Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmssuvc1 Structured version   Unicode version

Theorem frlmssuvc1 18589
 Description: A scalar multiple of a unit vector included in a support-restriction subspace is included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmssuvc1.f freeLMod
frlmssuvc1.u unitVec
frlmssuvc1.b
frlmssuvc1.k
frlmssuvc1.t
frlmssuvc1.z
frlmssuvc1.c supp
frlmssuvc1.r
frlmssuvc1.i
frlmssuvc1.j
frlmssuvc1.l
frlmssuvc1.x
Assertion
Ref Expression
frlmssuvc1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem frlmssuvc1
StepHypRef Expression
1 frlmssuvc1.r . . 3
2 frlmssuvc1.i . . 3
3 frlmssuvc1.f . . . 4 freeLMod
43frlmlmod 18544 . . 3
51, 2, 4syl2anc 661 . 2
6 frlmssuvc1.j . . 3
7 eqid 2467 . . . 4
8 frlmssuvc1.b . . . 4
9 frlmssuvc1.z . . . 4
10 frlmssuvc1.c . . . 4 supp
113, 7, 8, 9, 10frlmsslss2 18569 . . 3
121, 2, 6, 11syl3anc 1228 . 2
13 frlmssuvc1.x . . 3
14 frlmssuvc1.k . . . 4
153frlmsca 18548 . . . . . 6 Scalar
161, 2, 15syl2anc 661 . . . . 5 Scalar
1716fveq2d 5868 . . . 4 Scalar
1814, 17syl5eq 2520 . . 3 Scalar
1913, 18eleqtrd 2557 . 2 Scalar
20 frlmssuvc1.u . . . . . 6 unitVec
2120, 3, 8uvcff 18586 . . . . 5
221, 2, 21syl2anc 661 . . . 4
23 frlmssuvc1.l . . . . 5
246, 23sseldd 3505 . . . 4
2522, 24ffvelrnd 6020 . . 3
263, 14, 8frlmbasf 18558 . . . . 5
272, 25, 26syl2anc 661 . . . 4
281adantr 465 . . . . 5
292adantr 465 . . . . 5
3024adantr 465 . . . . 5
31 eldifi 3626 . . . . . 6
3231adantl 466 . . . . 5
33 disjdif 3899 . . . . . . 7
3433a1i 11 . . . . . 6
3523adantr 465 . . . . . 6
36 simpr 461 . . . . . 6
37 disjne 3872 . . . . . 6
3834, 35, 36, 37syl3anc 1228 . . . . 5
3920, 28, 29, 30, 32, 38, 9uvcvv0 18585 . . . 4
4027, 39suppss 6927 . . 3 supp
41 oveq1 6289 . . . . 5 supp supp
4241sseq1d 3531 . . . 4 supp supp
4342, 10elrab2 3263 . . 3 supp
4425, 40, 43sylanbrc 664 . 2
45 eqid 2467 . . 3 Scalar Scalar
46 frlmssuvc1.t . . 3
47 eqid 2467 . . 3 Scalar Scalar
4845, 46, 47, 7lssvscl 17381 . 2 Scalar
495, 12, 19, 44, 48syl22anc 1229 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  crab 2818   cdif 3473   cin 3475   wss 3476  c0 3785  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282   supp csupp 6898  cbs 14483  Scalarcsca 14551  cvsca 14552  c0g 14688  crg 16983  clmod 17292  clss 17358   freeLMod cfrlm 18541   unitVec cuvc 18577 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-hom 14572  df-cco 14573  df-0g 14690  df-prds 14696  df-pws 14698  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-subg 15990  df-ghm 16057  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-subrg 17207  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lmhm 17448  df-sra 17598  df-rgmod 17599  df-dsmm 18527  df-frlm 18542  df-uvc 18578 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator