmd0  |-  (/)  =  ( 0g `  M )

Proof of Theorem frmd0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
3 eqid 2402 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
4 wrd0 12618 . . . 4  |-  (/)  e. Word  I
5 frmdmnd.m . . . . 5  |-  M  =  (freeMnd `  I )
65, 1frmdbas 16344 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  ( Base `  M )  = Word 
I )
74, 6syl5eleqr 2497 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  (/)  e.  (
Base `  M )
)
85, 1, 3frmdadd 16347 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  ( Base `  M )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( (/) ( +g  `  M
) x )  =  ( (/) ++  x )
)
97, 8sylan 469 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( (/) ( +g  `  M
) x )  =  ( (/) ++  x )
)
105, 1frmdelbas 16345 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  M
)  ->  x  e. Word  I )
1110adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  ->  x  e. Word  I )
12 ccatlid 12657 . . . . 5  |-  ( x  e. Word  I  ->  ( (/) ++ 
x )  =  x )
1311, 12syl 17 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( (/) ++  x )  =  x )
149, 13eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( (/) ( +g  `  M
) x )  =  x )
155, 1, 3frmdadd 16347 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  M )  /\  (/)  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( x
( +g  `  M )
(/) )  =  ( x ++  (/) ) )
1615ancoms 451 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  ( Base `  M )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) (/) )  =  ( x ++  (/) ) )
177, 16sylan 469 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x ( +g  `  M ) (/) )  =  ( x ++  (/) ) )
18 ccatrid 12658 . . . . 5  |-  ( x  e. Word  I  ->  (
x ++  (/) )  =  x )
1911, 18syl 17 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x ++  (/) )  =  x )
2017, 19eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x ( +g  `  M ) (/) )  =  x )
211, 2, 3, 7, 14, 20ismgmid2 16218 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  (/)  =  ( 0g `  M ) )
22 fvprc 5843 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (freeMnd `  I )  =  (/) )
235, 22syl5eq 2455 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  M  =  (/) )
2423fveq2d 5853 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( 0g `  M )  =  ( 0g `  (/) ) )
25 0g0 16214 . . 3  |-  (/)  =  ( 0g `  (/) )
2624, 25syl6reqr 2462 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (/)  =  ( 0g `  M ) )
2721, 26pm2.61i 164 1  |-  (/)  =  ( 0g `  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   (/)c0 3738   ` cfv 5569  (class class class)co 6278  Word cword 12583   ++ cconcat 12585   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   0gc0g 15054  freeMndcfrmd 16339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-concat 12593  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-frmd 16341
This theorem is referenced by:  frmdsssubm  16353  frmdgsum  16354  frmdup1  16356  frgpmhm  17107  mrsub0  29728  elmrsubrn  29732
  Copyright terms: Public domain W3C validator