Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvscafval Structured version   Unicode version

Theorem frlmvscafval 18776
 Description: Scalar multiplication in a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmvscafval.y freeLMod
frlmvscafval.b
frlmvscafval.k
frlmvscafval.i
frlmvscafval.a
frlmvscafval.x
frlmvscafval.v
frlmvscafval.t
Assertion
Ref Expression
frlmvscafval

Proof of Theorem frlmvscafval
StepHypRef Expression
1 frlmvscafval.x . . . . . . 7
2 frlmvscafval.y . . . . . . . 8 freeLMod
3 frlmvscafval.b . . . . . . . 8
42, 3frlmrcl 18767 . . . . . . 7
51, 4syl 16 . . . . . 6
6 frlmvscafval.i . . . . . 6
72, 3frlmpws 18758 . . . . . 6 ringLMod s s
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . 5 ringLMod s s
98fveq2d 5860 . . . 4 ringLMod s s
10 frlmvscafval.v . . . 4
11 fvex 5866 . . . . . 6
123, 11eqeltri 2527 . . . . 5
13 eqid 2443 . . . . . 6 ringLMod s s ringLMod s s
14 eqid 2443 . . . . . 6 ringLMod s ringLMod s
1513, 14ressvsca 14757 . . . . 5 ringLMod s ringLMod s s
1612, 15ax-mp 5 . . . 4 ringLMod s ringLMod s s
179, 10, 163eqtr4g 2509 . . 3 ringLMod s
1817oveqd 6298 . 2 ringLMod s
19 eqid 2443 . . 3 ringLMod s ringLMod s
20 eqid 2443 . . 3 ringLMod s ringLMod s
21 frlmvscafval.t . . . 4
22 rlmvsca 17826 . . . 4 ringLMod
2321, 22eqtri 2472 . . 3 ringLMod
24 eqid 2443 . . 3 ScalarringLMod ScalarringLMod
25 eqid 2443 . . 3 ScalarringLMod ScalarringLMod
26 fvex 5866 . . . 4 ringLMod
2726a1i 11 . . 3 ringLMod
28 frlmvscafval.a . . . 4
29 frlmvscafval.k . . . . 5
30 rlmsca 17824 . . . . . . 7 ScalarringLMod
315, 30syl 16 . . . . . 6 ScalarringLMod
3231fveq2d 5860 . . . . 5 ScalarringLMod
3329, 32syl5eq 2496 . . . 4 ScalarringLMod
3428, 33eleqtrd 2533 . . 3 ScalarringLMod
358fveq2d 5860 . . . . . 6 ringLMod s s
363, 35syl5eq 2496 . . . . 5 ringLMod s s
3713, 20ressbasss 14670 . . . . 5 ringLMod s s ringLMod s
3836, 37syl6eqss 3539 . . . 4 ringLMod s
3938, 1sseldd 3490 . . 3 ringLMod s
4019, 20, 23, 14, 24, 25, 27, 6, 34, 39pwsvscafval 14872 . 2 ringLMod s
4118, 40eqtrd 2484 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095  csn 4014   cxp 4987  cfv 5578  (class class class)co 6281   cof 6523  cbs 14613   ↾s cress 14614  cmulr 14679  Scalarcsca 14681  cvsca 14682   s cpws 14825  ringLModcrglmod 17793   freeLMod cfrlm 18754 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-fz 11683  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-hom 14702  df-cco 14703  df-prds 14826  df-pws 14828  df-sra 17796  df-rgmod 17797  df-dsmm 18740  df-frlm 18755 This theorem is referenced by:  frlmvscaval  18777  uvcresum  18801  matvsca2  18907  zlmodzxzscm  32679
 Copyright terms: Public domain W3C validator