MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsslss2OLD Structured version   Unicode version

Theorem frlmsslss2OLD 18673
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule.  J is the set of permitted unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) Obsolete version of frlmsslss2 18672 as of 23-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslss.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsslss.u  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
frlmsslss.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsslss.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmsslss2OL.c  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J }
Assertion
Ref Expression
frlmsslss2OLD  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, J    x, R    x, U    x,  .0.    x, V    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem frlmsslss2OLD
StepHypRef Expression
1 frlmsslss2OL.c . . 3  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J }
2 frlmsslss.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
3 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 frlmsslss.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  Y
)
52, 3, 4frlmbasf 18661 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x : I --> ( Base `  R ) )
653ad2antl2 1158 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  x : I --> ( Base `  R ) )
7 ffn 5717 . . . . . . 7  |-  ( x : I --> ( Base `  R )  ->  x  Fn  I )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  x  Fn  I )
9 simpl3 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  J  C_  I )
10 undif 3890 . . . . . . . 8  |-  ( J 
C_  I  <->  ( J  u.  ( I  \  J
) )  =  I )
119, 10sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( J  u.  (
I  \  J )
)  =  I )
1211fneq2d 5658 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  Fn  ( J  u.  ( I  \  J ) )  <->  x  Fn  I ) )
138, 12mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  x  Fn  ( J  u.  ( I  \  J ) ) )
14 disjdif 3882 . . . . . 6  |-  ( J  i^i  ( I  \  J ) )  =  (/)
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( J  i^i  (
I  \  J )
)  =  (/) )
16 frlmsslss.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
17 fvex 5862 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1816, 17eqeltri 2525 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  .0.  e.  _V )
20 fnsuppresOLD 6112 . . . . 5  |-  ( ( x  Fn  ( J  u.  ( I  \  J ) )  /\  ( J  i^i  (
I  \  J )
)  =  (/)  /\  .0.  e.  _V )  ->  (
( `' x "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J 
<->  ( x  |`  (
I  \  J )
)  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) ) )
2113, 15, 19, 20syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( `' x " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J 
<->  ( x  |`  (
I  \  J )
)  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) ) )
2221rabbidva 3084 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  J }  =  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) } )
231, 22syl5eq 2494 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) } )
24 difssd 3614 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
I  \  J )  C_  I )
25 frlmsslss.u . . . 4  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
26 eqid 2441 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) }  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) }
272, 25, 4, 16, 26frlmsslss 18671 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  (
I  \  J )  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) }  e.  U )
2824, 27syld3an3 1272 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) }  e.  U )
2923, 28eqeltrd 2529 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   {crab 2795   _Vcvv 3093    \ cdif 3455    u. cun 3456    i^i cin 3457    C_ wss 3458   (/)c0 3767   {csn 4010    X. cxp 4983   `'ccnv 4984    |` cres 4987   "cima 4988    Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   0gc0g 14709   Ringcrg 17066   LSubSpclss 17446   freeLMod cfrlm 18644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-hom 14593  df-cco 14594  df-0g 14711  df-prds 14717  df-pws 14719  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-mhm 15835  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-subg 16067  df-ghm 16134  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-subrg 17295  df-lmod 17382  df-lss 17447  df-lmhm 17536  df-sra 17686  df-rgmod 17687  df-dsmm 18630  df-frlm 18645
This theorem is referenced by:  frlmssuvc1OLD  18694  frlmsslspOLD  18697
  Copyright terms: Public domain W3C validator