Theorem frlmsslsp 19347

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslsp.y	|- Y = ( R freeLMod I )
frlmsslsp.u	|- U = ( R unitVec I )
frlmsslsp.k	|- K = ( LSpan ` Y )
frlmsslsp.b	|- B = ( Base ` Y )
frlmsslsp.z	|- .0. = ( 0g ` R )
frlmsslsp.c	|- C = { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J }

Assertion

Ref	Expression
frlmsslsp	|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) = C )

Distinct variable groups:   x, Y   x, U   x, B   x, .0.   x, R   x, I   x, V   x, J   x, K

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem frlmsslsp

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslsp.y	. . . . 5 |- Y = ( R freeLMod I )
2	1	frlmlmod 19305	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> Y e. LMod )
3	2	3adant3 1027	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Y e. LMod )
4		eqid 2450	. . . 4 |- ( LSubSp ` Y ) = ( LSubSp ` Y )
5		frlmsslsp.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
6		frlmsslsp.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
7		frlmsslsp.c	. . . 4 |- C = { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J }
8	1, 4, 5, 6, 7	frlmsslss2 19326	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C e. ( LSubSp ` Y ) )
9		frlmsslsp.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( R unitVec I )
10	9, 1, 5	uvcff 19342	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> U : I --> B )
11	10	3adant3 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> U : I --> B )
12	11	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> U : I --> B )
13		simp3 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J C_ I )
14	13	sselda 3431	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> y e. I )
15	12, 14	ffvelrnd 6021	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) e. B )
16		simpl2 1011	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> I e. V )
17		eqid 2450	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
18	1, 17, 5	frlmbasf 19316	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ ( U ` y ) e. B ) -> ( U ` y ) : I --> ( Base ` R ) )
19	16, 15, 18	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) : I --> ( Base ` R ) )
20		simpll1 1046	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> R e. Ring )
21		simpll2 1047	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> I e. V )
22	14	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> y e. I )
23		eldifi 3554	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( I \ J ) -> x e. I )
24	23	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> x e. I )
25		disjdif 3838	. . . . . . . . . 10 |- ( J i^i ( I \ J ) ) = (/)
26		disjne 3809	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J i^i ( I \ J ) ) = (/) /\ y e. J /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
27	25, 26	mp3an1 1350	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. J /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
28	27	adantll 719	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
29	9, 20, 21, 22, 24, 28, 6	uvcvv0 19341	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> ( ( U ` y ) ` x ) = .0. )
30	19, 29	suppss 6942	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J )
31		oveq1 6295	. . . . . . . 8 |- ( x = ( U ` y ) -> ( x supp .0. ) = ( ( U ` y ) supp .0. ) )
32	31	sseq1d 3458	. . . . . . 7 |- ( x = ( U ` y ) -> ( ( x supp .0. ) C_ J <-> ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J ) )
33	32, 7	elrab2 3197	. . . . . 6 |- ( ( U ` y ) e. C <-> ( ( U ` y ) e. B /\ ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J ) )
34	15, 30, 33	sylanbrc 669	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) e. C )
35	34	ralrimiva 2801	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> A. y e. J ( U ` y ) e. C )
36		ffn 5726	. . . . . . 7 |- ( U : I --> B -> U Fn I )
37	11, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> U Fn I )
38		fnfun 5671	. . . . . 6 |- ( U Fn I -> Fun U )
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Fun U )
40		fndm 5673	. . . . . . 7 |- ( U Fn I -> dom U = I )
41	37, 40	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> dom U = I )
42	13, 41	sseqtr4d 3468	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J C_ dom U )
43		funimass4 5914	. . . . 5 |- ( ( Fun U /\ J C_ dom U ) -> ( ( U " J ) C_ C <-> A. y e. J ( U ` y ) e. C ) )
44	39, 42, 43	syl2anc 666	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( ( U " J ) C_ C <-> A. y e. J ( U ` y ) e. C ) )
45	35, 44	mpbird 236	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ C )
46		frlmsslsp.k	. . . 4 |- K = ( LSpan ` Y )
47	4, 46	lspssp 18204	. . 3 |- ( ( Y e. LMod /\ C e. ( LSubSp ` Y ) /\ ( U " J ) C_ C ) -> ( K ` ( U " J ) ) C_ C )
48	3, 8, 45, 47	syl3anc 1267	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) C_ C )
49		simpl1 1010	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> R e. Ring )
50		simpl2 1011	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> I e. V )
51		ssrab2 3513	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J } C_ B
52	7, 51	eqsstri 3461	. . . . . . . 8 |- C C_ B
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C C_ B )
54	53	sselda 3431	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. B )
55		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( .s ` Y ) = ( .s ` Y )
56	9, 1, 5, 55	uvcresum 19344	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ y e. B ) -> y = ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) )
57	49, 50, 54, 56	syl3anc 1267	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y = ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) )
58		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
59		lmodabl 18128	. . . . . . . 8 |- ( Y e. LMod -> Y e. Abel )
60	3, 59	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Y e. Abel )
61	60	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> Y e. Abel )
62		imassrn 5178	. . . . . . . . . 10 |- ( U " J ) C_ ran U
63		frn 5733	. . . . . . . . . . 11 |- ( U : I --> B -> ran U C_ B )
64	11, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ran U C_ B )
65	62, 64	syl5ss 3442	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ B )
66	5, 4, 46	lspcl 18192	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U " J ) C_ B ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
67	3, 65, 66	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
68	4	lsssubg 18173	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
69	3, 67, 68	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
70	69	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
71	1, 17, 5	frlmbasf 19316	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
72	71	3ad2antl2 1170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
73		ffn 5726	. . . . . . . . . 10 |- ( y : I --> ( Base ` R ) -> y Fn I )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> y Fn I )
75	37	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> U Fn I )
76		simpl2 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> I e. V )
77		inidm 3640	. . . . . . . . 9 |- ( I i^i I ) = I
78	74, 75, 76, 76, 77	offn 6539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
79	54, 78	syldan 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
80	54, 74	syldan 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y Fn I )
81	80	adantrr 722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> y Fn I )
82	37	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> U Fn I )
83		simpl2 1011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> I e. V )
84		simprr 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> z e. I )
85		fnfvof 6542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y Fn I /\ U Fn I ) /\ ( I e. V /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) = ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
86	81, 82, 83, 84, 85	syl22anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) = ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
87	3	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> Y e. LMod )
88	67	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
89	52	sseli 3427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. C -> y e. B )
90	89, 72	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
91	90	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
92	13	sselda 3431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. J ) -> z e. I )
93	92	adantrl 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> z e. I )
94	91, 93	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( y ` z ) e. ( Base ` R ) )
95	1	frlmsca 19309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> R = (Scalar ` Y ) )
96	95	3adant3 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> R = (Scalar ` Y ) )
97	96	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
98	97	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
99	94, 98	eleqtrd 2530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( y ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
100	5, 46	lspssid 18201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U " J ) C_ B ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
101	3, 65, 100	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
102	101	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
103		funfvima2 6139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Fun U /\ J C_ dom U ) -> ( z e. J -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) )
104	39, 42, 103	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( z e. J -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) )
105	104	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. J ) -> ( U ` z ) e. ( U " J ) )
106	105	adantrl 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U ` z ) e. ( U " J ) )
107	102, 106	sseldd 3432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
108		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` Y ) = (Scalar ` Y )
109		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) )
110	108, 55, 109, 4	lssvscl 18171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) /\ ( ( y ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) /\ ( U ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
111	87, 88, 99, 107, 110	syl22anc 1268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
112	111	anassrs 653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) /\ z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
113	112	adantlrr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
114		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
115	114	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
116	115	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
117		simplrr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> z e. I )
118		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> -. z e. J )
119	117, 118	eldifd 3414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> z e. ( I \ J ) )
120		oveq1 6295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( x supp .0. ) = ( y supp .0. ) )
121	120	sseq1d 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( ( x supp .0. ) C_ J <-> ( y supp .0. ) C_ J ) )
122	121, 7	elrab2 3197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. C <-> ( y e. B /\ ( y supp .0. ) C_ J ) )
123	122	simprbi 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. C -> ( y supp .0. ) C_ J )
124	123	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y supp .0. ) C_ J )
125		fvex 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` R ) e. _V
126	6, 125	eqeltri 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .0. e. _V
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> .0. e. _V )
128	90, 124, 50, 127	suppssr 6943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) /\ z e. ( I \ J ) ) -> ( y ` z ) = .0. )
129	116, 119, 128	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( y ` z ) = .0. )
130	96	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
131	6, 130	syl5eq 2496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
132	131	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
133	129, 132	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( y ` z ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
134	133	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
135	3	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> Y e. LMod )
136	11	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. I ) -> ( U ` z ) e. B )
137	136	adantrl 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( U ` z ) e. B )
138	137	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( U ` z ) e. B )
139		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) )
140	5, 108, 55, 139, 58	lmod0vs 18117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U ` z ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
141	135, 138, 140	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
142	134, 141	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
143	67	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
144	58, 4	lss0cl 18163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) -> ( 0g ` Y ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
145	135, 143, 144	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( 0g ` Y ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
146	142, 145	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
147	113, 146	pm2.61dan 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
148	86, 147	eqeltrd 2528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
149	148	expr 619	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( z e. I -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
150	149	ralrimiv 2799	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> A. z e. I ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
151		ffnfv 6047	. . . . . . 7 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> ( K ` ( U " J ) ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I /\ A. z e. I ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
152	79, 150, 151	sylanbrc 669	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> ( K ` ( U " J ) ) )
153	1, 6, 5	frlmbasfsupp 19314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y finSupp .0. )
154	153	fsuppimpd 7887	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) e. Fin )
155	50, 54, 154	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y supp .0. ) e. Fin )
156		dffn2 5728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I <-> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> _V )
157	78, 156	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> _V )
158	74	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> y Fn I )
159	37	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> U Fn I )
160		simpll2 1047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> I e. V )
161		eldifi 3554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) -> x e. I )
162	161	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> x e. I )
163		fnfvof 6542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y Fn I /\ U Fn I ) /\ ( I e. V /\ x e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
164	158, 159, 160, 162, 163	syl22anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
165		ssid 3450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. )
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. ) )
167	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> .0. e. _V )
168	72, 166, 76, 167	suppssr 6943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` x ) = .0. )
169	131	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
170	168, 169	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` x ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
171	170	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
172	3	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> Y e. LMod )
173	11	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> U : I --> B )
174		ffvelrn 6018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U : I --> B /\ x e. I ) -> ( U ` x ) e. B )
175	173, 161, 174	syl2an 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( U ` x ) e. B )
176	5, 108, 55, 139, 58	lmod0vs 18117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U ` x ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
177	172, 175, 176	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
178	164, 171, 177	3eqtrd 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( 0g ` Y ) )
179	157, 178	suppss 6942	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) )
180	54, 179	syldan 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) )
181		ssfi 7789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y supp .0. ) e. Fin /\ ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin )
182	155, 180, 181	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin )
183		simp2 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> I e. V )
184	1, 17, 5	frlmbasmap 19315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
185	183, 89, 184	syl2an 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
186		elmapfn 7491	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) -> y Fn I )
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y Fn I )
188	11	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> U : I --> B )
189	188, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> U Fn I )
190	187, 189, 50, 50, 77	offn 6539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
191		fnfun 5671	. . . . . . . . 9 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I -> Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) )
192	190, 191	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) )
193		ovex 6316	. . . . . . . . 9 |- ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V
194	193	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V )
195		fvex 5873	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` Y ) e. _V
196	195	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( 0g ` Y ) e. _V )
197		funisfsupp 7885	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) /\ ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V /\ ( 0g ` Y ) e. _V ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin ) )
198	192, 194, 196, 197	syl3anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin ) )
199	182, 198	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) )
200	58, 61, 50, 70, 152, 199	gsumsubgcl 17546	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
201	57, 200	eqeltrd 2528	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. ( K ` ( U " J ) ) )
202	201	ex 436	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( y e. C -> y e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
203	202	ssrdv 3437	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C C_ ( K ` ( U " J ) ) )
204	48, 203	eqssd 3448	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   {crab 2740   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   class class class wbr 4401   dom cdm 4833   ran crn 4834   "cima 4836   Fun wfun 5575   Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   oFcof 6526   supp csupp 6911   ^m cmap 7469   Fincfn 7566   finSupp cfsupp 7880   Basecbs 15114  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   0gc0g 15331   gsum_g cgsu 15332  SubGrpcsubg 16804   Abelcabl 17424   Ringcrg 17773   LModclmod 18084   LSubSpclss 18148   LSpanclspn 18187   freeLMod cfrlm 19302   unitVec cuvc 19333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-hom 15207  df-cco 15208  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-prds 15339  df-pws 15341  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-lmhm 18238  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-dsmm 19288  df-frlm 19303  df-uvc 19334

This theorem is referenced by:  frlmlbs  19348