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Theorem frlmup1 18068
Description: Any assignment of unit vectors to target vectors can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free module to an arbitrary other module on the same base ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
frlmup.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
frlmup.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
frlmup.v  |-  .x.  =  ( .s `  T )
frlmup.e  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) ) )
frlmup.t  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
frlmup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
frlmup.r  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
frlmup.a  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
Assertion
Ref Expression
frlmup1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F LMHom 
T ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, I    x, F    x, B    x, C    x,  .x.    x, A    x, X    ph, x    x, T
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem frlmup1
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.b . 2  |-  B  =  ( Base `  F
)
2 eqid 2433 . 2  |-  ( .s
`  F )  =  ( .s `  F
)
3 frlmup.v . 2  |-  .x.  =  ( .s `  T )
4 eqid 2433 . 2  |-  (Scalar `  F )  =  (Scalar `  F )
5 eqid 2433 . 2  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
6 eqid 2433 . 2  |-  ( Base `  (Scalar `  F )
)  =  ( Base `  (Scalar `  F )
)
7 frlmup.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
8 frlmup.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
95lmodrng 16880 . . . . 5  |-  ( T  e.  LMod  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
117, 10eqeltrd 2507 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
12 frlmup.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
13 frlmup.f . . . 4  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
1413frlmlmod 18016 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  X )  ->  F  e.  LMod )
1511, 12, 14syl2anc 654 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  LMod )
1613frlmsca 18020 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  X )  ->  R  =  (Scalar `  F )
)
1711, 12, 16syl2anc 654 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  F ) )
187, 17eqtr3d 2467 . 2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  F )
)
19 frlmup.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  T
)
20 eqid 2433 . . 3  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
21 eqid 2433 . . 3  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
22 lmodgrp 16879 . . . 4  |-  ( F  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
2315, 22syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
24 lmodgrp 16879 . . . 4  |-  ( T  e.  LMod  ->  T  e. 
Grp )
258, 24syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  Grp )
26 eleq1 2493 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  B  <->  x  e.  B ) )
2726anbi2d 696 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ph  /\  z  e.  B )  <->  ( ph  /\  x  e.  B ) ) )
28 oveq1 6087 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  oF  .x.  A )  =  ( x  oF  .x.  A ) )
2928oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A
) ) )
3029eleq1d 2499 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) )  e.  C  <->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  e.  C ) )
3127, 30imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  B )  ->  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) )  e.  C )  <->  ( ( ph  /\  x  e.  B
)  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  e.  C ) ) )
32 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
33 lmodcmn 16917 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  LMod  ->  T  e. CMnd
)
348, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
3534adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  T  e. CMnd )
3612adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  I  e.  X )
378ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  ->  T  e.  LMod )
38 simprl 748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  ->  x  e.  ( Base `  R ) )
397fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
4039ad2antrr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  -> 
( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
4138, 40eleqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  ->  x  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
42 simprr 749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  -> 
y  e.  C )
43 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
4419, 5, 3, 43lmodvscl 16889 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) )  /\  y  e.  C )  ->  ( x  .x.  y
)  e.  C )
4537, 41, 42, 44syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  C )
46 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4713, 46, 1frlmbasf 18030 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  X  /\  z  e.  B )  ->  z : I --> ( Base `  R ) )
4812, 47sylan 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z : I --> ( Base `  R ) )
49 frlmup.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
5049adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  A : I --> C )
51 inidm 3547 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
5245, 48, 50, 36, 36, 51off 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  oF  .x.  A ) : I --> C )
53 ovex 6105 . . . . . . . 8  |-  ( z  oF  .x.  A
)  e.  _V
5453a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  oF  .x.  A )  e.  _V )
55 ffun 5549 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  oF  .x.  A ) : I --> C  ->  Fun  ( z  oF  .x.  A
) )
5652, 55syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  Fun  ( z  oF  .x.  A ) )
57 fvex 5689 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  T )  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( 0g `  T )  e. 
_V )
59 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
6013, 59, 1frlmbasfsupp 18027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  X  /\  z  e.  B )  ->  z finSupp  ( 0g `  R ) )
6112, 60sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z finSupp  ( 0g `  R ) )
627fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
) )
6362eqcomd 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  T ) )  =  ( 0g `  R
) )
6463breq2d 4292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  <->  z finSupp  ( 0g `  R ) ) )
6564adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z finSupp  ( 0g `  (Scalar `  T ) )  <->  z finSupp  ( 0g
`  R ) ) )
6661, 65mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z finSupp  ( 0g `  (Scalar `  T ) ) )
6766fsuppimpd 7615 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z supp  ( 0g `  (Scalar `  T ) ) )  e.  Fin )
68 ssid 3363 . . . . . . . . 9  |-  ( z supp  ( 0g `  (Scalar `  T ) ) ) 
C_  ( z supp  ( 0g `  (Scalar `  T
) ) )
6968a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z supp  ( 0g `  (Scalar `  T ) ) )  C_  ( z supp  ( 0g `  (Scalar `  T ) ) ) )
708ad2antrr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  w  e.  C )  ->  T  e.  LMod )
71 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)
7219, 5, 3, 71, 32lmod0vs 16905 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  w  e.  C )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  T ) )  .x.  w )  =  ( 0g `  T ) )
7370, 72sylancom 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  w  e.  C )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  T ) )  .x.  w )  =  ( 0g `  T ) )
74 fvex 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  e.  _V
7574a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( 0g `  (Scalar `  T
) )  e.  _V )
7669, 73, 48, 50, 36, 75suppssof1 6711 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
( z  oF  .x.  A ) supp  ( 0g `  T ) ) 
C_  ( z supp  ( 0g `  (Scalar `  T
) ) ) )
77 suppssfifsupp 7623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  oF  .x.  A )  e.  _V  /\  Fun  ( z  oF  .x.  A )  /\  ( 0g `  T )  e.  _V )  /\  ( ( z supp  ( 0g `  (Scalar `  T
) ) )  e. 
Fin  /\  ( (
z  oF  .x.  A ) supp  ( 0g `  T ) )  C_  ( z supp  ( 0g `  (Scalar `  T )
) ) ) )  ->  ( z  oF  .x.  A ) finSupp 
( 0g `  T
) )
7854, 56, 58, 67, 76, 77syl32anc 1219 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T ) )
7919, 32, 35, 36, 52, 78gsumcl 16377 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) )  e.  C )
8031, 79chvarv 1957 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  e.  C )
81 frlmup.e . . . 4  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) ) )
8280, 81fmptd 5855 . . 3  |-  ( ph  ->  E : B --> C )
8334adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  T  e. CMnd )
8412adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  I  e.  X )
85 eleq1 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  B  <->  y  e.  B ) )
8685anbi2d 696 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( ph  /\  z  e.  B )  <->  ( ph  /\  y  e.  B ) ) )
87 oveq1 6087 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  oF  .x.  A )  =  ( y  oF  .x.  A ) )
8887feq1d 5534 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  oF  .x.  A ) : I --> C  <->  ( y  oF  .x.  A ) : I --> C ) )
8986, 88imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  B )  ->  ( z  oF  .x.  A ) : I --> C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  B
)  ->  ( y  oF  .x.  A ) : I --> C ) ) )
9089, 52chvarv 1957 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y  oF  .x.  A ) : I --> C )
9190adantrr 709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  oF  .x.  A ) : I --> C )
9252adantrl 708 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( z  oF  .x.  A ) : I --> C )
9387breq1d 4290 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T )  <->  ( y  oF  .x.  A ) finSupp 
( 0g `  T
) ) )
9486, 93imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  B )  ->  ( z  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T ) )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  B )  ->  ( y  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T ) ) ) )
9594, 78chvarv 1957 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T ) )
9695adantrr 709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T ) )
9778adantrl 708 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( z  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T ) )
9819, 32, 21, 83, 84, 91, 92, 96, 97gsumadd 16392 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( T  gsumg  ( ( y  oF  .x.  A )  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A
) ) )  =  ( ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A
) ) ( +g  `  T ) ( T 
gsumg  ( z  oF  .x.  A ) ) ) )
991, 20lmodvacl 16886 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  LMod  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
y ( +g  `  F
) z )  e.  B )
100993expb 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  LMod  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( +g  `  F ) z )  e.  B
)
10115, 100sylan 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  F ) z )  e.  B )
102 oveq1 6087 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  F ) z )  ->  (
x  oF  .x.  A )  =  ( ( y ( +g  `  F ) z )  oF  .x.  A
) )
103102oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  F ) z )  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( +g  `  F
) z )  oF  .x.  A ) ) )
104 ovex 6105 . . . . . . 7  |-  ( T 
gsumg  ( ( y ( +g  `  F ) z )  oF  .x.  A ) )  e.  _V
105103, 81, 104fvmpt 5762 . . . . . 6  |-  ( ( y ( +g  `  F
) z )  e.  B  ->  ( E `  ( y ( +g  `  F ) z ) )  =  ( T 
gsumg  ( ( y ( +g  `  F ) z )  oF  .x.  A ) ) )
106101, 105syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  (
y ( +g  `  F
) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( +g  `  F
) z )  oF  .x.  A ) ) )
10711adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
108 simprl 748 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
109 simprr 749 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z  e.  B )
110 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
11113, 1, 107, 84, 108, 109, 110, 20frlmplusgval 18033 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  F ) z )  =  ( y  oF ( +g  `  R
) z ) )
112111oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  F ) z )  oF  .x.  A )  =  ( ( y  oF ( +g  `  R
) z )  oF  .x.  A ) )
11313, 46, 1frlmbasf 18030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  X  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
11412, 113sylan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
115114adantrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y : I --> ( Base `  R ) )
116 ffn 5547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : I --> ( Base `  R )  ->  y  Fn  I )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y  Fn  I )
11848adantrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z : I --> ( Base `  R ) )
119 ffn 5547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z : I --> ( Base `  R )  ->  z  Fn  I )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z  Fn  I )
121117, 120, 84, 84, 51offn 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  oF ( +g  `  R
) z )  Fn  I )
122 ffn 5547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A : I --> C  ->  A  Fn  I )
12349, 122syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  Fn  I )
124123adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  A  Fn  I )
125121, 124, 84, 84, 51offn 6320 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y  oF ( +g  `  R
) z )  oF  .x.  A )  Fn  I )
126 ffn 5547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  oF  .x.  A ) : I --> C  ->  ( y  oF  .x.  A )  Fn  I )
12790, 126syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y  oF  .x.  A )  Fn  I
)
128127adantrr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  oF  .x.  A )  Fn  I )
129 ffn 5547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  oF  .x.  A ) : I --> C  ->  ( z  oF  .x.  A )  Fn  I )
13052, 129syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  oF  .x.  A )  Fn  I
)
131130adantrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( z  oF  .x.  A )  Fn  I )
132128, 131, 84, 84, 51offn 6320 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y  oF  .x.  A )  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A
) )  Fn  I
)
1337fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  (Scalar `  T )
) )
134133ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (Scalar `  T ) ) )
135134oveqd 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) )  =  ( ( y `  x ) ( +g  `  (Scalar `  T )
) ( z `  x ) ) )
136135oveq1d 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y `  x ) ( +g  `  R ) ( z `
 x ) ) 
.x.  ( A `  x ) )  =  ( ( ( y `
 x ) ( +g  `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) ) )
1378ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  T  e.  LMod )
138115ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  ( Base `  R
) )
13939ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
140138, 139eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
141118ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  R
) )
142141, 139eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
14349adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  A : I --> C )
144143ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x )  e.  C )
145 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  (Scalar `  T )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  T )
)
14619, 21, 5, 3, 43, 145lmodvsdir 16896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  (
( y `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
)  /\  ( z `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  T
) )  /\  ( A `  x )  e.  C ) )  -> 
( ( ( y `
 x ) ( +g  `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) )  =  ( ( ( y `  x ) 
.x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T ) ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
147137, 140, 142, 144, 146syl13anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y `  x ) ( +g  `  (Scalar `  T )
) ( z `  x ) )  .x.  ( A `  x ) )  =  ( ( ( y `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T ) ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
148136, 147eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y `  x ) ( +g  `  R ) ( z `
 x ) ) 
.x.  ( A `  x ) )  =  ( ( ( y `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T
) ( ( z `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) ) )
149117adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  y  Fn  I )
150120adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  z  Fn  I )
15112ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  X )
152 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
153 fnfvof 6322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  z  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( y  oF ( +g  `  R
) z ) `  x )  =  ( ( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) ) )
154149, 150, 151, 152, 153syl22anc 1212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( y  oF ( +g  `  R
) z ) `  x )  =  ( ( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) ) )
155154oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  oF ( +g  `  R
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( ( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) )  .x.  ( A `  x ) ) )
156123ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  A  Fn  I )
157 fnfvof 6322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( y  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( y `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
158149, 156, 151, 152, 157syl22anc 1212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( y  oF  .x.  A ) `  x )  =  ( ( y `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) )
159 fnfvof 6322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( z  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
160150, 156, 151, 152, 159syl22anc 1212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( z  oF  .x.  A ) `  x )  =  ( ( z `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) )
161158, 160oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  oF  .x.  A ) `
 x ) ( +g  `  T ) ( ( z  oF  .x.  A ) `
 x ) )  =  ( ( ( y `  x ) 
.x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T ) ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
162148, 155, 1613eqtr4d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  oF ( +g  `  R
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( ( y  oF  .x.  A ) `  x ) ( +g  `  T ) ( ( z  oF  .x.  A ) `  x
) ) )
163121adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y  oF ( +g  `  R ) z )  Fn  I
)
164 fnfvof 6322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  oF ( +g  `  R
) z )  Fn  I  /\  A  Fn  I )  /\  (
I  e.  X  /\  x  e.  I )
)  ->  ( (
( y  oF ( +g  `  R
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y  oF ( +g  `  R ) z ) `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) )
165163, 156, 151, 152, 164syl22anc 1212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  oF ( +g  `  R
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y  oF ( +g  `  R ) z ) `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) )
166128adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y  oF  .x.  A )  Fn  I
)
167131adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
z  oF  .x.  A )  Fn  I
)
168 fnfvof 6322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  oF  .x.  A )  Fn  I  /\  (
z  oF  .x.  A )  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( ( y  oF  .x.  A
)  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A ) ) `
 x )  =  ( ( ( y  oF  .x.  A
) `  x )
( +g  `  T ) ( ( z  oF  .x.  A ) `
 x ) ) )
169166, 167, 151, 152, 168syl22anc 1212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  oF  .x.  A )  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A
) ) `  x
)  =  ( ( ( y  oF  .x.  A ) `  x ) ( +g  `  T ) ( ( z  oF  .x.  A ) `  x
) ) )
170162, 165, 1693eqtr4d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  oF ( +g  `  R
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y  oF  .x.  A
)  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A ) ) `
 x ) )
171125, 132, 170eqfnfvd 5788 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y  oF ( +g  `  R
) z )  oF  .x.  A )  =  ( ( y  oF  .x.  A
)  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A ) ) )
172112, 171eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  F ) z )  oF  .x.  A )  =  ( ( y  oF  .x.  A )  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A
) ) )
173172oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( T  gsumg  ( ( y ( +g  `  F ) z )  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y  oF  .x.  A )  oF ( +g  `  T
) ( z  oF  .x.  A ) ) ) )
174106, 173eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  (
y ( +g  `  F
) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y  oF  .x.  A )  oF ( +g  `  T
) ( z  oF  .x.  A ) ) ) )
175 oveq1 6087 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  oF  .x.  A )  =  ( y  oF  .x.  A ) )
176175oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A
) ) )
177 ovex 6105 . . . . . . 7  |-  ( T 
gsumg  ( y  oF  .x.  A ) )  e.  _V
178176, 81, 177fvmpt 5762 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  ->  ( E `  y )  =  ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A
) ) )
179178ad2antrl 720 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( T 
gsumg  ( y  oF  .x.  A ) ) )
180 oveq1 6087 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  oF  .x.  A )  =  ( z  oF  .x.  A ) )
181180oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A
) ) )
182 ovex 6105 . . . . . . 7  |-  ( T 
gsumg  ( z  oF  .x.  A ) )  e.  _V
183181, 81, 182fvmpt 5762 . . . . . 6  |-  ( z  e.  B  ->  ( E `  z )  =  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A
) ) )
184183ad2antll 721 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  z
)  =  ( T 
gsumg  ( z  oF  .x.  A ) ) )
185179, 184oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( E `  y ) ( +g  `  T ) ( E `
 z ) )  =  ( ( T 
gsumg  ( y  oF  .x.  A ) ) ( +g  `  T
) ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A
) ) ) )
18698, 174, 1853eqtr4d 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  (
y ( +g  `  F
) z ) )  =  ( ( E `
 y ) ( +g  `  T ) ( E `  z
) ) )
1871, 19, 20, 21, 23, 25, 82, 186isghmd 15736 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F 
GrpHom  T ) )
1888adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  T  e.  LMod )
18912adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  I  e.  X )
19018fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  T ) )  =  ( Base `  (Scalar `  F ) ) )
191190eleq2d 2500 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  (
Base `  (Scalar `  T
) )  <->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F
) ) ) )
192191biimpar 482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
193192adantrr 709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  T
) ) )
19452adantrl 708 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( z  oF  .x.  A ) : I --> C )
195194ffvelrnda 5831 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( z  oF  .x.  A ) `
 x )  e.  C )
19652feqmptd 5732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  oF  .x.  A )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A ) `  x ) ) )
197196, 78eqbrtrrd 4302 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A ) `  x ) ) finSupp  ( 0g `  T ) )
198197adantrl 708 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A ) `  x
) ) finSupp  ( 0g `  T ) )
19919, 5, 43, 32, 21, 3, 188, 189, 193, 195, 198gsumvsmul 16933 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( y  .x.  ( ( z  oF  .x.  A ) `  x
) ) ) )  =  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A ) `
 x ) ) ) ) )
20015adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  F  e.  LMod )
201 simprl 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F
) ) )
202 simprr 749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  z  e.  B )
2031, 4, 2, 6lmodvscl 16889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( .s
`  F ) z )  e.  B )
204200, 201, 202, 203syl3anc 1211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( .s `  F
) z )  e.  B )
20513, 46, 1frlmbasf 18030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  X  /\  ( y ( .s
`  F ) z )  e.  B )  ->  ( y ( .s `  F ) z ) : I --> ( Base `  R
) )
206189, 204, 205syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( .s `  F
) z ) : I --> ( Base `  R
) )
207 ffn 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y ( .s `  F ) z ) : I --> ( Base `  R )  ->  (
y ( .s `  F ) z )  Fn  I )
208206, 207syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( .s `  F
) z )  Fn  I )
209123adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  A  Fn  I )
210208, 209, 189, 189, 51offn 6320 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A
)  Fn  I )
211 dffn2 5548 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A )  Fn  I  <->  ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A ) : I --> _V )
212210, 211sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A
) : I --> _V )
213212feqmptd 5732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A ) `  x
) ) )
2147fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  (Scalar `  T )
) )
215214ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  (Scalar `  T )
) )
216215oveqd 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( y ( .r
`  R ) ( z `  x ) )  =  ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) ) )
217216oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .r `  R ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
) )
2188ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  T  e.  LMod )
219 simplrl 752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
) )
220190ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  (Scalar `  T ) )  =  ( Base `  (Scalar `  F ) ) )
221219, 220eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
22248ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  R
) )
22339ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
224222, 223eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
225224adantlrl 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( z `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
22649ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x )  e.  C )
227226adantlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x
)  e.  C )
228 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  (Scalar `  T )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  T )
)
22919, 5, 3, 43, 228lmodvsass 16897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
)  /\  ( z `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  T
) )  /\  ( A `  x )  e.  C ) )  -> 
( ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) )  =  ( y  .x.  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
230218, 221, 225, 227, 229syl13anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) )  =  ( y  .x.  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
231217, 230eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .r `  R ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( y 
.x.  ( ( z `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) ) )
232208adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( y ( .s
`  F ) z )  Fn  I )
233123ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  A  Fn  I )
23412ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  X )
235 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
236 fnfvof 6322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y ( .s `  F ) z )  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( ( y ( .s `  F
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y ( .s `  F
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
237232, 233, 234, 235, 236syl22anc 1212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y ( .s `  F
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
23817fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  F )
) )
239238ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  F )
) )
240219, 239eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  R ) )
241 simplrr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  z  e.  B )
242 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
24313, 1, 46, 234, 240, 241, 235, 2, 242frlmvscaval 18036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .s `  F ) z ) `  x
)  =  ( y ( .r `  R
) ( z `  x ) ) )
244243oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( y ( .r `  R ) ( z `
 x ) ) 
.x.  ( A `  x ) ) )
245237, 244eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( y ( .r `  R ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
) )
24648, 119syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z  Fn  I )
247246adantrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  z  Fn  I )
248247adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  z  Fn  I )
249248, 233, 234, 235, 159syl22anc 1212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( z  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
250249oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( y  .x.  (
( z  oF  .x.  A ) `  x ) )  =  ( y  .x.  (
( z `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) ) )
251231, 245, 2503eqtr4d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( y  .x.  (
( z  oF  .x.  A ) `  x ) ) )
252251mpteq2dva 4366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A ) `  x
) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  .x.  ( ( z  oF  .x.  A ) `  x
) ) ) )
253213, 252eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A
)  =  ( x  e.  I  |->  ( y 
.x.  ( ( z  oF  .x.  A
) `  x )
) ) )
254253oveq2d 6096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( y  .x.  (
( z  oF  .x.  A ) `  x ) ) ) ) )
255194feqmptd 5732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( z  oF  .x.  A )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A
) `  x )
) )
256255oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A ) `
 x ) ) ) )
257256oveq2d 6096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) ) )  =  ( y 
.x.  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A ) `  x
) ) ) ) )
258199, 254, 2573eqtr4d 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A ) )  =  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) ) ) )
259 oveq1 6087 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( .s `  F ) z )  ->  (
x  oF  .x.  A )  =  ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A ) )
260259oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( .s `  F ) z )  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A
) ) )
261 ovex 6105 . . . . 5  |-  ( T 
gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A ) )  e.  _V
262260, 81, 261fvmpt 5762 . . . 4  |-  ( ( y ( .s `  F ) z )  e.  B  ->  ( E `  ( y
( .s `  F
) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A
) ) )
263204, 262syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( E `  ( y ( .s
`  F ) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A ) ) )
264183oveq2d 6096 . . . 4  |-  ( z  e.  B  ->  (
y  .x.  ( E `  z ) )  =  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) ) ) )
265264ad2antll 721 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y  .x.  ( E `  z
) )  =  ( y  .x.  ( T 
gsumg  ( z  oF  .x.  A ) ) ) )
266258, 263, 2653eqtr4d 2475 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( E `  ( y ( .s
`  F ) z ) )  =  ( y  .x.  ( E `
 z ) ) )
2671, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 8, 18, 187, 266islmhmd 17042 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F LMHom 
T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307   supp csupp 6679   Fincfn 7298   finSupp cfsupp 7608   Basecbs 14157   +g cplusg 14221   .rcmulr 14222  Scalarcsca 14224   .scvsca 14225   0gc0g 14361    gsumg cgsu 14362   Grpcgrp 15393  CMndccmn 16257   Ringcrg 16577   LModclmod 16872   LMHom clmhm 17022   freeLMod cfrlm 18013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-hash 12088  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-hom 14245  df-cco 14246  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-prds 14369  df-pws 14371  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-subg 15658  df-ghm 15725  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-subrg 16787  df-lmod 16874  df-lss 16936  df-lmhm 17025  df-sra 17175  df-rgmod 17176  df-dsmm 17999  df-frlm 18014
This theorem is referenced by:  frlmup3  18070  frlmup4  18071  islindf5  18110  indlcim  18111  lnrfg  29320
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