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Theorem frlmup1 18699
Description: Any assignment of unit vectors to target vectors can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free module to an arbitrary other module on the same base ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
frlmup.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
frlmup.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
frlmup.v  |-  .x.  =  ( .s `  T )
frlmup.e  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) ) )
frlmup.t  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
frlmup.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
frlmup.r  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
frlmup.a  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
Assertion
Ref Expression
frlmup1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F LMHom 
T ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, I    x, F    x, B    x, C    x,  .x.    x, A    x, X    ph, x    x, T
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem frlmup1
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.b . 2  |-  B  =  ( Base `  F
)
2 eqid 2441 . 2  |-  ( .s
`  F )  =  ( .s `  F
)
3 frlmup.v . 2  |-  .x.  =  ( .s `  T )
4 eqid 2441 . 2  |-  (Scalar `  F )  =  (Scalar `  F )
5 eqid 2441 . 2  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
6 eqid 2441 . 2  |-  ( Base `  (Scalar `  F )
)  =  ( Base `  (Scalar `  F )
)
7 frlmup.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
8 frlmup.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
95lmodring 17388 . . . . 5  |-  ( T  e.  LMod  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
117, 10eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
12 frlmup.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
13 frlmup.f . . . 4  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
1413frlmlmod 18647 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  X )  ->  F  e.  LMod )
1511, 12, 14syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  LMod )
1613frlmsca 18651 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  X )  ->  R  =  (Scalar `  F )
)
1711, 12, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  F ) )
187, 17eqtr3d 2484 . 2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  F )
)
19 frlmup.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  T
)
20 eqid 2441 . . 3  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
21 eqid 2441 . . 3  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
22 lmodgrp 17387 . . . 4  |-  ( F  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
2315, 22syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
24 lmodgrp 17387 . . . 4  |-  ( T  e.  LMod  ->  T  e. 
Grp )
258, 24syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  Grp )
26 eleq1 2513 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  B  <->  x  e.  B ) )
2726anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ph  /\  z  e.  B )  <->  ( ph  /\  x  e.  B ) ) )
28 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  oF  .x.  A )  =  ( x  oF  .x.  A ) )
2928oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A
) ) )
3029eleq1d 2510 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) )  e.  C  <->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  e.  C ) )
3127, 30imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  B )  ->  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) )  e.  C )  <->  ( ( ph  /\  x  e.  B
)  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  e.  C ) ) )
32 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
33 lmodcmn 17426 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  LMod  ->  T  e. CMnd
)
348, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
3534adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  T  e. CMnd )
3612adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  I  e.  X )
378ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  ->  T  e.  LMod )
38 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  ->  x  e.  ( Base `  R ) )
397fveq2d 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  -> 
( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
4138, 40eleqtrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  ->  x  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
42 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  -> 
y  e.  C )
43 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
4419, 5, 3, 43lmodvscl 17397 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) )  /\  y  e.  C )  ->  ( x  .x.  y
)  e.  C )
4537, 41, 42, 44syl3anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  C )
46 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4713, 46, 1frlmbasf 18661 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  X  /\  z  e.  B )  ->  z : I --> ( Base `  R ) )
4812, 47sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z : I --> ( Base `  R ) )
49 frlmup.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
5049adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  A : I --> C )
51 inidm 3689 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
5245, 48, 50, 36, 36, 51off 6535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  oF  .x.  A ) : I --> C )
53 ovex 6305 . . . . . . . 8  |-  ( z  oF  .x.  A
)  e.  _V
5453a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  oF  .x.  A )  e.  _V )
55 ffun 5719 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  oF  .x.  A ) : I --> C  ->  Fun  ( z  oF  .x.  A
) )
5652, 55syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  Fun  ( z  oF  .x.  A ) )
57 fvex 5862 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  T )  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( 0g `  T )  e. 
_V )
59 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
6013, 59, 1frlmbasfsupp 18658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  X  /\  z  e.  B )  ->  z finSupp  ( 0g `  R ) )
6112, 60sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z finSupp  ( 0g `  R ) )
627fveq2d 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
) )
6362eqcomd 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  T ) )  =  ( 0g `  R
) )
6463breq2d 4445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  <->  z finSupp  ( 0g `  R ) ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z finSupp  ( 0g `  (Scalar `  T ) )  <->  z finSupp  ( 0g
`  R ) ) )
6661, 65mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z finSupp  ( 0g `  (Scalar `  T ) ) )
6766fsuppimpd 7834 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z supp  ( 0g `  (Scalar `  T ) ) )  e.  Fin )
68 ssid 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( z supp  ( 0g `  (Scalar `  T ) ) ) 
C_  ( z supp  ( 0g `  (Scalar `  T
) ) )
6968a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z supp  ( 0g `  (Scalar `  T ) ) )  C_  ( z supp  ( 0g `  (Scalar `  T ) ) ) )
708ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  w  e.  C )  ->  T  e.  LMod )
71 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)
7219, 5, 3, 71, 32lmod0vs 17413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  w  e.  C )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  T ) )  .x.  w )  =  ( 0g `  T ) )
7370, 72sylancom 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  w  e.  C )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  T ) )  .x.  w )  =  ( 0g `  T ) )
74 fvex 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  e.  _V
7574a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( 0g `  (Scalar `  T
) )  e.  _V )
7669, 73, 48, 50, 36, 75suppssof1 6931 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
( z  oF  .x.  A ) supp  ( 0g `  T ) ) 
C_  ( z supp  ( 0g `  (Scalar `  T
) ) ) )
77 suppssfifsupp 7842 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  oF  .x.  A )  e.  _V  /\  Fun  ( z  oF  .x.  A )  /\  ( 0g `  T )  e.  _V )  /\  ( ( z supp  ( 0g `  (Scalar `  T
) ) )  e. 
Fin  /\  ( (
z  oF  .x.  A ) supp  ( 0g `  T ) )  C_  ( z supp  ( 0g `  (Scalar `  T )
) ) ) )  ->  ( z  oF  .x.  A ) finSupp 
( 0g `  T
) )
7854, 56, 58, 67, 76, 77syl32anc 1235 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T ) )
7919, 32, 35, 36, 52, 78gsumcl 16792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) )  e.  C )
8031, 79chvarv 1998 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  e.  C )
81 frlmup.e . . . 4  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) ) )
8280, 81fmptd 6036 . . 3  |-  ( ph  ->  E : B --> C )
8334adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  T  e. CMnd )
8412adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  I  e.  X )
85 eleq1 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  B  <->  y  e.  B ) )
8685anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( ph  /\  z  e.  B )  <->  ( ph  /\  y  e.  B ) ) )
87 oveq1 6284 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  oF  .x.  A )  =  ( y  oF  .x.  A ) )
8887feq1d 5703 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  oF  .x.  A ) : I --> C  <->  ( y  oF  .x.  A ) : I --> C ) )
8986, 88imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  B )  ->  ( z  oF  .x.  A ) : I --> C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  B
)  ->  ( y  oF  .x.  A ) : I --> C ) ) )
9089, 52chvarv 1998 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y  oF  .x.  A ) : I --> C )
9190adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  oF  .x.  A ) : I --> C )
9252adantrl 715 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( z  oF  .x.  A ) : I --> C )
9387breq1d 4443 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T )  <->  ( y  oF  .x.  A ) finSupp 
( 0g `  T
) ) )
9486, 93imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  B )  ->  ( z  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T ) )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  B )  ->  ( y  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T ) ) ) )
9594, 78chvarv 1998 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T ) )
9695adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T ) )
9778adantrl 715 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( z  oF  .x.  A ) finSupp  ( 0g `  T ) )
9819, 32, 21, 83, 84, 91, 92, 96, 97gsumadd 16807 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( T  gsumg  ( ( y  oF  .x.  A )  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A
) ) )  =  ( ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A
) ) ( +g  `  T ) ( T 
gsumg  ( z  oF  .x.  A ) ) ) )
991, 20lmodvacl 17394 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  LMod  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
y ( +g  `  F
) z )  e.  B )
100993expb 1196 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  LMod  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( +g  `  F ) z )  e.  B
)
10115, 100sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  F ) z )  e.  B )
102 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  F ) z )  ->  (
x  oF  .x.  A )  =  ( ( y ( +g  `  F ) z )  oF  .x.  A
) )
103102oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  F ) z )  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( +g  `  F
) z )  oF  .x.  A ) ) )
104 ovex 6305 . . . . . . 7  |-  ( T 
gsumg  ( ( y ( +g  `  F ) z )  oF  .x.  A ) )  e.  _V
105103, 81, 104fvmpt 5937 . . . . . 6  |-  ( ( y ( +g  `  F
) z )  e.  B  ->  ( E `  ( y ( +g  `  F ) z ) )  =  ( T 
gsumg  ( ( y ( +g  `  F ) z )  oF  .x.  A ) ) )
106101, 105syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  (
y ( +g  `  F
) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( +g  `  F
) z )  oF  .x.  A ) ) )
10711adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
108 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
109 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z  e.  B )
110 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
11113, 1, 107, 84, 108, 109, 110, 20frlmplusgval 18664 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  F ) z )  =  ( y  oF ( +g  `  R
) z ) )
112111oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  F ) z )  oF  .x.  A )  =  ( ( y  oF ( +g  `  R
) z )  oF  .x.  A ) )
11313, 46, 1frlmbasf 18661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  X  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
11412, 113sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
115114adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y : I --> ( Base `  R ) )
116 ffn 5717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : I --> ( Base `  R )  ->  y  Fn  I )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y  Fn  I )
11848adantrl 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z : I --> ( Base `  R ) )
119 ffn 5717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z : I --> ( Base `  R )  ->  z  Fn  I )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z  Fn  I )
121117, 120, 84, 84, 51offn 6532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  oF ( +g  `  R
) z )  Fn  I )
122 ffn 5717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A : I --> C  ->  A  Fn  I )
12349, 122syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  Fn  I )
124123adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  A  Fn  I )
125121, 124, 84, 84, 51offn 6532 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y  oF ( +g  `  R
) z )  oF  .x.  A )  Fn  I )
126 ffn 5717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  oF  .x.  A ) : I --> C  ->  ( y  oF  .x.  A )  Fn  I )
12790, 126syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y  oF  .x.  A )  Fn  I
)
128127adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  oF  .x.  A )  Fn  I )
129 ffn 5717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  oF  .x.  A ) : I --> C  ->  ( z  oF  .x.  A )  Fn  I )
13052, 129syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  oF  .x.  A )  Fn  I
)
131130adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( z  oF  .x.  A )  Fn  I )
132128, 131, 84, 84, 51offn 6532 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y  oF  .x.  A )  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A
) )  Fn  I
)
1337fveq2d 5856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  (Scalar `  T )
) )
134133ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (Scalar `  T ) ) )
135134oveqd 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) )  =  ( ( y `  x ) ( +g  `  (Scalar `  T )
) ( z `  x ) ) )
136135oveq1d 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y `  x ) ( +g  `  R ) ( z `
 x ) ) 
.x.  ( A `  x ) )  =  ( ( ( y `
 x ) ( +g  `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) ) )
1378ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  T  e.  LMod )
138115ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  ( Base `  R
) )
13939ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
140138, 139eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
141118ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  R
) )
142141, 139eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
14349adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  A : I --> C )
144143ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x )  e.  C )
145 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  (Scalar `  T )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  T )
)
14619, 21, 5, 3, 43, 145lmodvsdir 17404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  (
( y `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
)  /\  ( z `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  T
) )  /\  ( A `  x )  e.  C ) )  -> 
( ( ( y `
 x ) ( +g  `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) )  =  ( ( ( y `  x ) 
.x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T ) ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
147137, 140, 142, 144, 146syl13anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y `  x ) ( +g  `  (Scalar `  T )
) ( z `  x ) )  .x.  ( A `  x ) )  =  ( ( ( y `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T ) ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
148136, 147eqtrd 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y `  x ) ( +g  `  R ) ( z `
 x ) ) 
.x.  ( A `  x ) )  =  ( ( ( y `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T
) ( ( z `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) ) )
149117adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  y  Fn  I )
150120adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  z  Fn  I )
15112ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  X )
152 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
153 fnfvof 6534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  z  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( y  oF ( +g  `  R
) z ) `  x )  =  ( ( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) ) )
154149, 150, 151, 152, 153syl22anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( y  oF ( +g  `  R
) z ) `  x )  =  ( ( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) ) )
155154oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  oF ( +g  `  R
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( ( y `  x
) ( +g  `  R
) ( z `  x ) )  .x.  ( A `  x ) ) )
156123ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  A  Fn  I )
157 fnfvof 6534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( y  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( y `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
158149, 156, 151, 152, 157syl22anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( y  oF  .x.  A ) `  x )  =  ( ( y `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) )
159 fnfvof 6534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( z  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
160150, 156, 151, 152, 159syl22anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( z  oF  .x.  A ) `  x )  =  ( ( z `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) )
161158, 160oveq12d 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  oF  .x.  A ) `
 x ) ( +g  `  T ) ( ( z  oF  .x.  A ) `
 x ) )  =  ( ( ( y `  x ) 
.x.  ( A `  x ) ) ( +g  `  T ) ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
162148, 155, 1613eqtr4d 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  oF ( +g  `  R
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( ( y  oF  .x.  A ) `  x ) ( +g  `  T ) ( ( z  oF  .x.  A ) `  x
) ) )
163121adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y  oF ( +g  `  R ) z )  Fn  I
)
164 fnfvof 6534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  oF ( +g  `  R
) z )  Fn  I  /\  A  Fn  I )  /\  (
I  e.  X  /\  x  e.  I )
)  ->  ( (
( y  oF ( +g  `  R
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y  oF ( +g  `  R ) z ) `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) )
165163, 156, 151, 152, 164syl22anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  oF ( +g  `  R
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y  oF ( +g  `  R ) z ) `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) )
166128adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
y  oF  .x.  A )  Fn  I
)
167131adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
z  oF  .x.  A )  Fn  I
)
168 fnfvof 6534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  oF  .x.  A )  Fn  I  /\  (
z  oF  .x.  A )  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( ( y  oF  .x.  A
)  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A ) ) `
 x )  =  ( ( ( y  oF  .x.  A
) `  x )
( +g  `  T ) ( ( z  oF  .x.  A ) `
 x ) ) )
169166, 167, 151, 152, 168syl22anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  oF  .x.  A )  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A
) ) `  x
)  =  ( ( ( y  oF  .x.  A ) `  x ) ( +g  `  T ) ( ( z  oF  .x.  A ) `  x
) ) )
170162, 165, 1693eqtr4d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( y  oF ( +g  `  R
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y  oF  .x.  A
)  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A ) ) `
 x ) )
171125, 132, 170eqfnfvd 5965 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y  oF ( +g  `  R
) z )  oF  .x.  A )  =  ( ( y  oF  .x.  A
)  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A ) ) )
172112, 171eqtrd 2482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  F ) z )  oF  .x.  A )  =  ( ( y  oF  .x.  A )  oF ( +g  `  T ) ( z  oF  .x.  A
) ) )
173172oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( T  gsumg  ( ( y ( +g  `  F ) z )  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y  oF  .x.  A )  oF ( +g  `  T
) ( z  oF  .x.  A ) ) ) )
174106, 173eqtrd 2482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  (
y ( +g  `  F
) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y  oF  .x.  A )  oF ( +g  `  T
) ( z  oF  .x.  A ) ) ) )
175 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  oF  .x.  A )  =  ( y  oF  .x.  A ) )
176175oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A
) ) )
177 ovex 6305 . . . . . . 7  |-  ( T 
gsumg  ( y  oF  .x.  A ) )  e.  _V
178176, 81, 177fvmpt 5937 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  ->  ( E `  y )  =  ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A
) ) )
179178ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( T 
gsumg  ( y  oF  .x.  A ) ) )
180 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  oF  .x.  A )  =  ( z  oF  .x.  A ) )
181180oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A
) ) )
182 ovex 6305 . . . . . . 7  |-  ( T 
gsumg  ( z  oF  .x.  A ) )  e.  _V
183181, 81, 182fvmpt 5937 . . . . . 6  |-  ( z  e.  B  ->  ( E `  z )  =  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A
) ) )
184183ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  z
)  =  ( T 
gsumg  ( z  oF  .x.  A ) ) )
185179, 184oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( E `  y ) ( +g  `  T ) ( E `
 z ) )  =  ( ( T 
gsumg  ( y  oF  .x.  A ) ) ( +g  `  T
) ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A
) ) ) )
18698, 174, 1853eqtr4d 2492 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( E `  (
y ( +g  `  F
) z ) )  =  ( ( E `
 y ) ( +g  `  T ) ( E `  z
) ) )
1871, 19, 20, 21, 23, 25, 82, 186isghmd 16145 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F 
GrpHom  T ) )
1888adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  T  e.  LMod )
18912adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  I  e.  X )
19018fveq2d 5856 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  T ) )  =  ( Base `  (Scalar `  F ) ) )
191190eleq2d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  (
Base `  (Scalar `  T
) )  <->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F
) ) ) )
192191biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
193192adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  T
) ) )
19452adantrl 715 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( z  oF  .x.  A ) : I --> C )
195194ffvelrnda 6012 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( z  oF  .x.  A ) `
 x )  e.  C )
19652feqmptd 5907 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z  oF  .x.  A )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A ) `  x ) ) )
197196, 78eqbrtrrd 4455 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A ) `  x ) ) finSupp  ( 0g `  T ) )
198197adantrl 715 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A ) `  x
) ) finSupp  ( 0g `  T ) )
19919, 5, 43, 32, 21, 3, 188, 189, 193, 195, 198gsumvsmul 17442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( y  .x.  ( ( z  oF  .x.  A ) `  x
) ) ) )  =  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A ) `
 x ) ) ) ) )
20015adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  F  e.  LMod )
201 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F
) ) )
202 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  z  e.  B )
2031, 4, 2, 6lmodvscl 17397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( .s
`  F ) z )  e.  B )
204200, 201, 202, 203syl3anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( .s `  F
) z )  e.  B )
20513, 46, 1frlmbasf 18661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  X  /\  ( y ( .s
`  F ) z )  e.  B )  ->  ( y ( .s `  F ) z ) : I --> ( Base `  R
) )
206189, 204, 205syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( .s `  F
) z ) : I --> ( Base `  R
) )
207 ffn 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y ( .s `  F ) z ) : I --> ( Base `  R )  ->  (
y ( .s `  F ) z )  Fn  I )
208206, 207syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y
( .s `  F
) z )  Fn  I )
209123adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  A  Fn  I )
210208, 209, 189, 189, 51offn 6532 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A
)  Fn  I )
211 dffn2 5718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A )  Fn  I  <->  ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A ) : I --> _V )
212210, 211sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A
) : I --> _V )
213212feqmptd 5907 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A ) `  x
) ) )
2147fveq2d 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  (Scalar `  T )
) )
215214ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  (Scalar `  T )
) )
216215oveqd 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( y ( .r
`  R ) ( z `  x ) )  =  ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) ) )
217216oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .r `  R ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
) )
2188ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  T  e.  LMod )
219 simplrl 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
) )
220190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  (Scalar `  T ) )  =  ( Base `  (Scalar `  F ) ) )
221219, 220eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
22248ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  R
) )
22339ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
224222, 223eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
z `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) ) )
225224adantlrl 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( z `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
22649ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x )  e.  C )
227226adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( A `  x
)  e.  C )
228 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  (Scalar `  T )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  T )
)
22919, 5, 3, 43, 228lmodvsass 17405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
)  /\  ( z `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  T
) )  /\  ( A `  x )  e.  C ) )  -> 
( ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) )  =  ( y  .x.  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
230218, 221, 225, 227, 229syl13anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .r `  (Scalar `  T ) ) ( z `  x ) )  .x.  ( A `
 x ) )  =  ( y  .x.  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) ) )
231217, 230eqtrd 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .r `  R ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( y 
.x.  ( ( z `
 x )  .x.  ( A `  x ) ) ) )
232208adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( y ( .s
`  F ) z )  Fn  I )
233123ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  A  Fn  I )
23412ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  X )
235 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
236 fnfvof 6534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y ( .s `  F ) z )  Fn  I  /\  A  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( ( y ( .s `  F
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y ( .s `  F
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
237232, 233, 234, 235, 236syl22anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( ( y ( .s `  F
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
23817fveq2d 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  F )
) )
239238ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  F )
) )
240219, 239eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  R ) )
241 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  z  e.  B )
242 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
24313, 1, 46, 234, 240, 241, 235, 2, 242frlmvscaval 18667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( y ( .s `  F ) z ) `  x
)  =  ( y ( .r `  R
) ( z `  x ) ) )
244243oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z ) `  x )  .x.  ( A `  x )
)  =  ( ( y ( .r `  R ) ( z `
 x ) ) 
.x.  ( A `  x ) ) )
245237, 244eqtrd 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( y ( .r `  R ) ( z `  x
) )  .x.  ( A `  x )
) )
24648, 119syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z  Fn  I )
247246adantrl 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  z  Fn  I )
248247adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  z  Fn  I )
249248, 233, 234, 235, 159syl22anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( z  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( ( z `  x )  .x.  ( A `  x )
) )
250249oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( y  .x.  (
( z  oF  .x.  A ) `  x ) )  =  ( y  .x.  (
( z `  x
)  .x.  ( A `  x ) ) ) )
251231, 245, 2503eqtr4d 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( Base `  (Scalar `  F )
)  /\  z  e.  B ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ( ( y ( .s `  F
) z )  oF  .x.  A ) `
 x )  =  ( y  .x.  (
( z  oF  .x.  A ) `  x ) ) )
252251mpteq2dva 4519 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A ) `  x
) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  .x.  ( ( z  oF  .x.  A ) `  x
) ) ) )
253213, 252eqtrd 2482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A
)  =  ( x  e.  I  |->  ( y 
.x.  ( ( z  oF  .x.  A
) `  x )
) ) )
254253oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( y  .x.  (
( z  oF  .x.  A ) `  x ) ) ) ) )
255194feqmptd 5907 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( z  oF  .x.  A )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A
) `  x )
) )
256255oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A ) `
 x ) ) ) )
257256oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) ) )  =  ( y 
.x.  ( T  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( z  oF  .x.  A ) `  x
) ) ) ) )
258199, 254, 2573eqtr4d 2492 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( T  gsumg  ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A ) )  =  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) ) ) )
259 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( .s `  F ) z )  ->  (
x  oF  .x.  A )  =  ( ( y ( .s
`  F ) z )  oF  .x.  A ) )
260259oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( .s `  F ) z )  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A
) ) )
261 ovex 6305 . . . . 5  |-  ( T 
gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A ) )  e.  _V
262260, 81, 261fvmpt 5937 . . . 4  |-  ( ( y ( .s `  F ) z )  e.  B  ->  ( E `  ( y
( .s `  F
) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A
) ) )
263204, 262syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( E `  ( y ( .s
`  F ) z ) )  =  ( T  gsumg  ( ( y ( .s `  F ) z )  oF  .x.  A ) ) )
264183oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( z  e.  B  ->  (
y  .x.  ( E `  z ) )  =  ( y  .x.  ( T  gsumg  ( z  oF  .x.  A ) ) ) )
265264ad2antll 728 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y  .x.  ( E `  z
) )  =  ( y  .x.  ( T 
gsumg  ( z  oF  .x.  A ) ) ) )
266258, 263, 2653eqtr4d 2492 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( Base `  (Scalar `  F ) )  /\  z  e.  B )
)  ->  ( E `  ( y ( .s
`  F ) z ) )  =  ( y  .x.  ( E `
 z ) ) )
2671, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 8, 18, 187, 266islmhmd 17553 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F LMHom 
T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   _Vcvv 3093    C_ wss 3458   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   Fun wfun 5568    Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    oFcof 6519   supp csupp 6899   Fincfn 7514   finSupp cfsupp 7827   Basecbs 14504   +g cplusg 14569   .rcmulr 14570  Scalarcsca 14572   .scvsca 14573   0gc0g 14709    gsumg cgsu 14710   Grpcgrp 15922  CMndccmn 16667   Ringcrg 17066   LModclmod 17380   LMHom clmhm 17533   freeLMod cfrlm 18644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-hash 12380  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-hom 14593  df-cco 14594  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-prds 14717  df-pws 14719  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-mhm 15835  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-subg 16067  df-ghm 16134  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-abl 16670  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-subrg 17295  df-lmod 17382  df-lss 17447  df-lmhm 17536  df-sra 17686  df-rgmod 17687  df-dsmm 18630  df-frlm 18645
This theorem is referenced by:  frlmup3  18701  frlmup4  18702  islindf5  18741  indlcim  18742  lnrfg  31036
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