MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsubgval Structured version   Unicode version

Theorem frlmsubgval 18667
Description: Subtraction in a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsubval.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsubval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsubval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
frlmsubval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
frlmsubval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
frlmsubval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
frlmsubval.a  |-  .-  =  ( -g `  R )
frlmsubval.p  |-  M  =  ( -g `  Y
)
Assertion
Ref Expression
frlmsubgval  |-  ( ph  ->  ( F M G )  =  ( F  oF  .-  G
) )

Proof of Theorem frlmsubgval
StepHypRef Expression
1 frlmsubval.p . . . 4  |-  M  =  ( -g `  Y
)
2 frlmsubval.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
3 frlmsubval.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
4 frlmsubval.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
5 frlmsubval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
64, 5frlmpws 18650 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
72, 3, 6syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
87fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -g `  Y
)  =  ( -g `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) ) )
91, 8syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  ( -g `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) ) )
109oveqd 6312 . 2  |-  ( ph  ->  ( F M G )  =  ( F ( -g `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) ) G ) )
11 rlmlmod 17722 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
122, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  R )  e.  LMod )
13 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( (ringLMod `  R )  ^s  I )  =  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )
1413pwslmod 17487 . . . . 5  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  /\  I  e.  W )  ->  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
)  e.  LMod )
1512, 3, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )  e.  LMod )
16 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )
174, 5, 16frlmlss 18651 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  B  e.  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) ) )
182, 3, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
1916lsssubg 17474 . . . 4  |-  ( ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )  e.  LMod  /\  B  e.  ( LSubSp `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )  ->  B  e.  (SubGrp `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
2015, 18, 19syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubGrp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) ) )
21 frlmsubval.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
22 frlmsubval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
23 eqid 2467 . . . 4  |-  ( -g `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( -g `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) )
24 eqid 2467 . . . 4  |-  ( ( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B )  =  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B )
25 eqid 2467 . . . 4  |-  ( -g `  ( ( (ringLMod `  R
)  ^s  I )s  B ) )  =  ( -g `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) )
2623, 24, 25subgsub 16085 . . 3  |-  ( ( B  e.  (SubGrp `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F ( -g `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) G )  =  ( F ( -g `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) ) G ) )
2720, 21, 22, 26syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( -g `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) G )  =  ( F ( -g `  (
( (ringLMod `  R )  ^s  I )s  B ) ) G ) )
28 lmodgrp 17390 . . . 4  |-  ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  -> 
(ringLMod `  R )  e. 
Grp )
292, 11, 283syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  R )  e.  Grp )
30 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
314, 30, 5frlmbasmap 18662 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  W  /\  F  e.  B )  ->  F  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
323, 21, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
33 rlmbas 17712 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
3430, 33eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
3513, 34pwsbas 14759 . . . . 5  |-  ( ( (ringLMod `  R )  e.  Grp  /\  I  e.  W )  ->  (
( Base `  R )  ^m  I )  =  (
Base `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) ) )
3629, 3, 35syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  =  ( Base `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) ) )
3732, 36eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
384, 30, 5frlmbasmap 18662 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  W  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
393, 22, 38syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
4039, 36eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) )
41 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) )  =  ( Base `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) )
42 frlmsubval.a . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  R )
43 rlmsub 17715 . . . . 5  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  (ringLMod `  R
) )
4442, 43eqtri 2496 . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  (ringLMod `  R
) )
4513, 41, 44, 23pwssub 16055 . . 3  |-  ( ( ( (ringLMod `  R
)  e.  Grp  /\  I  e.  W )  /\  ( F  e.  (
Base `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) )  /\  G  e.  ( Base `  (
(ringLMod `  R )  ^s  I
) ) ) )  ->  ( F (
-g `  ( (ringLMod `  R )  ^s  I ) ) G )  =  ( F  oF 
.-  G ) )
4629, 3, 37, 40, 45syl22anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( -g `  ( (ringLMod `  R
)  ^s  I ) ) G )  =  ( F  oF  .-  G
) )
4710, 27, 463eqtr2d 2514 1  |-  ( ph  ->  ( F M G )  =  ( F  oF  .-  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533    ^m cmap 7432   Basecbs 14507   ↾s cress 14508    ^s cpws 14719   Grpcgrp 15925   -gcsg 15927  SubGrpcsubg 16067   Ringcrg 17070   LModclmod 17383   LSubSpclss 17449  ringLModcrglmod 17686   freeLMod cfrlm 18646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-dsmm 18632  df-frlm 18647
This theorem is referenced by:  matsubgcell  18805  rrxds  21693
  Copyright terms: Public domain W3C validator