MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsubgval Structured version   Unicode version

Theorem frlmsubgval 18192
Description: Subtraction in a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsubval.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsubval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsubval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
frlmsubval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
frlmsubval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
frlmsubval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
frlmsubval.a  |-  .-  =  ( -g `  R )
frlmsubval.p  |-  M  =  ( -g `  Y
)
Assertion
Ref Expression
frlmsubgval  |-  ( ph  ->  ( F M G )  =  ( F  oF  .-  G
) )

Proof of Theorem frlmsubgval
StepHypRef Expression
1 frlmsubval.p . . . 4  |-  M  =  ( -g `  Y
)
2 frlmsubval.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
3 frlmsubval.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
4 frlmsubval.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
5 frlmsubval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
64, 5frlmpws 18175 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
72, 3, 6syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
87fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -g `  Y
)  =  ( -g `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) ) )
91, 8syl5eq 2487 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  ( -g `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) ) )
109oveqd 6108 . 2  |-  ( ph  ->  ( F M G )  =  ( F ( -g `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) ) G ) )
11 rlmlmod 17286 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
122, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  R )  e.  LMod )
13 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( (ringLMod `  R )  ^s  I )  =  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )
1413pwslmod 17051 . . . . 5  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  /\  I  e.  W )  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  e.  LMod )
1512, 3, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )  e.  LMod )
16 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
174, 5, 16frlmlss 18176 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  B  e.  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) ) )
182, 3, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
1916lsssubg 17038 . . . 4  |-  ( ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )  e.  LMod  /\  B  e.  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )  ->  B  e.  (SubGrp `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
2015, 18, 19syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubGrp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) ) )
21 frlmsubval.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
22 frlmsubval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
23 eqid 2443 . . . 4  |-  ( -g `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( -g `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) )
24 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B )  =  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B )
25 eqid 2443 . . . 4  |-  ( -g `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) )  =  ( -g `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
2623, 24, 25subgsub 15693 . . 3  |-  ( ( B  e.  (SubGrp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F ( -g `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) G )  =  ( F ( -g `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) ) G ) )
2720, 21, 22, 26syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( -g `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) G )  =  ( F ( -g `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) ) G ) )
28 lmodgrp 16955 . . . 4  |-  ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  -> 
(ringLMod `  R )  e. 
Grp )
292, 11, 283syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  R )  e.  Grp )
30 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
314, 30, 5frlmbasmap 18187 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  W  /\  F  e.  B )  ->  F  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
323, 21, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
33 rlmbas 17276 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
3430, 33eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
3513, 34pwsbas 14425 . . . . 5  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  Grp  /\  I  e.  W )  ->  (
( Base `  R )  ^m  I )  =  (
Base `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) ) )
3629, 3, 35syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  =  ( Base `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) ) )
3732, 36eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
384, 30, 5frlmbasmap 18187 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  W  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
393, 22, 38syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
4039, 36eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
41 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( Base `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) )
42 frlmsubval.a . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  R )
43 rlmsub 17279 . . . . 5  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  (ringLMod `  R
) )
4442, 43eqtri 2463 . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  (ringLMod `  R
) )
4513, 41, 44, 23pwssub 15668 . . 3  |-  ( ( ( (ringLMod `  R
)  e.  Grp  /\  I  e.  W )  /\  ( F  e.  (
Base `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )  /\  G  e.  ( Base `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) ) ) )  ->  ( F (
-g `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) ) G )  =  ( F  oF 
.-  G ) )
4629, 3, 37, 40, 45syl22anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( -g `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) G )  =  ( F  oF  .-  G
) )
4710, 27, 463eqtr2d 2481 1  |-  ( ph  ->  ( F M G )  =  ( F  oF  .-  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oFcof 6318    ^m cmap 7214   Basecbs 14174   ↾s cress 14175    ^s cpws 14385   Grpcgrp 15410   -gcsg 15413  SubGrpcsubg 15675   Ringcrg 16645   LModclmod 16948   LSubSpclss 17013  ringLModcrglmod 17250   freeLMod cfrlm 18171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-hom 14262  df-cco 14263  df-0g 14380  df-prds 14386  df-pws 14388  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-dsmm 18157  df-frlm 18172
This theorem is referenced by:  rrxds  20897  matsubgcell  30860
  Copyright terms: Public domain W3C validator