MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsslss2OLD Structured version   Unicode version

Theorem frlmsslss2OLD 18318
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule.  J is the set of permitted unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) Obsolete version of frlmsslss2 18317 as of 23-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslss.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsslss.u  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
frlmsslss.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsslss.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmsslss2OL.c  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J }
Assertion
Ref Expression
frlmsslss2OLD  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, J    x, R    x, U    x,  .0.    x, V    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem frlmsslss2OLD
StepHypRef Expression
1 frlmsslss2OL.c . . 3  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J }
2 frlmsslss.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
3 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 frlmsslss.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  Y
)
52, 3, 4frlmbasf 18306 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x : I --> ( Base `  R ) )
653ad2antl2 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  x : I --> ( Base `  R ) )
7 ffn 5660 . . . . . . 7  |-  ( x : I --> ( Base `  R )  ->  x  Fn  I )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  x  Fn  I )
9 simpl3 993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  J  C_  I )
10 undif 3860 . . . . . . . 8  |-  ( J 
C_  I  <->  ( J  u.  ( I  \  J
) )  =  I )
119, 10sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( J  u.  (
I  \  J )
)  =  I )
1211fneq2d 5603 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  Fn  ( J  u.  ( I  \  J ) )  <->  x  Fn  I ) )
138, 12mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  x  Fn  ( J  u.  ( I  \  J ) ) )
14 disjdif 3852 . . . . . 6  |-  ( J  i^i  ( I  \  J ) )  =  (/)
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( J  i^i  (
I  \  J )
)  =  (/) )
16 frlmsslss.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
17 fvex 5802 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1816, 17eqeltri 2535 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  .0.  e.  _V )
20 fnsuppresOLD 6040 . . . . 5  |-  ( ( x  Fn  ( J  u.  ( I  \  J ) )  /\  ( J  i^i  (
I  \  J )
)  =  (/)  /\  .0.  e.  _V )  ->  (
( `' x "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J 
<->  ( x  |`  (
I  \  J )
)  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) ) )
2113, 15, 19, 20syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( `' x " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  J 
<->  ( x  |`  (
I  \  J )
)  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) ) )
2221rabbidva 3062 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  ( `' x " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  J }  =  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) } )
231, 22syl5eq 2504 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) } )
24 difssd 3585 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
I  \  J )  C_  I )
25 frlmsslss.u . . . 4  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
26 eqid 2451 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) }  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) }
272, 25, 4, 16, 26frlmsslss 18316 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  (
I  \  J )  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) }  e.  U )
2824, 27syld3an3 1264 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) }  e.  U )
2923, 28eqeltrd 2539 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   _Vcvv 3071    \ cdif 3426    u. cun 3427    i^i cin 3428    C_ wss 3429   (/)c0 3738   {csn 3978    X. cxp 4939   `'ccnv 4940    |` cres 4943   "cima 4944    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   0gc0g 14489   Ringcrg 16760   LSubSpclss 17128   freeLMod cfrlm 18289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-hom 14373  df-cco 14374  df-0g 14491  df-prds 14497  df-pws 14499  df-mnd 15526  df-mhm 15575  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-subg 15789  df-ghm 15856  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-subrg 16978  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-lmhm 17218  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-dsmm 18275  df-frlm 18290
This theorem is referenced by:  frlmssuvc1OLD  18339  frlmsslspOLD  18342
  Copyright terms: Public domain W3C validator