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Theorem frlmsslsp 18612
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslsp.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsslsp.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
frlmsslsp.k  |-  K  =  ( LSpan `  Y )
frlmsslsp.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsslsp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmsslsp.c  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x supp  .0.  )  C_  J }
Assertion
Ref Expression
frlmsslsp  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  =  C )
Distinct variable groups:    x, Y    x, U    x, B    x,  .0.    x, R    x, I    x, V    x, J    x, K
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem frlmsslsp
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmsslsp.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
21frlmlmod 18563 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  Y  e.  LMod )
323adant3 1016 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Y  e.  LMod )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( LSubSp `  Y )  =  (
LSubSp `  Y )
5 frlmsslsp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
6 frlmsslsp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 frlmsslsp.c . . . 4  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x supp  .0.  )  C_  J }
81, 4, 5, 6, 7frlmsslss2 18588 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  ( LSubSp `  Y )
)
9 frlmsslsp.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( R unitVec  I )
109, 1, 5uvcff 18605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  U : I --> B )
11103adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  U : I --> B )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  U : I --> B )
13 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  C_  I )
1413sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  y  e.  I )
1512, 14ffvelrnd 6021 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
)  e.  B )
16 simpl2 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  I  e.  V )
17 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
181, 17, 5frlmbasf 18577 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( U `  y )  e.  B )  -> 
( U `  y
) : I --> ( Base `  R ) )
1916, 15, 18syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
) : I --> ( Base `  R ) )
20 simpll1 1035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  R  e.  Ring )
21 simpll2 1036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  I  e.  V )
2214adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  y  e.  I )
23 eldifi 3626 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( I  \  J )  ->  x  e.  I )
2423adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  x  e.  I )
25 disjdif 3899 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  i^i  ( I  \  J ) )  =  (/)
26 disjne 3872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  i^i  (
I  \  J )
)  =  (/)  /\  y  e.  J  /\  x  e.  ( I  \  J
) )  ->  y  =/=  x )
2725, 26mp3an1 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  J  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  -> 
y  =/=  x )
2827adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  y  =/=  x )
299, 20, 21, 22, 24, 28, 6uvcvv0 18604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  ( ( U `  y ) `  x )  =  .0.  )
3019, 29suppss 6930 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( ( U `  y ) supp  .0.  )  C_  J )
31 oveq1 6290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( U `  y )  ->  (
x supp  .0.  )  =  ( ( U `  y ) supp  .0.  )
)
3231sseq1d 3531 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( U `  y )  ->  (
( x supp  .0.  )  C_  J  <->  ( ( U `
 y ) supp  .0.  )  C_  J ) )
3332, 7elrab2 3263 . . . . . 6  |-  ( ( U `  y )  e.  C  <->  ( ( U `  y )  e.  B  /\  (
( U `  y
) supp  .0.  )  C_  J ) )
3415, 30, 33sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
)  e.  C )
3534ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C
)
36 ffn 5730 . . . . . . 7  |-  ( U : I --> B  ->  U  Fn  I )
3711, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  U  Fn  I )
38 fnfun 5677 . . . . . 6  |-  ( U  Fn  I  ->  Fun  U )
3937, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Fun  U )
40 fndm 5679 . . . . . . 7  |-  ( U  Fn  I  ->  dom  U  =  I )
4137, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  dom  U  =  I )
4213, 41sseqtr4d 3541 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  C_ 
dom  U )
43 funimass4 5917 . . . . 5  |-  ( ( Fun  U  /\  J  C_ 
dom  U )  -> 
( ( U " J )  C_  C  <->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C ) )
4439, 42, 43syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
( U " J
)  C_  C  <->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C
) )
4535, 44mpbird 232 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  C )
46 frlmsslsp.k . . . 4  |-  K  =  ( LSpan `  Y )
474, 46lspssp 17429 . . 3  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  C  e.  ( LSubSp `  Y )  /\  ( U " J
)  C_  C )  ->  ( K `  ( U " J ) ) 
C_  C )
483, 8, 45, 47syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  C_  C )
49 simpl1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  R  e.  Ring )
50 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  I  e.  V )
51 ssrab2 3585 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  (
x supp  .0.  )  C_  J }  C_  B
527, 51eqsstri 3534 . . . . . . . 8  |-  C  C_  B
5352a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  C_  B )
5453sselda 3504 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  B )
55 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
569, 1, 5, 55uvcresum 18607 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y  =  ( Y  gsumg  ( y  oF ( .s
`  Y ) U ) ) )
5749, 50, 54, 56syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  =  ( Y 
gsumg  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) ) )
58 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
59 lmodabl 17352 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  LMod  ->  Y  e. 
Abel )
603, 59syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Y  e.  Abel )
6160adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  Y  e.  Abel )
62 imassrn 5347 . . . . . . . . . 10  |-  ( U
" J )  C_  ran  U
63 frn 5736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U : I --> B  ->  ran  U  C_  B )
6411, 63syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ran  U 
C_  B )
6562, 64syl5ss 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  B )
665, 4, 46lspcl 17417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U " J )  C_  B )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
673, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
684lsssubg 17398 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)  ->  ( K `  ( U " J
) )  e.  (SubGrp `  Y ) )
693, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  (SubGrp `  Y )
)
7069adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  (SubGrp `  Y
) )
711, 17, 5frlmbasf 18577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
72713ad2antl2 1159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
73 ffn 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : I --> ( Base `  R )  ->  y  Fn  I )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  y  Fn  I )
7537adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  U  Fn  I )
76 simpl2 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  I  e.  V )
77 inidm 3707 . . . . . . . . 9  |-  ( I  i^i  I )  =  I
7874, 75, 76, 76, 77offn 6534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U )  Fn  I )
7954, 78syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U )  Fn  I )
8054, 74syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  Fn  I )
8180adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  y  Fn  I )
8237adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  U  Fn  I )
83 simpl2 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  I  e.  V )
84 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  z  e.  I )
85 fnfvof 6536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  U  Fn  I
)  /\  ( I  e.  V  /\  z  e.  I ) )  -> 
( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) `
 z )  =  ( ( y `  z ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) ) )
8681, 82, 83, 84, 85syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) `  z )  =  ( ( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) ) )
873adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  Y  e.  LMod )
8867adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
8952sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  C  ->  y  e.  B )
9089, 72sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
9190adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
9213sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  J )  ->  z  e.  I )
9392adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  z  e.  I )
9491, 93ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
y `  z )  e.  ( Base `  R
) )
951frlmsca 18567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
96953adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
9796fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
9994, 98eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
y `  z )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
1005, 46lspssid 17426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U " J )  C_  B )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
1013, 65, 100syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
103 funfvima2 6135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  U  /\  J  C_ 
dom  U )  -> 
( z  e.  J  ->  ( U `  z
)  e.  ( U
" J ) ) )
10439, 42, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
z  e.  J  -> 
( U `  z
)  e.  ( U
" J ) ) )
105104imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  J )  ->  ( U `  z
)  e.  ( U
" J ) )
106105adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U `  z )  e.  ( U " J
) )
107102, 106sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U `  z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
108 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
109 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
110108, 55, 109, 4lssvscl 17396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y
) )  /\  (
( y `  z
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  /\  ( U `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) ) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
11187, 88, 99, 107, 110syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
112111anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
113112adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  z  e.  J )  ->  ( ( y `  z ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) )  e.  ( K `
 ( U " J ) ) )
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
) )
115114adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )
)
116115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C ) )
117 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  z  e.  I )
118 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  -.  z  e.  J )
119117, 118eldifd 3487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  z  e.  ( I  \  J ) )
120 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
x supp  .0.  )  =  ( y supp  .0.  )
)
121120sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
( x supp  .0.  )  C_  J  <->  ( y supp  .0.  )  C_  J ) )
122121, 7elrab2 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  C  <->  ( y  e.  B  /\  (
y supp  .0.  )  C_  J ) )
123122simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  C  ->  (
y supp  .0.  )  C_  J )
124123adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y supp  .0.  )  C_  J )
125 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1266, 125eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .0.  e.  _V
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  .0.  e.  _V )
12890, 124, 50, 127suppssr 6931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
)  /\  z  e.  ( I  \  J ) )  ->  ( y `  z )  =  .0.  )
129116, 119, 128syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( y `  z )  =  .0.  )
13096fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
1316, 130syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
132131ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
133129, 132eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( y `  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
134133oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y
) ( U `  z ) ) )
1353ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  Y  e.  LMod )
13611ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  I )  ->  ( U `  z
)  e.  B )
137136adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  ( U `  z )  e.  B )
138137adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( U `  z )  e.  B
)
139 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)
1405, 108, 55, 139, 58lmod0vs 17340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U `  z )  e.  B )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y ) ( U `  z
) )  =  ( 0g `  Y ) )
141135, 138, 140syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  Y
) ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) )  =  ( 0g
`  Y ) )
142134, 141eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  =  ( 0g `  Y
) )
14367ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( K `  ( U " J
) )  e.  (
LSubSp `  Y ) )
14458, 4lss0cl 17388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)  ->  ( 0g `  Y )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
145135, 143, 144syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( 0g `  Y )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
146142, 145eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
147113, 146pm2.61dan 789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
14886, 147eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
149148expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( z  e.  I  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) `
 z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) ) )
150149ralrimiv 2876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  A. z  e.  I 
( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) `
 z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
151 ffnfv 6046 . . . . . . 7  |-  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) : I --> ( K `  ( U " J ) )  <-> 
( ( y  oF ( .s `  Y ) U )  Fn  I  /\  A. z  e.  I  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) ) )
15279, 150, 151sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) : I --> ( K `  ( U " J ) ) )
1531, 6, 5frlmbasfsupp 18574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y finSupp  .0.  )
154153fsuppimpd 7835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  ( y supp  .0.  )  e.  Fin )
15550, 54, 154syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y supp  .0.  )  e.  Fin )
156 dffn2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U )  Fn  I  <->  ( y  oF ( .s `  Y ) U ) : I --> _V )
15778, 156sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) : I --> _V )
15874adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  y  Fn  I )
15937ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  U  Fn  I )
160 simpll2 1036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  I  e.  V )
161 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( I  \ 
( y supp  .0.  )
)  ->  x  e.  I )
162161adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  x  e.  I )
163 fnfvof 6536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  U  Fn  I
)  /\  ( I  e.  V  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) `
 x )  =  ( ( y `  x ) ( .s
`  Y ) ( U `  x ) ) )
164158, 159, 160, 162, 163syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
y  oF ( .s `  Y ) U ) `  x
)  =  ( ( y `  x ) ( .s `  Y
) ( U `  x ) ) )
165 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y supp 
.0.  )  C_  (
y supp  .0.  )
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( y supp  .0.  )  C_  ( y supp  .0.  )
)
167126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  .0.  e.  _V )
16872, 166, 76, 167suppssr 6931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( y `  x )  =  .0.  )
169131ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
170168, 169eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( y `  x )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
171170oveq1d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
y `  x )
( .s `  Y
) ( U `  x ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y
) ( U `  x ) ) )
1723ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  Y  e.  LMod )
17311adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  U : I --> B )
174 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U : I --> B  /\  x  e.  I )  ->  ( U `  x
)  e.  B )
175173, 161, 174syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( U `  x )  e.  B
)
1765, 108, 55, 139, 58lmod0vs 17340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U `  x )  e.  B )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y ) ( U `  x
) )  =  ( 0g `  Y ) )
177172, 175, 176syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  Y
) ) ( .s
`  Y ) ( U `  x ) )  =  ( 0g
`  Y ) )
178164, 171, 1773eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
y  oF ( .s `  Y ) U ) `  x
)  =  ( 0g
`  Y ) )
179157, 178suppss 6930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g `  Y
) )  C_  (
y supp  .0.  ) )
18054, 179syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g `  Y
) )  C_  (
y supp  .0.  ) )
181 ssfi 7740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y supp  .0.  )  e.  Fin  /\  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g
`  Y ) ) 
C_  ( y supp  .0.  ) )  ->  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) supp  ( 0g `  Y ) )  e.  Fin )
182155, 180, 181syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g `  Y
) )  e.  Fin )
183 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  I  e.  V )
1841, 17, 5frlmbasmap 18576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
185183, 89, 184syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
186 elmapfn 7441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  ->  y  Fn  I )
187185, 186syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  Fn  I )
18811adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  U : I --> B )
189188, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  U  Fn  I )
190187, 189, 50, 50, 77offn 6534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U )  Fn  I )
191 fnfun 5677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U )  Fn  I  ->  Fun  ( y  oF ( .s `  Y ) U ) )
192190, 191syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  Fun  ( y  oF ( .s `  Y ) U ) )
193 ovex 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( y  oF ( .s
`  Y ) U )  e.  _V
194193a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U )  e. 
_V )
195 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  Y )  e. 
_V
196195a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( 0g `  Y
)  e.  _V )
197 funisfsupp 7833 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  ( y  oF ( .s `  Y ) U )  /\  ( y  oF ( .s `  Y ) U )  e.  _V  /\  ( 0g `  Y )  e. 
_V )  ->  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) finSupp  ( 0g `  Y )  <->  ( (
y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g
`  Y ) )  e.  Fin ) )
198192, 194, 196, 197syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) finSupp 
( 0g `  Y
)  <->  ( ( y  oF ( .s
`  Y ) U ) supp  ( 0g `  Y ) )  e. 
Fin ) )
199182, 198mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) finSupp  ( 0g `  Y ) )
20058, 61, 50, 70, 152, 199gsumsubgcl 16732 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( Y  gsumg  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
20157, 200eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  ( K `
 ( U " J ) ) )
202201ex 434 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
y  e.  C  -> 
y  e.  ( K `
 ( U " J ) ) ) )
203202ssrdv 3510 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  C_  ( K `  ( U " J ) ) )
20448, 203eqssd 3521 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5581    Fn wfn 5582   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    oFcof 6521   supp csupp 6901    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7828   Basecbs 14489  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694    gsumg cgsu 14695  SubGrpcsubg 15997   Abelcabl 16602   Ringcrg 16995   LModclmod 17307   LSubSpclss 17373   LSpanclspn 17412   freeLMod cfrlm 18560   unitVec cuvc 18596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-hash 12373  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-hom 14578  df-cco 14579  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-prds 14702  df-pws 14704  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-mhm 15783  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-mulg 15867  df-subg 16000  df-ghm 16067  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-subrg 17222  df-lmod 17309  df-lss 17374  df-lsp 17413  df-lmhm 17463  df-sra 17613  df-rgmod 17614  df-dsmm 18546  df-frlm 18561  df-uvc 18597
This theorem is referenced by:  frlmlbs  18614
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