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Theorem frlmsslsp 19347
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslsp.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsslsp.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
frlmsslsp.k  |-  K  =  ( LSpan `  Y )
frlmsslsp.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsslsp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmsslsp.c  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x supp  .0.  )  C_  J }
Assertion
Ref Expression
frlmsslsp  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  =  C )
Distinct variable groups:    x, Y    x, U    x, B    x,  .0.    x, R    x, I    x, V    x, J    x, K
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem frlmsslsp
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmsslsp.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
21frlmlmod 19305 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  Y  e.  LMod )
323adant3 1027 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Y  e.  LMod )
4 eqid 2450 . . . 4  |-  ( LSubSp `  Y )  =  (
LSubSp `  Y )
5 frlmsslsp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
6 frlmsslsp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 frlmsslsp.c . . . 4  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x supp  .0.  )  C_  J }
81, 4, 5, 6, 7frlmsslss2 19326 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  ( LSubSp `  Y )
)
9 frlmsslsp.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( R unitVec  I )
109, 1, 5uvcff 19342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  U : I --> B )
11103adant3 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  U : I --> B )
1211adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  U : I --> B )
13 simp3 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  C_  I )
1413sselda 3431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  y  e.  I )
1512, 14ffvelrnd 6021 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
)  e.  B )
16 simpl2 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  I  e.  V )
17 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
181, 17, 5frlmbasf 19316 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( U `  y )  e.  B )  -> 
( U `  y
) : I --> ( Base `  R ) )
1916, 15, 18syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
) : I --> ( Base `  R ) )
20 simpll1 1046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  R  e.  Ring )
21 simpll2 1047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  I  e.  V )
2214adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  y  e.  I )
23 eldifi 3554 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( I  \  J )  ->  x  e.  I )
2423adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  x  e.  I )
25 disjdif 3838 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  i^i  ( I  \  J ) )  =  (/)
26 disjne 3809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  i^i  (
I  \  J )
)  =  (/)  /\  y  e.  J  /\  x  e.  ( I  \  J
) )  ->  y  =/=  x )
2725, 26mp3an1 1350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  J  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  -> 
y  =/=  x )
2827adantll 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  y  =/=  x )
299, 20, 21, 22, 24, 28, 6uvcvv0 19341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  ( ( U `  y ) `  x )  =  .0.  )
3019, 29suppss 6942 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( ( U `  y ) supp  .0.  )  C_  J )
31 oveq1 6295 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( U `  y )  ->  (
x supp  .0.  )  =  ( ( U `  y ) supp  .0.  )
)
3231sseq1d 3458 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( U `  y )  ->  (
( x supp  .0.  )  C_  J  <->  ( ( U `
 y ) supp  .0.  )  C_  J ) )
3332, 7elrab2 3197 . . . . . 6  |-  ( ( U `  y )  e.  C  <->  ( ( U `  y )  e.  B  /\  (
( U `  y
) supp  .0.  )  C_  J ) )
3415, 30, 33sylanbrc 669 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
)  e.  C )
3534ralrimiva 2801 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C
)
36 ffn 5726 . . . . . . 7  |-  ( U : I --> B  ->  U  Fn  I )
3711, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  U  Fn  I )
38 fnfun 5671 . . . . . 6  |-  ( U  Fn  I  ->  Fun  U )
3937, 38syl 17 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Fun  U )
40 fndm 5673 . . . . . . 7  |-  ( U  Fn  I  ->  dom  U  =  I )
4137, 40syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  dom  U  =  I )
4213, 41sseqtr4d 3468 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  C_ 
dom  U )
43 funimass4 5914 . . . . 5  |-  ( ( Fun  U  /\  J  C_ 
dom  U )  -> 
( ( U " J )  C_  C  <->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C ) )
4439, 42, 43syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
( U " J
)  C_  C  <->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C
) )
4535, 44mpbird 236 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  C )
46 frlmsslsp.k . . . 4  |-  K  =  ( LSpan `  Y )
474, 46lspssp 18204 . . 3  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  C  e.  ( LSubSp `  Y )  /\  ( U " J
)  C_  C )  ->  ( K `  ( U " J ) ) 
C_  C )
483, 8, 45, 47syl3anc 1267 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  C_  C )
49 simpl1 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  R  e.  Ring )
50 simpl2 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  I  e.  V )
51 ssrab2 3513 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  (
x supp  .0.  )  C_  J }  C_  B
527, 51eqsstri 3461 . . . . . . . 8  |-  C  C_  B
5352a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  C_  B )
5453sselda 3431 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  B )
55 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
569, 1, 5, 55uvcresum 19344 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y  =  ( Y  gsumg  ( y  oF ( .s
`  Y ) U ) ) )
5749, 50, 54, 56syl3anc 1267 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  =  ( Y 
gsumg  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) ) )
58 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
59 lmodabl 18128 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  LMod  ->  Y  e. 
Abel )
603, 59syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Y  e.  Abel )
6160adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  Y  e.  Abel )
62 imassrn 5178 . . . . . . . . . 10  |-  ( U
" J )  C_  ran  U
63 frn 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U : I --> B  ->  ran  U  C_  B )
6411, 63syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ran  U 
C_  B )
6562, 64syl5ss 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  B )
665, 4, 46lspcl 18192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U " J )  C_  B )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
673, 65, 66syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
684lsssubg 18173 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)  ->  ( K `  ( U " J
) )  e.  (SubGrp `  Y ) )
693, 67, 68syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  (SubGrp `  Y )
)
7069adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  (SubGrp `  Y
) )
711, 17, 5frlmbasf 19316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
72713ad2antl2 1170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
73 ffn 5726 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : I --> ( Base `  R )  ->  y  Fn  I )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  y  Fn  I )
7537adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  U  Fn  I )
76 simpl2 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  I  e.  V )
77 inidm 3640 . . . . . . . . 9  |-  ( I  i^i  I )  =  I
7874, 75, 76, 76, 77offn 6539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U )  Fn  I )
7954, 78syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U )  Fn  I )
8054, 74syldan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  Fn  I )
8180adantrr 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  y  Fn  I )
8237adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  U  Fn  I )
83 simpl2 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  I  e.  V )
84 simprr 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  z  e.  I )
85 fnfvof 6542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  U  Fn  I
)  /\  ( I  e.  V  /\  z  e.  I ) )  -> 
( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) `
 z )  =  ( ( y `  z ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) ) )
8681, 82, 83, 84, 85syl22anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) `  z )  =  ( ( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) ) )
873adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  Y  e.  LMod )
8867adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
8952sseli 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  C  ->  y  e.  B )
9089, 72sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
9190adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
9213sselda 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  J )  ->  z  e.  I )
9392adantrl 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  z  e.  I )
9491, 93ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
y `  z )  e.  ( Base `  R
) )
951frlmsca 19309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
96953adant3 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
9796fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
9897adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
9994, 98eleqtrd 2530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
y `  z )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
1005, 46lspssid 18201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U " J )  C_  B )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
1013, 65, 100syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
102101adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
103 funfvima2 6139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  U  /\  J  C_ 
dom  U )  -> 
( z  e.  J  ->  ( U `  z
)  e.  ( U
" J ) ) )
10439, 42, 103syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
z  e.  J  -> 
( U `  z
)  e.  ( U
" J ) ) )
105104imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  J )  ->  ( U `  z
)  e.  ( U
" J ) )
106105adantrl 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U `  z )  e.  ( U " J
) )
107102, 106sseldd 3432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U `  z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
108 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
109 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
110108, 55, 109, 4lssvscl 18171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y
) )  /\  (
( y `  z
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  /\  ( U `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) ) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
11187, 88, 99, 107, 110syl22anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
112111anassrs 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
113112adantlrr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  z  e.  J )  ->  ( ( y `  z ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) )  e.  ( K `
 ( U " J ) ) )
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
) )
115114adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )
)
116115adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C ) )
117 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  z  e.  I )
118 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  -.  z  e.  J )
119117, 118eldifd 3414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  z  e.  ( I  \  J ) )
120 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
x supp  .0.  )  =  ( y supp  .0.  )
)
121120sseq1d 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
( x supp  .0.  )  C_  J  <->  ( y supp  .0.  )  C_  J ) )
122121, 7elrab2 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  C  <->  ( y  e.  B  /\  (
y supp  .0.  )  C_  J ) )
123122simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  C  ->  (
y supp  .0.  )  C_  J )
124123adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y supp  .0.  )  C_  J )
125 fvex 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1266, 125eqeltri 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .0.  e.  _V
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  .0.  e.  _V )
12890, 124, 50, 127suppssr 6943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
)  /\  z  e.  ( I  \  J ) )  ->  ( y `  z )  =  .0.  )
129116, 119, 128syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( y `  z )  =  .0.  )
13096fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
1316, 130syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
132131ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
133129, 132eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( y `  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
134133oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y
) ( U `  z ) ) )
1353ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  Y  e.  LMod )
13611ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  I )  ->  ( U `  z
)  e.  B )
137136adantrl 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  ( U `  z )  e.  B )
138137adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( U `  z )  e.  B
)
139 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)
1405, 108, 55, 139, 58lmod0vs 18117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U `  z )  e.  B )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y ) ( U `  z
) )  =  ( 0g `  Y ) )
141135, 138, 140syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  Y
) ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) )  =  ( 0g
`  Y ) )
142134, 141eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  =  ( 0g `  Y
) )
14367ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( K `  ( U " J
) )  e.  (
LSubSp `  Y ) )
14458, 4lss0cl 18163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)  ->  ( 0g `  Y )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
145135, 143, 144syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( 0g `  Y )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
146142, 145eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
147113, 146pm2.61dan 799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
14886, 147eqeltrd 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
149148expr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( z  e.  I  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) `
 z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) ) )
150149ralrimiv 2799 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  A. z  e.  I 
( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) `
 z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
151 ffnfv 6047 . . . . . . 7  |-  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) : I --> ( K `  ( U " J ) )  <-> 
( ( y  oF ( .s `  Y ) U )  Fn  I  /\  A. z  e.  I  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) ) )
15279, 150, 151sylanbrc 669 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) : I --> ( K `  ( U " J ) ) )
1531, 6, 5frlmbasfsupp 19314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y finSupp  .0.  )
154153fsuppimpd 7887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  ( y supp  .0.  )  e.  Fin )
15550, 54, 154syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y supp  .0.  )  e.  Fin )
156 dffn2 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U )  Fn  I  <->  ( y  oF ( .s `  Y ) U ) : I --> _V )
15778, 156sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) : I --> _V )
15874adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  y  Fn  I )
15937ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  U  Fn  I )
160 simpll2 1047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  I  e.  V )
161 eldifi 3554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( I  \ 
( y supp  .0.  )
)  ->  x  e.  I )
162161adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  x  e.  I )
163 fnfvof 6542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  U  Fn  I
)  /\  ( I  e.  V  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) `
 x )  =  ( ( y `  x ) ( .s
`  Y ) ( U `  x ) ) )
164158, 159, 160, 162, 163syl22anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
y  oF ( .s `  Y ) U ) `  x
)  =  ( ( y `  x ) ( .s `  Y
) ( U `  x ) ) )
165 ssid 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y supp 
.0.  )  C_  (
y supp  .0.  )
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( y supp  .0.  )  C_  ( y supp  .0.  )
)
167126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  .0.  e.  _V )
16872, 166, 76, 167suppssr 6943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( y `  x )  =  .0.  )
169131ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
170168, 169eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( y `  x )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
171170oveq1d 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
y `  x )
( .s `  Y
) ( U `  x ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y
) ( U `  x ) ) )
1723ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  Y  e.  LMod )
17311adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  U : I --> B )
174 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U : I --> B  /\  x  e.  I )  ->  ( U `  x
)  e.  B )
175173, 161, 174syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( U `  x )  e.  B
)
1765, 108, 55, 139, 58lmod0vs 18117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U `  x )  e.  B )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y ) ( U `  x
) )  =  ( 0g `  Y ) )
177172, 175, 176syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  Y
) ) ( .s
`  Y ) ( U `  x ) )  =  ( 0g
`  Y ) )
178164, 171, 1773eqtrd 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
y  oF ( .s `  Y ) U ) `  x
)  =  ( 0g
`  Y ) )
179157, 178suppss 6942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g `  Y
) )  C_  (
y supp  .0.  ) )
18054, 179syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g `  Y
) )  C_  (
y supp  .0.  ) )
181 ssfi 7789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y supp  .0.  )  e.  Fin  /\  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g
`  Y ) ) 
C_  ( y supp  .0.  ) )  ->  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) supp  ( 0g `  Y ) )  e.  Fin )
182155, 180, 181syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g `  Y
) )  e.  Fin )
183 simp2 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  I  e.  V )
1841, 17, 5frlmbasmap 19315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
185183, 89, 184syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
186 elmapfn 7491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  ->  y  Fn  I )
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  Fn  I )
18811adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  U : I --> B )
189188, 36syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  U  Fn  I )
190187, 189, 50, 50, 77offn 6539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U )  Fn  I )
191 fnfun 5671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U )  Fn  I  ->  Fun  ( y  oF ( .s `  Y ) U ) )
192190, 191syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  Fun  ( y  oF ( .s `  Y ) U ) )
193 ovex 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( y  oF ( .s
`  Y ) U )  e.  _V
194193a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U )  e. 
_V )
195 fvex 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  Y )  e. 
_V
196195a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( 0g `  Y
)  e.  _V )
197 funisfsupp 7885 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  ( y  oF ( .s `  Y ) U )  /\  ( y  oF ( .s `  Y ) U )  e.  _V  /\  ( 0g `  Y )  e. 
_V )  ->  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) finSupp  ( 0g `  Y )  <->  ( (
y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g
`  Y ) )  e.  Fin ) )
198192, 194, 196, 197syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) finSupp 
( 0g `  Y
)  <->  ( ( y  oF ( .s
`  Y ) U ) supp  ( 0g `  Y ) )  e. 
Fin ) )
199182, 198mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) finSupp  ( 0g `  Y ) )
20058, 61, 50, 70, 152, 199gsumsubgcl 17546 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( Y  gsumg  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
20157, 200eqeltrd 2528 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  ( K `
 ( U " J ) ) )
202201ex 436 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
y  e.  C  -> 
y  e.  ( K `
 ( U " J ) ) ) )
203202ssrdv 3437 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  C_  ( K `  ( U " J ) ) )
20448, 203eqssd 3448 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   {crab 2740   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   class class class wbr 4401   dom cdm 4833   ran crn 4834   "cima 4836   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    oFcof 6526   supp csupp 6911    ^m cmap 7469   Fincfn 7566   finSupp cfsupp 7880   Basecbs 15114  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   0gc0g 15331    gsumg cgsu 15332  SubGrpcsubg 16804   Abelcabl 17424   Ringcrg 17773   LModclmod 18084   LSubSpclss 18148   LSpanclspn 18187   freeLMod cfrlm 19302   unitVec cuvc 19333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-hom 15207  df-cco 15208  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-prds 15339  df-pws 15341  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-lmhm 18238  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-dsmm 19288  df-frlm 19303  df-uvc 19334
This theorem is referenced by:  frlmlbs  19348
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