Theorem frlmsslsp 19291

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslsp.y	|- Y = ( R freeLMod I )
frlmsslsp.u	|- U = ( R unitVec I )
frlmsslsp.k	|- K = ( LSpan ` Y )
frlmsslsp.b	|- B = ( Base ` Y )
frlmsslsp.z	|- .0. = ( 0g ` R )
frlmsslsp.c	|- C = { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J }

Assertion

Ref	Expression
frlmsslsp	|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) = C )

Distinct variable groups:   x, Y   x, U   x, B   x, .0.   x, R   x, I   x, V   x, J   x, K

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem frlmsslsp

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslsp.y	. . . . 5 |- Y = ( R freeLMod I )
2	1	frlmlmod 19249	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> Y e. LMod )
3	2	3adant3 1025	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Y e. LMod )
4		eqid 2420	. . . 4 |- ( LSubSp ` Y ) = ( LSubSp ` Y )
5		frlmsslsp.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
6		frlmsslsp.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
7		frlmsslsp.c	. . . 4 |- C = { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J }
8	1, 4, 5, 6, 7	frlmsslss2 19270	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C e. ( LSubSp ` Y ) )
9		frlmsslsp.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( R unitVec I )
10	9, 1, 5	uvcff 19286	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> U : I --> B )
11	10	3adant3 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> U : I --> B )
12	11	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> U : I --> B )
13		simp3 1007	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J C_ I )
14	13	sselda 3461	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> y e. I )
15	12, 14	ffvelrnd 6029	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) e. B )
16		simpl2 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> I e. V )
17		eqid 2420	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
18	1, 17, 5	frlmbasf 19260	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ ( U ` y ) e. B ) -> ( U ` y ) : I --> ( Base ` R ) )
19	16, 15, 18	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) : I --> ( Base ` R ) )
20		simpll1 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> R e. Ring )
21		simpll2 1045	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> I e. V )
22	14	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> y e. I )
23		eldifi 3584	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( I \ J ) -> x e. I )
24	23	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> x e. I )
25		disjdif 3864	. . . . . . . . . 10 |- ( J i^i ( I \ J ) ) = (/)
26		disjne 3835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J i^i ( I \ J ) ) = (/) /\ y e. J /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
27	25, 26	mp3an1 1347	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. J /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
28	27	adantll 718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
29	9, 20, 21, 22, 24, 28, 6	uvcvv0 19285	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> ( ( U ` y ) ` x ) = .0. )
30	19, 29	suppss 6947	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J )
31		oveq1 6303	. . . . . . . 8 |- ( x = ( U ` y ) -> ( x supp .0. ) = ( ( U ` y ) supp .0. ) )
32	31	sseq1d 3488	. . . . . . 7 |- ( x = ( U ` y ) -> ( ( x supp .0. ) C_ J <-> ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J ) )
33	32, 7	elrab2 3228	. . . . . 6 |- ( ( U ` y ) e. C <-> ( ( U ` y ) e. B /\ ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J ) )
34	15, 30, 33	sylanbrc 668	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) e. C )
35	34	ralrimiva 2837	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> A. y e. J ( U ` y ) e. C )
36		ffn 5737	. . . . . . 7 |- ( U : I --> B -> U Fn I )
37	11, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> U Fn I )
38		fnfun 5682	. . . . . 6 |- ( U Fn I -> Fun U )
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Fun U )
40		fndm 5684	. . . . . . 7 |- ( U Fn I -> dom U = I )
41	37, 40	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> dom U = I )
42	13, 41	sseqtr4d 3498	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J C_ dom U )
43		funimass4 5923	. . . . 5 |- ( ( Fun U /\ J C_ dom U ) -> ( ( U " J ) C_ C <-> A. y e. J ( U ` y ) e. C ) )
44	39, 42, 43	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( ( U " J ) C_ C <-> A. y e. J ( U ` y ) e. C ) )
45	35, 44	mpbird 235	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ C )
46		frlmsslsp.k	. . . 4 |- K = ( LSpan ` Y )
47	4, 46	lspssp 18152	. . 3 |- ( ( Y e. LMod /\ C e. ( LSubSp ` Y ) /\ ( U " J ) C_ C ) -> ( K ` ( U " J ) ) C_ C )
48	3, 8, 45, 47	syl3anc 1264	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) C_ C )
49		simpl1 1008	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> R e. Ring )
50		simpl2 1009	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> I e. V )
51		ssrab2 3543	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J } C_ B
52	7, 51	eqsstri 3491	. . . . . . . 8 |- C C_ B
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C C_ B )
54	53	sselda 3461	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. B )
55		eqid 2420	. . . . . . 7 |- ( .s ` Y ) = ( .s ` Y )
56	9, 1, 5, 55	uvcresum 19288	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ y e. B ) -> y = ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) )
57	49, 50, 54, 56	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y = ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) )
58		eqid 2420	. . . . . 6 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
59		lmodabl 18076	. . . . . . . 8 |- ( Y e. LMod -> Y e. Abel )
60	3, 59	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Y e. Abel )
61	60	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> Y e. Abel )
62		imassrn 5190	. . . . . . . . . 10 |- ( U " J ) C_ ran U
63		frn 5743	. . . . . . . . . . 11 |- ( U : I --> B -> ran U C_ B )
64	11, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ran U C_ B )
65	62, 64	syl5ss 3472	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ B )
66	5, 4, 46	lspcl 18140	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U " J ) C_ B ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
67	3, 65, 66	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
68	4	lsssubg 18121	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
69	3, 67, 68	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
70	69	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
71	1, 17, 5	frlmbasf 19260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
72	71	3ad2antl2 1168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
73		ffn 5737	. . . . . . . . . 10 |- ( y : I --> ( Base ` R ) -> y Fn I )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> y Fn I )
75	37	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> U Fn I )
76		simpl2 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> I e. V )
77		inidm 3668	. . . . . . . . 9 |- ( I i^i I ) = I
78	74, 75, 76, 76, 77	offn 6547	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
79	54, 78	syldan 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
80	54, 74	syldan 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y Fn I )
81	80	adantrr 721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> y Fn I )
82	37	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> U Fn I )
83		simpl2 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> I e. V )
84		simprr 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> z e. I )
85		fnfvof 6550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y Fn I /\ U Fn I ) /\ ( I e. V /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) = ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
86	81, 82, 83, 84, 85	syl22anc 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) = ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
87	3	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> Y e. LMod )
88	67	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
89	52	sseli 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. C -> y e. B )
90	89, 72	sylan2 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
91	90	adantrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
92	13	sselda 3461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. J ) -> z e. I )
93	92	adantrl 720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> z e. I )
94	91, 93	ffvelrnd 6029	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( y ` z ) e. ( Base ` R ) )
95	1	frlmsca 19253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> R = (Scalar ` Y ) )
96	95	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> R = (Scalar ` Y ) )
97	96	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
98	97	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
99	94, 98	eleqtrd 2510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( y ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
100	5, 46	lspssid 18149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U " J ) C_ B ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
101	3, 65, 100	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
102	101	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
103		funfvima2 6147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Fun U /\ J C_ dom U ) -> ( z e. J -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) )
104	39, 42, 103	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( z e. J -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) )
105	104	imp 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. J ) -> ( U ` z ) e. ( U " J ) )
106	105	adantrl 720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U ` z ) e. ( U " J ) )
107	102, 106	sseldd 3462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
108		eqid 2420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` Y ) = (Scalar ` Y )
109		eqid 2420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) )
110	108, 55, 109, 4	lssvscl 18119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) /\ ( ( y ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) /\ ( U ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
111	87, 88, 99, 107, 110	syl22anc 1265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
112	111	anassrs 652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) /\ z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
113	112	adantlrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
114		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
115	114	adantrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
116	115	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
117		simplrr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> z e. I )
118		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> -. z e. J )
119	117, 118	eldifd 3444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> z e. ( I \ J ) )
120		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( x supp .0. ) = ( y supp .0. ) )
121	120	sseq1d 3488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( ( x supp .0. ) C_ J <-> ( y supp .0. ) C_ J ) )
122	121, 7	elrab2 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. C <-> ( y e. B /\ ( y supp .0. ) C_ J ) )
123	122	simprbi 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. C -> ( y supp .0. ) C_ J )
124	123	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y supp .0. ) C_ J )
125		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` R ) e. _V
126	6, 125	eqeltri 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .0. e. _V
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> .0. e. _V )
128	90, 124, 50, 127	suppssr 6948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) /\ z e. ( I \ J ) ) -> ( y ` z ) = .0. )
129	116, 119, 128	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( y ` z ) = .0. )
130	96	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
131	6, 130	syl5eq 2473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
132	131	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
133	129, 132	eqtrd 2461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( y ` z ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
134	133	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
135	3	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> Y e. LMod )
136	11	ffvelrnda 6028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. I ) -> ( U ` z ) e. B )
137	136	adantrl 720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( U ` z ) e. B )
138	137	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( U ` z ) e. B )
139		eqid 2420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) )
140	5, 108, 55, 139, 58	lmod0vs 18065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U ` z ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
141	135, 138, 140	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
142	134, 141	eqtrd 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
143	67	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
144	58, 4	lss0cl 18111	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) -> ( 0g ` Y ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
145	135, 143, 144	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( 0g ` Y ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
146	142, 145	eqeltrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
147	113, 146	pm2.61dan 798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
148	86, 147	eqeltrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
149	148	expr 618	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( z e. I -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
150	149	ralrimiv 2835	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> A. z e. I ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
151		ffnfv 6055	. . . . . . 7 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> ( K ` ( U " J ) ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I /\ A. z e. I ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
152	79, 150, 151	sylanbrc 668	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> ( K ` ( U " J ) ) )
153	1, 6, 5	frlmbasfsupp 19258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y finSupp .0. )
154	153	fsuppimpd 7887	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) e. Fin )
155	50, 54, 154	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y supp .0. ) e. Fin )
156		dffn2 5738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I <-> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> _V )
157	78, 156	sylib 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> _V )
158	74	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> y Fn I )
159	37	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> U Fn I )
160		simpll2 1045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> I e. V )
161		eldifi 3584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) -> x e. I )
162	161	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> x e. I )
163		fnfvof 6550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y Fn I /\ U Fn I ) /\ ( I e. V /\ x e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
164	158, 159, 160, 162, 163	syl22anc 1265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
165		ssid 3480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. )
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. ) )
167	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> .0. e. _V )
168	72, 166, 76, 167	suppssr 6948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` x ) = .0. )
169	131	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
170	168, 169	eqtrd 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` x ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
171	170	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
172	3	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> Y e. LMod )
173	11	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> U : I --> B )
174		ffvelrn 6026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U : I --> B /\ x e. I ) -> ( U ` x ) e. B )
175	173, 161, 174	syl2an 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( U ` x ) e. B )
176	5, 108, 55, 139, 58	lmod0vs 18065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U ` x ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
177	172, 175, 176	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
178	164, 171, 177	3eqtrd 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( 0g ` Y ) )
179	157, 178	suppss 6947	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) )
180	54, 179	syldan 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) )
181		ssfi 7789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y supp .0. ) e. Fin /\ ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin )
182	155, 180, 181	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin )
183		simp2 1006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> I e. V )
184	1, 17, 5	frlmbasmap 19259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
185	183, 89, 184	syl2an 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
186		elmapfn 7493	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) -> y Fn I )
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y Fn I )
188	11	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> U : I --> B )
189	188, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> U Fn I )
190	187, 189, 50, 50, 77	offn 6547	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
191		fnfun 5682	. . . . . . . . 9 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I -> Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) )
192	190, 191	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) )
193		ovex 6324	. . . . . . . . 9 |- ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V
194	193	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V )
195		fvex 5882	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` Y ) e. _V
196	195	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( 0g ` Y ) e. _V )
197		funisfsupp 7885	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) /\ ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V /\ ( 0g ` Y ) e. _V ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin ) )
198	192, 194, 196, 197	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin ) )
199	182, 198	mpbird 235	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) )
200	58, 61, 50, 70, 152, 199	gsumsubgcl 17494	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
201	57, 200	eqeltrd 2508	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. ( K ` ( U " J ) ) )
202	201	ex 435	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( y e. C -> y e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
203	202	ssrdv 3467	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C C_ ( K ` ( U " J ) ) )
204	48, 203	eqssd 3478	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1867   =/= wne 2616   A.wral 2773   {crab 2777   _Vcvv 3078   \ cdif 3430   i^i cin 3432   C_ wss 3433   (/)c0 3758   class class class wbr 4417   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848   Fun wfun 5586   Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   oFcof 6534   supp csupp 6916   ^m cmap 7471   Fincfn 7568   finSupp cfsupp 7880   Basecbs 15081  Scalarcsca 15153   .scvsca 15154   0gc0g 15298   gsum_g cgsu 15299  SubGrpcsubg 16763   Abelcabl 17372   Ringcrg 17721   LModclmod 18032   LSubSpclss 18096   LSpanclspn 18135   freeLMod cfrlm 19246   unitVec cuvc 19277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-ip 15168  df-tset 15169  df-ple 15170  df-ds 15172  df-hom 15174  df-cco 15175  df-0g 15300  df-gsum 15301  df-prds 15306  df-pws 15308  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-acs 15447  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-mhm 16534  df-submnd 16535  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-mulg 16628  df-subg 16766  df-ghm 16833  df-cntz 16923  df-cmn 17373  df-abl 17374  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-subrg 17947  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-lsp 18136  df-lmhm 18186  df-sra 18336  df-rgmod 18337  df-dsmm 19232  df-frlm 19247  df-uvc 19278

This theorem is referenced by:  frlmlbs  19292