MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup2 Structured version   Unicode version

Theorem frlmup2 18919
Description: The evaluation map has the intended behavior on the unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
frlmup.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
frlmup.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
frlmup.v  |-  .x.  =  ( .s `  T )
frlmup.e  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) ) )
frlmup.t  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
frlmup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
frlmup.r  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
frlmup.a  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
frlmup.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
frlmup.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
Assertion
Ref Expression
frlmup2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( A `
 Y ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, I    x, F    x, B    x, C    x,  .x.    x, A    x, X    ph, x    x, Y    x, U    x, T
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem frlmup2
StepHypRef Expression
1 frlmup.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
2 frlmup.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
3 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
43lmodring 17633 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  LMod  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
52, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
61, 5eqeltrd 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 frlmup.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
8 frlmup.u . . . . . 6  |-  U  =  ( R unitVec  I )
9 frlmup.f . . . . . 6  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
10 frlmup.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  F
)
118, 9, 10uvcff 18911 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  X )  ->  U : I --> B )
126, 7, 11syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  U : I --> B )
13 frlmup.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  I )
1412, 13ffvelrnd 5934 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  Y
)  e.  B )
15 oveq1 6203 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  Y )  ->  (
x  oF  .x.  A )  =  ( ( U `  Y
)  oF  .x.  A ) )
1615oveq2d 6212 . . . 4  |-  ( x  =  ( U `  Y )  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( ( U `  Y )  oF  .x.  A
) ) )
17 frlmup.e . . . 4  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) ) )
18 ovex 6224 . . . 4  |-  ( T 
gsumg  ( ( U `  Y )  oF  .x.  A ) )  e.  _V
1916, 17, 18fvmpt 5857 . . 3  |-  ( ( U `  Y )  e.  B  ->  ( E `  ( U `  Y ) )  =  ( T  gsumg  ( ( U `  Y )  oF  .x.  A ) ) )
2014, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( T 
gsumg  ( ( U `  Y )  oF  .x.  A ) ) )
21 frlmup.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  T
)
22 eqid 2382 . . 3  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
23 lmodcmn 17671 . . . 4  |-  ( T  e.  LMod  ->  T  e. CMnd
)
24 cmnmnd 16930 . . . 4  |-  ( T  e. CMnd  ->  T  e.  Mnd )
252, 23, 243syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  Mnd )
26 eqid 2382 . . . 4  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
27 frlmup.v . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  T )
28 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
299, 28, 10frlmbasf 18883 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  X  /\  ( U `  Y )  e.  B )  -> 
( U `  Y
) : I --> ( Base `  R ) )
307, 14, 29syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U `  Y
) : I --> ( Base `  R ) )
311fveq2d 5778 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
3231feq3d 5627 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U `  Y ) : I --> ( Base `  R
)  <->  ( U `  Y ) : I --> ( Base `  (Scalar `  T ) ) ) )
3330, 32mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U `  Y
) : I --> ( Base `  (Scalar `  T )
) )
34 frlmup.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
353, 26, 27, 21, 2, 33, 34, 7lcomf 17661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U `  Y )  oF  .x.  A ) : I --> C )
36 ffn 5639 . . . . . . . 8  |-  ( ( U `  Y ) : I --> ( Base `  R )  ->  ( U `  Y )  Fn  I )
3730, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U `  Y
)  Fn  I )
3837adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  -> 
( U `  Y
)  Fn  I )
39 ffn 5639 . . . . . . . 8  |-  ( A : I --> C  ->  A  Fn  I )
4034, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  Fn  I )
4140adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  ->  A  Fn  I )
427adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  ->  I  e.  X )
43 eldifi 3540 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( I  \  { Y } )  ->  x  e.  I )
4443adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  ->  x  e.  I )
45 fnfvof 6452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U `  Y )  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( ( U `
 Y )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( U `
 Y ) `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
4638, 41, 42, 44, 45syl22anc 1227 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  -> 
( ( ( U `
 Y )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( U `
 Y ) `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
476adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  ->  R  e.  Ring )
4813adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  ->  Y  e.  I )
49 eldifsni 4070 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( I  \  { Y } )  ->  x  =/=  Y )
5049necomd 2653 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( I  \  { Y } )  ->  Y  =/=  x )
5150adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  ->  Y  =/=  x )
52 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
538, 47, 42, 48, 44, 51, 52uvcvv0 18910 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  -> 
( ( U `  Y ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) )
541fveq2d 5778 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
) )
5554adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  -> 
( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
) )
5653, 55eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  -> 
( ( U `  Y ) `  x
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
) )
5756oveq1d 6211 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  -> 
( ( ( U `
 Y ) `  x )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( 0g `  (Scalar `  T ) )  .x.  ( A `  x ) ) )
582adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  ->  T  e.  LMod )
59 ffvelrn 5931 . . . . . . 7  |-  ( ( A : I --> C  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x
)  e.  C )
6034, 43, 59syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  -> 
( A `  x
)  e.  C )
61 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)
6221, 3, 27, 61, 22lmod0vs 17658 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  ( A `  x )  e.  C )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  T ) )  .x.  ( A `  x ) )  =  ( 0g
`  T ) )
6358, 60, 62syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  -> 
( ( 0g `  (Scalar `  T ) ) 
.x.  ( A `  x ) )  =  ( 0g `  T
) )
6446, 57, 633eqtrd 2427 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  { Y } ) )  -> 
( ( ( U `
 Y )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( 0g `  T
) )
6535, 64suppss 6848 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( U `
 Y )  oF  .x.  A ) supp  ( 0g `  T
) )  C_  { Y } )
6621, 22, 25, 7, 13, 35, 65gsumpt 17102 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  gsumg  ( ( U `  Y )  oF  .x.  A ) )  =  ( ( ( U `  Y )  oF  .x.  A
) `  Y )
)
67 fnfvof 6452 . . . 4  |-  ( ( ( ( U `  Y )  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( ( ( U `
 Y )  oF  .x.  A ) `
 Y )  =  ( ( ( U `
 Y ) `  Y )  .x.  ( A `  Y )
) )
6837, 40, 7, 13, 67syl22anc 1227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( U `
 Y )  oF  .x.  A ) `
 Y )  =  ( ( ( U `
 Y ) `  Y )  .x.  ( A `  Y )
) )
69 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
708, 6, 7, 13, 69uvcvv1 18909 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U `  Y ) `  Y
)  =  ( 1r
`  R ) )
711fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  T )
) )
7270, 71eqtrd 2423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U `  Y ) `  Y
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  T )
) )
7372oveq1d 6211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( U `
 Y ) `  Y )  .x.  ( A `  Y )
)  =  ( ( 1r `  (Scalar `  T ) )  .x.  ( A `  Y ) ) )
7434, 13ffvelrnd 5934 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A `  Y
)  e.  C )
75 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( 1r
`  (Scalar `  T )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  T )
)
7621, 3, 27, 75lmodvs1 17653 . . . 4  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  ( A `  Y )  e.  C )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  T ) )  .x.  ( A `  Y ) )  =  ( A `
 Y ) )
772, 74, 76syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  (Scalar `  T ) ) 
.x.  ( A `  Y ) )  =  ( A `  Y
) )
7868, 73, 773eqtrd 2427 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( U `
 Y )  oF  .x.  A ) `
 Y )  =  ( A `  Y
) )
7920, 66, 783eqtrd 2427 1  |-  ( ph  ->  ( E `  ( U `  Y )
)  =  ( A `
 Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577    \ cdif 3386   {csn 3944    |-> cmpt 4425    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    oFcof 6437   Basecbs 14634  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   0gc0g 14847    gsumg cgsu 14848   Mndcmnd 16036  CMndccmn 16915   1rcur 17266   Ringcrg 17311   LModclmod 17625   freeLMod cfrlm 18868   unitVec cuvc 18902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-prds 14855  df-pws 14857  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-lmod 17627  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-dsmm 18854  df-frlm 18869  df-uvc 18903
This theorem is referenced by:  frlmup3  18920  frlmup4  18921
  Copyright terms: Public domain W3C validator