MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsslss Structured version   Unicode version

Theorem frlmsslss 18930
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule.  J is the set of forbidden unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslss.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsslss.u  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
frlmsslss.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsslss.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmsslss.c  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  J )  =  ( J  X.  {  .0.  } ) }
Assertion
Ref Expression
frlmsslss  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, J    x, R    x, U    x,  .0.    x, V    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem frlmsslss
StepHypRef Expression
1 frlmsslss.c . . 3  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  J )  =  ( J  X.  {  .0.  } ) }
2 simp1 996 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  R  e.  Ring )
3 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  I  e.  V )
4 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  C_  I )
53, 4ssexd 4603 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  e.  _V )
6 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( R freeLMod  J )  =  ( R freeLMod  J )
7 frlmsslss.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
86, 7frlm0 18911 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  J  e.  _V )  ->  ( J  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) ) )
92, 5, 8syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( J  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) ) )
109eqeq2d 2471 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
( x  |`  J )  =  ( J  X.  {  .0.  } )  <->  ( x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) ) )
1110rabbidv 3101 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( J  X.  {  .0.  } ) }  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )
121, 11syl5eq 2510 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  =  { x  e.  B  |  ( x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )
13 frlmsslss.y . . . 4  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
14 frlmsslss.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
15 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  ( R freeLMod  J )
)  =  ( Base `  ( R freeLMod  J )
)
16 eqid 2457 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J ) )
1713, 6, 14, 15, 16frlmsplit2 18929 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  |`  J )
)  e.  ( Y LMHom 
( R freeLMod  J )
) )
18 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) )  e.  _V
1916mptiniseg 5507 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  ( R freeLMod  J ) )  e. 
_V  ->  ( `' ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J )
) " { ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )  =  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J ) ) " { ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )  =  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) }
2120eqcomi 2470 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) }  =  ( `' ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J )
) " { ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) } )
22 eqid 2457 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) )  =  ( 0g
`  ( R freeLMod  J ) )
23 frlmsslss.u . . . 4  |-  U  =  ( LSubSp `  Y )
2421, 22, 23lmhmkerlss 17823 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  |`  J )
)  e.  ( Y LMHom 
( R freeLMod  J )
)  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) }  e.  U )
2517, 24syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  { x  e.  B  |  (
x  |`  J )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  J ) ) }  e.  U )
2612, 25eqeltrd 2545 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   {csn 4032    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007    |` cres 5010   "cima 5011   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   0gc0g 14856   Ringcrg 17324   LSubSpclss 17704   LMHom clmhm 17791   freeLMod cfrlm 18903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-hom 14735  df-cco 14736  df-0g 14858  df-prds 14864  df-pws 14866  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-subrg 17553  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lmhm 17794  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-dsmm 18889  df-frlm 18904
This theorem is referenced by:  frlmsslss2  18931  frlmsslss2OLD  18932
  Copyright terms: Public domain W3C validator