Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | frlmsslsp.y |
. . . . 5
 freeLMod
  |
2 | 1 | frlmlmod 19305 |
. . . 4
     |
3 | 2 | 3adant3 1027 |
. . 3
 
   |
4 | | eqid 2450 |
. . . 4
         |
5 | | frlmsslsp.b |
. . . 4
     |
6 | | frlmsslsp.z |
. . . 4
     |
7 | | frlmsslsp.c |
. . . 4
  supp   |
8 | 1, 4, 5, 6, 7 | frlmsslss2 19326 |
. . 3
 
       |
9 | | frlmsslsp.u |
. . . . . . . . . 10
 unitVec
  |
10 | 9, 1, 5 | uvcff 19342 |
. . . . . . . . 9
         |
11 | 10 | 3adant3 1027 |
. . . . . . . 8
 
       |
12 | 11 | adantr 467 |
. . . . . . 7
   
       |
13 | | simp3 1009 |
. . . . . . . 8
 
   |
14 | 13 | sselda 3431 |
. . . . . . 7
   
   |
15 | 12, 14 | ffvelrnd 6021 |
. . . . . 6
   
       |
16 | | simpl2 1011 |
. . . . . . . 8
   
   |
17 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . 9
         |
18 | 1, 17, 5 | frlmbasf 19316 |
. . . . . . . 8
                     |
19 | 16, 15, 18 | syl2anc 666 |
. . . . . . 7
   
               |
20 | | simpll1 1046 |
. . . . . . . 8
   
 

 
  |
21 | | simpll2 1047 |
. . . . . . . 8
   
 

 
  |
22 | 14 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
   
 

 
  |
23 | | eldifi 3554 |
. . . . . . . . 9
     |
24 | 23 | adantl 468 |
. . . . . . . 8
   
 

 
  |
25 | | disjdif 3838 |
. . . . . . . . . 10
     |
26 | | disjne 3809 |
. . . . . . . . . 10
   
 
     |
27 | 25, 26 | mp3an1 1350 |
. . . . . . . . 9
 
     |
28 | 27 | adantll 719 |
. . . . . . . 8
   
 

 
  |
29 | 9, 20, 21, 22, 24, 28, 6 | uvcvv0 19341 |
. . . . . . 7
   
 

 
         |
30 | 19, 29 | suppss 6942 |
. . . . . 6
   
      supp
  |
31 | | oveq1 6295 |
. . . . . . . 8
      supp
     supp
  |
32 | 31 | sseq1d 3458 |
. . . . . . 7
       supp      supp    |
33 | 32, 7 | elrab2 3197 |
. . . . . 6
    
    
     supp
   |
34 | 15, 30, 33 | sylanbrc 669 |
. . . . 5
   
       |
35 | 34 | ralrimiva 2801 |
. . . 4
 
 
      |
36 | | ffn 5726 |
. . . . . . 7
    
  |
37 | 11, 36 | syl 17 |
. . . . . 6
 
   |
38 | | fnfun 5671 |
. . . . . 6
   |
39 | 37, 38 | syl 17 |
. . . . 5
 
   |
40 | | fndm 5673 |
. . . . . . 7
   |
41 | 37, 40 | syl 17 |
. . . . . 6
 
   |
42 | 13, 41 | sseqtr4d 3468 |
. . . . 5
 
   |
43 | | funimass4 5914 |
. . . . 5
                |
44 | 39, 42, 43 | syl2anc 666 |
. . . 4
 
     

       |
45 | 35, 44 | mpbird 236 |
. . 3
 
       |
46 | | frlmsslsp.k |
. . . 4
     |
47 | 4, 46 | lspssp 18204 |
. . 3
         
           |
48 | 3, 8, 45, 47 | syl3anc 1267 |
. 2
 
           |
49 | | simpl1 1010 |
. . . . . 6
   
   |
50 | | simpl2 1011 |
. . . . . 6
   
   |
51 | | ssrab2 3513 |
. . . . . . . . 9

 supp

 |
52 | 7, 51 | eqsstri 3461 |
. . . . . . . 8
 |
53 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . 7
 
   |
54 | 53 | sselda 3431 |
. . . . . 6
   
   |
55 | | eqid 2450 |
. . . . . . 7
         |
56 | 9, 1, 5, 55 | uvcresum 19344 |
. . . . . 6
 
  g             |
57 | 49, 50, 54, 56 | syl3anc 1267 |
. . . . 5
   
  g             |
58 | | eqid 2450 |
. . . . . 6
         |
59 | | lmodabl 18128 |
. . . . . . . 8

  |
60 | 3, 59 | syl 17 |
. . . . . . 7
 
   |
61 | 60 | adantr 467 |
. . . . . 6
   
   |
62 | | imassrn 5178 |
. . . . . . . . . 10
     |
63 | | frn 5733 |
. . . . . . . . . . 11
    
  |
64 | 11, 63 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
 
   |
65 | 62, 64 | syl5ss 3442 |
. . . . . . . . 9
 
       |
66 | 5, 4, 46 | lspcl 18192 |
. . . . . . . . 9
                     |
67 | 3, 65, 66 | syl2anc 666 |
. . . . . . . 8
 
               |
68 | 4 | lsssubg 18173 |
. . . . . . . 8
              
        SubGrp    |
69 | 3, 67, 68 | syl2anc 666 |
. . . . . . 7
 
         SubGrp    |
70 | 69 | adantr 467 |
. . . . . 6
   
         SubGrp    |
71 | 1, 17, 5 | frlmbasf 19316 |
. . . . . . . . . . 11
 
           |
72 | 71 | 3ad2antl2 1170 |
. . . . . . . . . 10
   
           |
73 | | ffn 5726 |
. . . . . . . . . 10
           |
74 | 72, 73 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
   
   |
75 | 37 | adantr 467 |
. . . . . . . . 9
   
   |
76 | | simpl2 1011 |
. . . . . . . . 9
   
   |
77 | | inidm 3640 |
. . . . . . . . 9
   |
78 | 74, 75, 76, 76, 77 | offn 6539 |
. . . . . . . 8
   
            |
79 | 54, 78 | syldan 473 |
. . . . . . 7
   
            |
80 | 54, 74 | syldan 473 |
. . . . . . . . . . . 12
   
   |
81 | 80 | adantrr 722 |
. . . . . . . . . . 11
    
    |
82 | 37 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . 11
    
    |
83 | | simpl2 1011 |
. . . . . . . . . . 11
    
    |
84 | | simprr 765 |
. . . . . . . . . . 11
    
    |
85 | | fnfvof 6542 |
. . . . . . . . . . 11
  


                                 |
86 | 81, 82, 83, 84, 85 | syl22anc 1268 |
. . . . . . . . . 10
    
                                 |
87 | 3 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    
    |
88 | 67 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    
                |
89 | 52 | sseli 3427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   |
90 | 89, 72 | sylan2 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   
           |
91 | 90 | adantrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
    
            |
92 | 13 | sselda 3431 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   
   |
93 | 92 | adantrl 721 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
    
    |
94 | 91, 93 | ffvelrnd 6021 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
    
            |
95 | 1 | frlmsca 19309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   Scalar    |
96 | 95 | 3adant3 1027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
 Scalar    |
97 | 96 | fveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
        Scalar     |
98 | 97 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
    
         Scalar     |
99 | 94, 98 | eleqtrd 2530 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    
         Scalar     |
100 | 5, 46 | lspssid 18201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                     |
101 | 3, 65, 100 | syl2anc 666 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
               |
102 | 101 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
    
                |
103 | | funfvima2 6139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
               |
104 | 39, 42, 103 | syl2anc 666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
             |
105 | 104 | imp 431 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   
           |
106 | 105 | adantrl 721 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
    
            |
107 | 102, 106 | sseldd 3432 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    
                |
108 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Scalar  Scalar   |
109 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   Scalar      Scalar    |
110 | 108, 55, 109, 4 | lssvscl 18171 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                        Scalar  
                                        |
111 | 87, 88, 99, 107, 110 | syl22anc 1268 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
                            |
112 | 111 | anassrs 653 |
. . . . . . . . . . . 12
   
 
                           |
113 | 112 | adantlrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
   
   
                           |
114 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   
  
    |
115 | 114 | adantrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
    
    
   |
116 | 115 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   
   

 
    |
117 | | simplrr 770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   
   

  |
118 | | simpr 463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   
   

  |
119 | 117, 118 | eldifd 3414 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   
   


   |
120 | | oveq1 6295 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
  supp
 supp
  |
121 | 120 | sseq1d 3458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
   supp  supp    |
122 | 121, 7 | elrab2 3197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19


 supp
   |
123 | 122 | simprbi 466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
  supp
  |
124 | 123 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   
  supp   |
125 | | fvex 5873 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
     |
126 | 6, 125 | eqeltri 2524 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 |
127 | 126 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   
   |
128 | 90, 124, 50, 127 | suppssr 6943 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   
 

 
     |
129 | 116, 119,
128 | syl2anc 666 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   
   

     |
130 | 96 | fveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
        Scalar     |
131 | 6, 130 | syl5eq 2496 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
    Scalar     |
132 | 131 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   
   

   Scalar     |
133 | 129, 132 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
   

       Scalar     |
134 | 133 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
   

                    Scalar                |
135 | 3 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
   

  |
136 | 11 | ffvelrnda 6020 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   
       |
137 | 136 | adantrl 721 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
    
        |
138 | 137 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
   

      |
139 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   Scalar      Scalar    |
140 | 5, 108, 55, 139, 58 | lmod0vs 18117 |
. . . . . . . . . . . . . 14
           Scalar                    |
141 | 135, 138,
140 | syl2anc 666 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
   

    Scalar                    |
142 | 134, 141 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . . . . 12
   
   

                      |
143 | 67 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
   

              |
144 | 58, 4 | lss0cl 18163 |
. . . . . . . . . . . . 13
              
              |
145 | 135, 143,
144 | syl2anc 666 |
. . . . . . . . . . . 12
   
   

              |
146 | 142, 145 | eqeltrd 2528 |
. . . . . . . . . . 11
   
   

                          |
147 | 113, 146 | pm2.61dan 799 |
. . . . . . . . . 10
    
                            |
148 | 86, 147 | eqeltrd 2528 |
. . . . . . . . 9
    
                         |
149 | 148 | expr 619 |
. . . . . . . 8
   
                          |
150 | 149 | ralrimiv 2799 |
. . . . . . 7
   
                         |
151 | | ffnfv 6047 |
. . . . . . 7
                                
                        |
152 | 79, 150, 151 | sylanbrc 669 |
. . . . . 6
   
                        |
153 | 1, 6, 5 | frlmbasfsupp 19314 |
. . . . . . . . . 10
 
 finSupp
 |
154 | 153 | fsuppimpd 7887 |
. . . . . . . . 9
 
  supp   |
155 | 50, 54, 154 | syl2anc 666 |
. . . . . . . 8
   
  supp   |
156 | | dffn2 5728 |
. . . . . . . . . . 11
                         |
157 | 78, 156 | sylib 200 |
. . . . . . . . . 10
   
                |
158 | 74 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . 12
   
 

 supp
 
  |
159 | 37 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . . . . 12
   
 

 supp
 
  |
160 | | simpll2 1047 |
. . . . . . . . . . . 12
   
 

 supp
 
  |
161 | | eldifi 3554 |
. . . . . . . . . . . . 13
   supp 
  |
162 | 161 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . 12
   
 

 supp
 
  |
163 | | fnfvof 6542 |
. . . . . . . . . . . 12
  


                                 |
164 | 158, 159,
160, 162, 163 | syl22anc 1268 |
. . . . . . . . . . 11
   
 

 supp
 
                               |
165 | | ssid 3450 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 supp  supp
 |
166 | 165 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
  supp  supp   |
167 | 126 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
   |
168 | 72, 166, 76, 167 | suppssr 6943 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
 

 supp
 
     |
169 | 131 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
 

 supp
 
   Scalar     |
170 | 168, 169 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . . . . 12
   
 

 supp
 
       Scalar     |
171 | 170 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . . . . 11
   
 

 supp
 
                    Scalar                |
172 | 3 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . . . . 12
   
 

 supp
 
  |
173 | 11 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
       |
174 | | ffvelrn 6018 |
. . . . . . . . . . . . 13
     
       |
175 | 173, 161,
174 | syl2an 480 |
. . . . . . . . . . . 12
   
 

 supp
 
      |
176 | 5, 108, 55, 139, 58 | lmod0vs 18117 |
. . . . . . . . . . . 12
           Scalar                    |
177 | 172, 175,
176 | syl2anc 666 |
. . . . . . . . . . 11
   
 

 supp
 
    Scalar                    |
178 | 164, 171,
177 | 3eqtrd 2488 |
. . . . . . . . . 10
   
 

 supp
 
                   |
179 | 157, 178 | suppss 6942 |
. . . . . . . . 9
   
           supp       supp
  |
180 | 54, 179 | syldan 473 |
. . . . . . . 8
   
           supp       supp
  |
181 | | ssfi 7789 |
. . . . . . . 8
   supp           supp       supp            supp        |
182 | 155, 180,
181 | syl2anc 666 |
. . . . . . 7
   
           supp        |
183 | | simp2 1008 |
. . . . . . . . . . . 12
 
   |
184 | 1, 17, 5 | frlmbasmap 19315 |
. . . . . . . . . . . 12
 
         |
185 | 183, 89, 184 | syl2an 480 |
. . . . . . . . . . 11
   
         |
186 | | elmapfn 7491 |
. . . . . . . . . . 11
      
  |
187 | 185, 186 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
   
   |
188 | 11 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . 11
   
       |
189 | 188, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
   
   |
190 | 187, 189,
50, 50, 77 | offn 6539 |
. . . . . . . . 9
   
            |
191 | | fnfun 5671 |
. . . . . . . . 9
                     |
192 | 190, 191 | syl 17 |
. . . . . . . 8
   
            |
193 | | ovex 6316 |
. . . . . . . . 9
          |
194 | 193 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
   
            |
195 | | fvex 5873 |
. . . . . . . . 9
     |
196 | 195 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
   
       |
197 | | funisfsupp 7885 |
. . . . . . . 8
                                   finSupp    
          supp         |
198 | 192, 194,
196, 197 | syl3anc 1267 |
. . . . . . 7
   
           finSupp               supp         |
199 | 182, 198 | mpbird 236 |
. . . . . 6
   
          finSupp       |
200 | 58, 61, 50, 70, 152, 199 | gsumsubgcl 17546 |
. . . . 5
   
  g                     |
201 | 57, 200 | eqeltrd 2528 |
. . . 4
   
           |
202 | 201 | ex 436 |
. . 3
 
             |
203 | 202 | ssrdv 3437 |
. 2
 
           |
204 | 48, 203 | eqssd 3448 |
1
 
           |