Theorem frlmsslsp 18612

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslsp.y	|- Y = ( R freeLMod I )
frlmsslsp.u	|- U = ( R unitVec I )
frlmsslsp.k	|- K = ( LSpan ` Y )
frlmsslsp.b	|- B = ( Base ` Y )
frlmsslsp.z	|- .0. = ( 0g ` R )
frlmsslsp.c	|- C = { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J }

Assertion

Ref	Expression
frlmsslsp	|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) = C )

Distinct variable groups:   x, Y   x, U   x, B   x, .0.   x, R   x, I   x, V   x, J   x, K

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem frlmsslsp

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslsp.y	. . . . 5 |- Y = ( R freeLMod I )
2	1	frlmlmod 18563	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> Y e. LMod )
3	2	3adant3 1016	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Y e. LMod )
4		eqid 2467	. . . 4 |- ( LSubSp ` Y ) = ( LSubSp ` Y )
5		frlmsslsp.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
6		frlmsslsp.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
7		frlmsslsp.c	. . . 4 |- C = { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J }
8	1, 4, 5, 6, 7	frlmsslss2 18588	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C e. ( LSubSp ` Y ) )
9		frlmsslsp.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( R unitVec I )
10	9, 1, 5	uvcff 18605	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> U : I --> B )
11	10	3adant3 1016	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> U : I --> B )
12	11	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> U : I --> B )
13		simp3 998	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J C_ I )
14	13	sselda 3504	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> y e. I )
15	12, 14	ffvelrnd 6021	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) e. B )
16		simpl2 1000	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> I e. V )
17		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
18	1, 17, 5	frlmbasf 18577	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ ( U ` y ) e. B ) -> ( U ` y ) : I --> ( Base ` R ) )
19	16, 15, 18	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) : I --> ( Base ` R ) )
20		simpll1 1035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> R e. Ring )
21		simpll2 1036	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> I e. V )
22	14	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> y e. I )
23		eldifi 3626	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( I \ J ) -> x e. I )
24	23	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> x e. I )
25		disjdif 3899	. . . . . . . . . 10 |- ( J i^i ( I \ J ) ) = (/)
26		disjne 3872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J i^i ( I \ J ) ) = (/) /\ y e. J /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
27	25, 26	mp3an1 1311	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. J /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
28	27	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
29	9, 20, 21, 22, 24, 28, 6	uvcvv0 18604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> ( ( U ` y ) ` x ) = .0. )
30	19, 29	suppss 6930	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J )
31		oveq1 6290	. . . . . . . 8 |- ( x = ( U ` y ) -> ( x supp .0. ) = ( ( U ` y ) supp .0. ) )
32	31	sseq1d 3531	. . . . . . 7 |- ( x = ( U ` y ) -> ( ( x supp .0. ) C_ J <-> ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J ) )
33	32, 7	elrab2 3263	. . . . . 6 |- ( ( U ` y ) e. C <-> ( ( U ` y ) e. B /\ ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J ) )
34	15, 30, 33	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) e. C )
35	34	ralrimiva 2878	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> A. y e. J ( U ` y ) e. C )
36		ffn 5730	. . . . . . 7 |- ( U : I --> B -> U Fn I )
37	11, 36	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> U Fn I )
38		fnfun 5677	. . . . . 6 |- ( U Fn I -> Fun U )
39	37, 38	syl 16	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Fun U )
40		fndm 5679	. . . . . . 7 |- ( U Fn I -> dom U = I )
41	37, 40	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> dom U = I )
42	13, 41	sseqtr4d 3541	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J C_ dom U )
43		funimass4 5917	. . . . 5 |- ( ( Fun U /\ J C_ dom U ) -> ( ( U " J ) C_ C <-> A. y e. J ( U ` y ) e. C ) )
44	39, 42, 43	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( ( U " J ) C_ C <-> A. y e. J ( U ` y ) e. C ) )
45	35, 44	mpbird 232	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ C )
46		frlmsslsp.k	. . . 4 |- K = ( LSpan ` Y )
47	4, 46	lspssp 17429	. . 3 |- ( ( Y e. LMod /\ C e. ( LSubSp ` Y ) /\ ( U " J ) C_ C ) -> ( K ` ( U " J ) ) C_ C )
48	3, 8, 45, 47	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) C_ C )
49		simpl1 999	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> R e. Ring )
50		simpl2 1000	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> I e. V )
51		ssrab2 3585	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J } C_ B
52	7, 51	eqsstri 3534	. . . . . . . 8 |- C C_ B
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C C_ B )
54	53	sselda 3504	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. B )
55		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( .s ` Y ) = ( .s ` Y )
56	9, 1, 5, 55	uvcresum 18607	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ y e. B ) -> y = ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) )
57	49, 50, 54, 56	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y = ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) )
58		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
59		lmodabl 17352	. . . . . . . 8 |- ( Y e. LMod -> Y e. Abel )
60	3, 59	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Y e. Abel )
61	60	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> Y e. Abel )
62		imassrn 5347	. . . . . . . . . 10 |- ( U " J ) C_ ran U
63		frn 5736	. . . . . . . . . . 11 |- ( U : I --> B -> ran U C_ B )
64	11, 63	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ran U C_ B )
65	62, 64	syl5ss 3515	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ B )
66	5, 4, 46	lspcl 17417	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U " J ) C_ B ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
67	3, 65, 66	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
68	4	lsssubg 17398	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
69	3, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
70	69	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
71	1, 17, 5	frlmbasf 18577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
72	71	3ad2antl2 1159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
73		ffn 5730	. . . . . . . . . 10 |- ( y : I --> ( Base ` R ) -> y Fn I )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> y Fn I )
75	37	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> U Fn I )
76		simpl2 1000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> I e. V )
77		inidm 3707	. . . . . . . . 9 |- ( I i^i I ) = I
78	74, 75, 76, 76, 77	offn 6534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
79	54, 78	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
80	54, 74	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y Fn I )
81	80	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> y Fn I )
82	37	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> U Fn I )
83		simpl2 1000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> I e. V )
84		simprr 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> z e. I )
85		fnfvof 6536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y Fn I /\ U Fn I ) /\ ( I e. V /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) = ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
86	81, 82, 83, 84, 85	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) = ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
87	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> Y e. LMod )
88	67	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
89	52	sseli 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. C -> y e. B )
90	89, 72	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
91	90	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
92	13	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. J ) -> z e. I )
93	92	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> z e. I )
94	91, 93	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( y ` z ) e. ( Base ` R ) )
95	1	frlmsca 18567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> R = (Scalar ` Y ) )
96	95	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> R = (Scalar ` Y ) )
97	96	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
98	97	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
99	94, 98	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( y ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
100	5, 46	lspssid 17426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U " J ) C_ B ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
101	3, 65, 100	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
102	101	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
103		funfvima2 6135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Fun U /\ J C_ dom U ) -> ( z e. J -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) )
104	39, 42, 103	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( z e. J -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) )
105	104	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. J ) -> ( U ` z ) e. ( U " J ) )
106	105	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U ` z ) e. ( U " J ) )
107	102, 106	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
108		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` Y ) = (Scalar ` Y )
109		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) )
110	108, 55, 109, 4	lssvscl 17396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) /\ ( ( y ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) /\ ( U ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
111	87, 88, 99, 107, 110	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
112	111	anassrs 648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) /\ z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
113	112	adantlrr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
114		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
115	114	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
116	115	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
117		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> z e. I )
118		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> -. z e. J )
119	117, 118	eldifd 3487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> z e. ( I \ J ) )
120		oveq1 6290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( x supp .0. ) = ( y supp .0. ) )
121	120	sseq1d 3531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( ( x supp .0. ) C_ J <-> ( y supp .0. ) C_ J ) )
122	121, 7	elrab2 3263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. C <-> ( y e. B /\ ( y supp .0. ) C_ J ) )
123	122	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. C -> ( y supp .0. ) C_ J )
124	123	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y supp .0. ) C_ J )
125		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` R ) e. _V
126	6, 125	eqeltri 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .0. e. _V
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> .0. e. _V )
128	90, 124, 50, 127	suppssr 6931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) /\ z e. ( I \ J ) ) -> ( y ` z ) = .0. )
129	116, 119, 128	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( y ` z ) = .0. )
130	96	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
131	6, 130	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
132	131	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
133	129, 132	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( y ` z ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
134	133	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
135	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> Y e. LMod )
136	11	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. I ) -> ( U ` z ) e. B )
137	136	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( U ` z ) e. B )
138	137	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( U ` z ) e. B )
139		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) )
140	5, 108, 55, 139, 58	lmod0vs 17340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U ` z ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
141	135, 138, 140	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
142	134, 141	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
143	67	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
144	58, 4	lss0cl 17388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) -> ( 0g ` Y ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
145	135, 143, 144	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( 0g ` Y ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
146	142, 145	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
147	113, 146	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
148	86, 147	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
149	148	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( z e. I -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
150	149	ralrimiv 2876	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> A. z e. I ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
151		ffnfv 6046	. . . . . . 7 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> ( K ` ( U " J ) ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I /\ A. z e. I ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
152	79, 150, 151	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> ( K ` ( U " J ) ) )
153	1, 6, 5	frlmbasfsupp 18574	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y finSupp .0. )
154	153	fsuppimpd 7835	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) e. Fin )
155	50, 54, 154	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y supp .0. ) e. Fin )
156		dffn2 5731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I <-> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> _V )
157	78, 156	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> _V )
158	74	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> y Fn I )
159	37	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> U Fn I )
160		simpll2 1036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> I e. V )
161		eldifi 3626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) -> x e. I )
162	161	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> x e. I )
163		fnfvof 6536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y Fn I /\ U Fn I ) /\ ( I e. V /\ x e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
164	158, 159, 160, 162, 163	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
165		ssid 3523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. )
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. ) )
167	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> .0. e. _V )
168	72, 166, 76, 167	suppssr 6931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` x ) = .0. )
169	131	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
170	168, 169	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` x ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
171	170	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
172	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> Y e. LMod )
173	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> U : I --> B )
174		ffvelrn 6018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U : I --> B /\ x e. I ) -> ( U ` x ) e. B )
175	173, 161, 174	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( U ` x ) e. B )
176	5, 108, 55, 139, 58	lmod0vs 17340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U ` x ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
177	172, 175, 176	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
178	164, 171, 177	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( 0g ` Y ) )
179	157, 178	suppss 6930	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) )
180	54, 179	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) )
181		ssfi 7740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y supp .0. ) e. Fin /\ ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin )
182	155, 180, 181	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin )
183		simp2 997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> I e. V )
184	1, 17, 5	frlmbasmap 18576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
185	183, 89, 184	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
186		elmapfn 7441	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) -> y Fn I )
187	185, 186	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y Fn I )
188	11	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> U : I --> B )
189	188, 36	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> U Fn I )
190	187, 189, 50, 50, 77	offn 6534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
191		fnfun 5677	. . . . . . . . 9 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I -> Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) )
192	190, 191	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) )
193		ovex 6308	. . . . . . . . 9 |- ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V
194	193	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V )
195		fvex 5875	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` Y ) e. _V
196	195	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( 0g ` Y ) e. _V )
197		funisfsupp 7833	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) /\ ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V /\ ( 0g ` Y ) e. _V ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin ) )
198	192, 194, 196, 197	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin ) )
199	182, 198	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) )
200	58, 61, 50, 70, 152, 199	gsumsubgcl 16732	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
201	57, 200	eqeltrd 2555	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. ( K ` ( U " J ) ) )
202	201	ex 434	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( y e. C -> y e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
203	202	ssrdv 3510	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C C_ ( K ` ( U " J ) ) )
204	48, 203	eqssd 3521	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5581   Fn wfn 5582   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   oFcof 6521   supp csupp 6901   ^m cmap 7420   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7828   Basecbs 14489  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694   gsum_g cgsu 14695  SubGrpcsubg 15997   Abelcabl 16602   Ringcrg 16995   LModclmod 17307   LSubSpclss 17373   LSpanclspn 17412   freeLMod cfrlm 18560   unitVec cuvc 18596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-hash 12373  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-hom 14578  df-cco 14579  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-prds 14702  df-pws 14704  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-mhm 15783  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-mulg 15867  df-subg 16000  df-ghm 16067  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-subrg 17222  df-lmod 17309  df-lss 17374  df-lsp 17413  df-lmhm 17463  df-sra 17613  df-rgmod 17614  df-dsmm 18546  df-frlm 18561  df-uvc 18597

This theorem is referenced by:  frlmlbs  18614