MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsslss2 Structured version   Unicode version

Theorem frlmsslss2 18310
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule.  J is the set of permitted unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslss.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsslss.u  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
frlmsslss.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsslss.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmsslss2.c  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x supp  .0.  )  C_  J }
Assertion
Ref Expression
frlmsslss2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, J    x, R    x, U    x,  .0.    x, V    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem frlmsslss2
StepHypRef Expression
1 frlmsslss2.c . . 3  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x supp  .0.  )  C_  J }
2 frlmsslss.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
3 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 frlmsslss.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  Y
)
52, 3, 4frlmbasf 18299 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x : I --> ( Base `  R ) )
653ad2antl2 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  x : I --> ( Base `  R ) )
7 ffn 5659 . . . . . . 7  |-  ( x : I --> ( Base `  R )  ->  x  Fn  I )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  x  Fn  I )
9 simpl3 993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  J  C_  I )
10 undif 3859 . . . . . . . 8  |-  ( J 
C_  I  <->  ( J  u.  ( I  \  J
) )  =  I )
119, 10sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( J  u.  (
I  \  J )
)  =  I )
1211fneq2d 5602 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  Fn  ( J  u.  ( I  \  J ) )  <->  x  Fn  I ) )
138, 12mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  x  Fn  ( J  u.  ( I  \  J ) ) )
14 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
15 frlmsslss.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
16 fvex 5801 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1715, 16eqeltri 2535 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  .0.  e.  _V )
19 disjdif 3851 . . . . . 6  |-  ( J  i^i  ( I  \  J ) )  =  (/)
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( J  i^i  (
I  \  J )
)  =  (/) )
21 fnsuppres 6818 . . . . 5  |-  ( ( x  Fn  ( J  u.  ( I  \  J ) )  /\  ( x  e.  B  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( J  i^i  (
I  \  J )
)  =  (/) )  -> 
( ( x supp  .0.  )  C_  J  <->  ( x  |`  ( I  \  J
) )  =  ( ( I  \  J
)  X.  {  .0.  } ) ) )
2213, 14, 18, 20, 21syl121anc 1224 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( x supp  .0.  )  C_  J  <->  ( x  |`  ( I  \  J
) )  =  ( ( I  \  J
)  X.  {  .0.  } ) ) )
2322rabbidva 3061 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x supp  .0.  )  C_  J }  =  {
x  e.  B  | 
( x  |`  (
I  \  J )
)  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) } )
241, 23syl5eq 2504 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) } )
25 difssd 3584 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
I  \  J )  C_  I )
26 frlmsslss.u . . . 4  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
27 eqid 2451 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) }  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  }
) }
282, 26, 4, 15, 27frlmsslss 18309 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  (
I  \  J )  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) }  e.  U )
2925, 28syld3an3 1264 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  ( I  \  J ) )  =  ( ( I  \  J )  X.  {  .0.  } ) }  e.  U )
3024, 29eqeltrd 2539 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   _Vcvv 3070    \ cdif 3425    u. cun 3426    i^i cin 3427    C_ wss 3428   (/)c0 3737   {csn 3977    X. cxp 4938    |` cres 4942    Fn wfn 5513   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   supp csupp 6792   Basecbs 14278   0gc0g 14482   Ringcrg 16753   LSubSpclss 17121   freeLMod cfrlm 18282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-hom 14366  df-cco 14367  df-0g 14484  df-prds 14490  df-pws 14492  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-subg 15782  df-ghm 15849  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-subrg 16971  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-lmhm 17211  df-sra 17361  df-rgmod 17362  df-dsmm 18268  df-frlm 18283
This theorem is referenced by:  frlmssuvc1  18330  frlmsslsp  18334
  Copyright terms: Public domain W3C validator