Theorem frlmsslsp 18223

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslsp.y	|- Y = ( R freeLMod I )
frlmsslsp.u	|- U = ( R unitVec I )
frlmsslsp.k	|- K = ( LSpan ` Y )
frlmsslsp.b	|- B = ( Base ` Y )
frlmsslsp.z	|- .0. = ( 0g ` R )
frlmsslsp.c	|- C = { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J }

Assertion

Ref	Expression
frlmsslsp	|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) = C )

Distinct variable groups:   x, Y   x, U   x, B   x, .0.   x, R   x, I   x, V   x, J   x, K

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem frlmsslsp

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslsp.y	. . . . 5 |- Y = ( R freeLMod I )
2	1	frlmlmod 18174	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> Y e. LMod )
3	2	3adant3 1008	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Y e. LMod )
4		eqid 2443	. . . 4 |- ( LSubSp ` Y ) = ( LSubSp ` Y )
5		frlmsslsp.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
6		frlmsslsp.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
7		frlmsslsp.c	. . . 4 |- C = { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J }
8	1, 4, 5, 6, 7	frlmsslss2 18199	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C e. ( LSubSp ` Y ) )
9		frlmsslsp.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( R unitVec I )
10	9, 1, 5	uvcff 18216	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> U : I --> B )
11	10	3adant3 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> U : I --> B )
12	11	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> U : I --> B )
13		simp3 990	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J C_ I )
14	13	sselda 3356	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> y e. I )
15	12, 14	ffvelrnd 5844	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) e. B )
16		simpl2 992	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> I e. V )
17		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
18	1, 17, 5	frlmbasf 18188	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ ( U ` y ) e. B ) -> ( U ` y ) : I --> ( Base ` R ) )
19	16, 15, 18	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) : I --> ( Base ` R ) )
20		simpll1 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> R e. Ring )
21		simpll2 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> I e. V )
22	14	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> y e. I )
23		eldifi 3478	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( I \ J ) -> x e. I )
24	23	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> x e. I )
25		disjdif 3751	. . . . . . . . . 10 |- ( J i^i ( I \ J ) ) = (/)
26		disjne 3724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J i^i ( I \ J ) ) = (/) /\ y e. J /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
27	25, 26	mp3an1 1301	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. J /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
28	27	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
29	9, 20, 21, 22, 24, 28, 6	uvcvv0 18215	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> ( ( U ` y ) ` x ) = .0. )
30	19, 29	suppss 6719	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J )
31		oveq1 6098	. . . . . . . 8 |- ( x = ( U ` y ) -> ( x supp .0. ) = ( ( U ` y ) supp .0. ) )
32	31	sseq1d 3383	. . . . . . 7 |- ( x = ( U ` y ) -> ( ( x supp .0. ) C_ J <-> ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J ) )
33	32, 7	elrab2 3119	. . . . . 6 |- ( ( U ` y ) e. C <-> ( ( U ` y ) e. B /\ ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J ) )
34	15, 30, 33	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) e. C )
35	34	ralrimiva 2799	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> A. y e. J ( U ` y ) e. C )
36		ffn 5559	. . . . . . 7 |- ( U : I --> B -> U Fn I )
37	11, 36	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> U Fn I )
38		fnfun 5508	. . . . . 6 |- ( U Fn I -> Fun U )
39	37, 38	syl 16	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Fun U )
40		fndm 5510	. . . . . . 7 |- ( U Fn I -> dom U = I )
41	37, 40	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> dom U = I )
42	13, 41	sseqtr4d 3393	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J C_ dom U )
43		funimass4 5742	. . . . 5 |- ( ( Fun U /\ J C_ dom U ) -> ( ( U " J ) C_ C <-> A. y e. J ( U ` y ) e. C ) )
44	39, 42, 43	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( ( U " J ) C_ C <-> A. y e. J ( U ` y ) e. C ) )
45	35, 44	mpbird 232	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ C )
46		frlmsslsp.k	. . . 4 |- K = ( LSpan ` Y )
47	4, 46	lspssp 17069	. . 3 |- ( ( Y e. LMod /\ C e. ( LSubSp ` Y ) /\ ( U " J ) C_ C ) -> ( K ` ( U " J ) ) C_ C )
48	3, 8, 45, 47	syl3anc 1218	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) C_ C )
49		simpl1 991	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> R e. Ring )
50		simpl2 992	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> I e. V )
51		ssrab2 3437	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J } C_ B
52	7, 51	eqsstri 3386	. . . . . . . 8 |- C C_ B
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C C_ B )
54	53	sselda 3356	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. B )
55		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( .s ` Y ) = ( .s ` Y )
56	9, 1, 5, 55	uvcresum 18218	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ y e. B ) -> y = ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) )
57	49, 50, 54, 56	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y = ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) )
58		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
59		lmodabl 16992	. . . . . . . 8 |- ( Y e. LMod -> Y e. Abel )
60	3, 59	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Y e. Abel )
61	60	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> Y e. Abel )
62		imassrn 5180	. . . . . . . . . 10 |- ( U " J ) C_ ran U
63		frn 5565	. . . . . . . . . . 11 |- ( U : I --> B -> ran U C_ B )
64	11, 63	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ran U C_ B )
65	62, 64	syl5ss 3367	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ B )
66	5, 4, 46	lspcl 17057	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U " J ) C_ B ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
67	3, 65, 66	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
68	4	lsssubg 17038	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
69	3, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
70	69	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
71	1, 17, 5	frlmbasf 18188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
72	71	3ad2antl2 1151	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
73		ffn 5559	. . . . . . . . . 10 |- ( y : I --> ( Base ` R ) -> y Fn I )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> y Fn I )
75	37	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> U Fn I )
76		simpl2 992	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> I e. V )
77		inidm 3559	. . . . . . . . 9 |- ( I i^i I ) = I
78	74, 75, 76, 76, 77	offn 6331	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
79	54, 78	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
80	54, 74	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y Fn I )
81	80	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> y Fn I )
82	37	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> U Fn I )
83		simpl2 992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> I e. V )
84		simprr 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> z e. I )
85		fnfvof 6333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y Fn I /\ U Fn I ) /\ ( I e. V /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) = ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
86	81, 82, 83, 84, 85	syl22anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) = ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
87	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> Y e. LMod )
88	67	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
89	52	sseli 3352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. C -> y e. B )
90	89, 72	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
91	90	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
92	13	sselda 3356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. J ) -> z e. I )
93	92	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> z e. I )
94	91, 93	ffvelrnd 5844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( y ` z ) e. ( Base ` R ) )
95	1	frlmsca 18178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> R = (Scalar ` Y ) )
96	95	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> R = (Scalar ` Y ) )
97	96	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
98	97	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
99	94, 98	eleqtrd 2519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( y ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
100	5, 46	lspssid 17066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U " J ) C_ B ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
101	3, 65, 100	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
102	101	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
103		funfvima2 5953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Fun U /\ J C_ dom U ) -> ( z e. J -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) )
104	39, 42, 103	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( z e. J -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) )
105	104	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. J ) -> ( U ` z ) e. ( U " J ) )
106	105	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U ` z ) e. ( U " J ) )
107	102, 106	sseldd 3357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
108		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` Y ) = (Scalar ` Y )
109		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) )
110	108, 55, 109, 4	lssvscl 17036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) /\ ( ( y ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) /\ ( U ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
111	87, 88, 99, 107, 110	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
112	111	anassrs 648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) /\ z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
113	112	adantlrr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
114		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
115	114	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
116	115	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
117		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> z e. I )
118		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> -. z e. J )
119	117, 118	eldifd 3339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> z e. ( I \ J ) )
120		oveq1 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( x supp .0. ) = ( y supp .0. ) )
121	120	sseq1d 3383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( ( x supp .0. ) C_ J <-> ( y supp .0. ) C_ J ) )
122	121, 7	elrab2 3119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. C <-> ( y e. B /\ ( y supp .0. ) C_ J ) )
123	122	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. C -> ( y supp .0. ) C_ J )
124	123	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y supp .0. ) C_ J )
125		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` R ) e. _V
126	6, 125	eqeltri 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .0. e. _V
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> .0. e. _V )
128	90, 124, 50, 127	suppssr 6720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) /\ z e. ( I \ J ) ) -> ( y ` z ) = .0. )
129	116, 119, 128	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( y ` z ) = .0. )
130	96	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
131	6, 130	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
132	131	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
133	129, 132	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( y ` z ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
134	133	oveq1d 6106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
135	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> Y e. LMod )
136	11	ffvelrnda 5843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. I ) -> ( U ` z ) e. B )
137	136	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( U ` z ) e. B )
138	137	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( U ` z ) e. B )
139		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) )
140	5, 108, 55, 139, 58	lmod0vs 16981	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U ` z ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
141	135, 138, 140	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
142	134, 141	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
143	67	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
144	58, 4	lss0cl 17028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) -> ( 0g ` Y ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
145	135, 143, 144	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( 0g ` Y ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
146	142, 145	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
147	113, 146	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
148	86, 147	eqeltrd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
149	148	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( z e. I -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
150	149	ralrimiv 2798	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> A. z e. I ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
151		ffnfv 5869	. . . . . . 7 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> ( K ` ( U " J ) ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I /\ A. z e. I ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
152	79, 150, 151	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> ( K ` ( U " J ) ) )
153	1, 6, 5	frlmbasfsupp 18185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y finSupp .0. )
154	153	fsuppimpd 7627	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) e. Fin )
155	50, 54, 154	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y supp .0. ) e. Fin )
156		dffn2 5560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I <-> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> _V )
157	78, 156	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> _V )
158	74	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> y Fn I )
159	37	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> U Fn I )
160		simpll2 1028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> I e. V )
161		eldifi 3478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) -> x e. I )
162	161	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> x e. I )
163		fnfvof 6333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y Fn I /\ U Fn I ) /\ ( I e. V /\ x e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
164	158, 159, 160, 162, 163	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
165		ssid 3375	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. )
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. ) )
167	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> .0. e. _V )
168	72, 166, 76, 167	suppssr 6720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` x ) = .0. )
169	131	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
170	168, 169	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` x ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
171	170	oveq1d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
172	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> Y e. LMod )
173	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> U : I --> B )
174		ffvelrn 5841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U : I --> B /\ x e. I ) -> ( U ` x ) e. B )
175	173, 161, 174	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( U ` x ) e. B )
176	5, 108, 55, 139, 58	lmod0vs 16981	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U ` x ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
177	172, 175, 176	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
178	164, 171, 177	3eqtrd 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( 0g ` Y ) )
179	157, 178	suppss 6719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) )
180	54, 179	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) )
181		ssfi 7533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y supp .0. ) e. Fin /\ ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin )
182	155, 180, 181	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin )
183		simp2 989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> I e. V )
184	1, 17, 5	frlmbasmap 18187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
185	183, 89, 184	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
186		elmapfn 7235	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) -> y Fn I )
187	185, 186	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y Fn I )
188	11	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> U : I --> B )
189	188, 36	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> U Fn I )
190	187, 189, 50, 50, 77	offn 6331	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
191		fnfun 5508	. . . . . . . . 9 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I -> Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) )
192	190, 191	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) )
193		ovex 6116	. . . . . . . . 9 |- ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V
194	193	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V )
195		fvex 5701	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` Y ) e. _V
196	195	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( 0g ` Y ) e. _V )
197		funisfsupp 7625	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) /\ ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V /\ ( 0g ` Y ) e. _V ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin ) )
198	192, 194, 196, 197	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin ) )
199	182, 198	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) )
200	58, 61, 50, 70, 152, 199	gsumsubgcl 16406	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
201	57, 200	eqeltrd 2517	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. ( K ` ( U " J ) ) )
202	201	ex 434	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( y e. C -> y e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
203	202	ssrdv 3362	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C C_ ( K ` ( U " J ) ) )
204	48, 203	eqssd 3373	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972   \ cdif 3325   i^i cin 3327   C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843   Fun wfun 5412   Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   oFcof 6318   supp csupp 6690   ^m cmap 7214   Fincfn 7310   finSupp cfsupp 7620   Basecbs 14174  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378   gsum_g cgsu 14379  SubGrpcsubg 15675   Abelcabel 16278   Ringcrg 16645   LModclmod 16948   LSubSpclss 17013   LSpanclspn 17052   freeLMod cfrlm 18171   unitVec cuvc 18207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-hom 14262  df-cco 14263  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-prds 14386  df-pws 14388  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lmhm 17103  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-dsmm 18157  df-frlm 18172  df-uvc 18208

This theorem is referenced by:  frlmlbs  18225