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Theorem frlmsslsp 18223
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslsp.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmsslsp.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
frlmsslsp.k  |-  K  =  ( LSpan `  Y )
frlmsslsp.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
frlmsslsp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
frlmsslsp.c  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x supp  .0.  )  C_  J }
Assertion
Ref Expression
frlmsslsp  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  =  C )
Distinct variable groups:    x, Y    x, U    x, B    x,  .0.    x, R    x, I    x, V    x, J    x, K
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem frlmsslsp
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmsslsp.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
21frlmlmod 18174 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  Y  e.  LMod )
323adant3 1008 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Y  e.  LMod )
4 eqid 2443 . . . 4  |-  ( LSubSp `  Y )  =  (
LSubSp `  Y )
5 frlmsslsp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
6 frlmsslsp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 frlmsslsp.c . . . 4  |-  C  =  { x  e.  B  |  ( x supp  .0.  )  C_  J }
81, 4, 5, 6, 7frlmsslss2 18199 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  e.  ( LSubSp `  Y )
)
9 frlmsslsp.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( R unitVec  I )
109, 1, 5uvcff 18216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  U : I --> B )
11103adant3 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  U : I --> B )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  U : I --> B )
13 simp3 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  C_  I )
1413sselda 3356 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  y  e.  I )
1512, 14ffvelrnd 5844 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
)  e.  B )
16 simpl2 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  I  e.  V )
17 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
181, 17, 5frlmbasf 18188 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( U `  y )  e.  B )  -> 
( U `  y
) : I --> ( Base `  R ) )
1916, 15, 18syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
) : I --> ( Base `  R ) )
20 simpll1 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  R  e.  Ring )
21 simpll2 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  I  e.  V )
2214adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  y  e.  I )
23 eldifi 3478 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( I  \  J )  ->  x  e.  I )
2423adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  x  e.  I )
25 disjdif 3751 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  i^i  ( I  \  J ) )  =  (/)
26 disjne 3724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  i^i  (
I  \  J )
)  =  (/)  /\  y  e.  J  /\  x  e.  ( I  \  J
) )  ->  y  =/=  x )
2725, 26mp3an1 1301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  J  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  -> 
y  =/=  x )
2827adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  y  =/=  x )
299, 20, 21, 22, 24, 28, 6uvcvv0 18215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  ( I  \  J ) )  ->  ( ( U `  y ) `  x )  =  .0.  )
3019, 29suppss 6719 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( ( U `  y ) supp  .0.  )  C_  J )
31 oveq1 6098 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( U `  y )  ->  (
x supp  .0.  )  =  ( ( U `  y ) supp  .0.  )
)
3231sseq1d 3383 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( U `  y )  ->  (
( x supp  .0.  )  C_  J  <->  ( ( U `
 y ) supp  .0.  )  C_  J ) )
3332, 7elrab2 3119 . . . . . 6  |-  ( ( U `  y )  e.  C  <->  ( ( U `  y )  e.  B  /\  (
( U `  y
) supp  .0.  )  C_  J ) )
3415, 30, 33sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  J )  ->  ( U `  y
)  e.  C )
3534ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C
)
36 ffn 5559 . . . . . . 7  |-  ( U : I --> B  ->  U  Fn  I )
3711, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  U  Fn  I )
38 fnfun 5508 . . . . . 6  |-  ( U  Fn  I  ->  Fun  U )
3937, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Fun  U )
40 fndm 5510 . . . . . . 7  |-  ( U  Fn  I  ->  dom  U  =  I )
4137, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  dom  U  =  I )
4213, 41sseqtr4d 3393 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  J  C_ 
dom  U )
43 funimass4 5742 . . . . 5  |-  ( ( Fun  U  /\  J  C_ 
dom  U )  -> 
( ( U " J )  C_  C  <->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C ) )
4439, 42, 43syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
( U " J
)  C_  C  <->  A. y  e.  J  ( U `  y )  e.  C
) )
4535, 44mpbird 232 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  C )
46 frlmsslsp.k . . . 4  |-  K  =  ( LSpan `  Y )
474, 46lspssp 17069 . . 3  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  C  e.  ( LSubSp `  Y )  /\  ( U " J
)  C_  C )  ->  ( K `  ( U " J ) ) 
C_  C )
483, 8, 45, 47syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  C_  C )
49 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  R  e.  Ring )
50 simpl2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  I  e.  V )
51 ssrab2 3437 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  (
x supp  .0.  )  C_  J }  C_  B
527, 51eqsstri 3386 . . . . . . . 8  |-  C  C_  B
5352a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  C_  B )
5453sselda 3356 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  B )
55 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
569, 1, 5, 55uvcresum 18218 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y  =  ( Y  gsumg  ( y  oF ( .s
`  Y ) U ) ) )
5749, 50, 54, 56syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  =  ( Y 
gsumg  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) ) )
58 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
59 lmodabl 16992 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  LMod  ->  Y  e. 
Abel )
603, 59syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  Y  e.  Abel )
6160adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  Y  e.  Abel )
62 imassrn 5180 . . . . . . . . . 10  |-  ( U
" J )  C_  ran  U
63 frn 5565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U : I --> B  ->  ran  U  C_  B )
6411, 63syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ran  U 
C_  B )
6562, 64syl5ss 3367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  B )
665, 4, 46lspcl 17057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U " J )  C_  B )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
673, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
684lsssubg 17038 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)  ->  ( K `  ( U " J
) )  e.  (SubGrp `  Y ) )
693, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  (SubGrp `  Y )
)
7069adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  (SubGrp `  Y
) )
711, 17, 5frlmbasf 18188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
72713ad2antl2 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
73 ffn 5559 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : I --> ( Base `  R )  ->  y  Fn  I )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  y  Fn  I )
7537adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  U  Fn  I )
76 simpl2 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  I  e.  V )
77 inidm 3559 . . . . . . . . 9  |-  ( I  i^i  I )  =  I
7874, 75, 76, 76, 77offn 6331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U )  Fn  I )
7954, 78syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U )  Fn  I )
8054, 74syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  Fn  I )
8180adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  y  Fn  I )
8237adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  U  Fn  I )
83 simpl2 992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  I  e.  V )
84 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  z  e.  I )
85 fnfvof 6333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  U  Fn  I
)  /\  ( I  e.  V  /\  z  e.  I ) )  -> 
( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) `
 z )  =  ( ( y `  z ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) ) )
8681, 82, 83, 84, 85syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) `  z )  =  ( ( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) ) )
873adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  Y  e.  LMod )
8867adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)
8952sseli 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  C  ->  y  e.  B )
9089, 72sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
9190adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  y : I --> ( Base `  R ) )
9213sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  J )  ->  z  e.  I )
9392adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  z  e.  I )
9491, 93ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
y `  z )  e.  ( Base `  R
) )
951frlmsca 18178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
96953adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
9796fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
9994, 98eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
y `  z )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
1005, 46lspssid 17066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U " J )  C_  B )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
1013, 65, 100syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U " J )  C_  ( K `  ( U
" J ) ) )
103 funfvima2 5953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  U  /\  J  C_ 
dom  U )  -> 
( z  e.  J  ->  ( U `  z
)  e.  ( U
" J ) ) )
10439, 42, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
z  e.  J  -> 
( U `  z
)  e.  ( U
" J ) ) )
105104imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  J )  ->  ( U `  z
)  e.  ( U
" J ) )
106105adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U `  z )  e.  ( U " J
) )
107102, 106sseldd 3357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  ( U `  z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
108 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
109 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
110108, 55, 109, 4lssvscl 17036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y
) )  /\  (
( y `  z
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  /\  ( U `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) ) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
11187, 88, 99, 107, 110syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  J
) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
112111anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
113112adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  z  e.  J )  ->  ( ( y `  z ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) )  e.  ( K `
 ( U " J ) ) )
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
) )
115114adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )
)
116115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C ) )
117 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  z  e.  I )
118 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  -.  z  e.  J )
119117, 118eldifd 3339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  z  e.  ( I  \  J ) )
120 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
x supp  .0.  )  =  ( y supp  .0.  )
)
121120sseq1d 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
( x supp  .0.  )  C_  J  <->  ( y supp  .0.  )  C_  J ) )
122121, 7elrab2 3119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  C  <->  ( y  e.  B  /\  (
y supp  .0.  )  C_  J ) )
123122simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  C  ->  (
y supp  .0.  )  C_  J )
124123adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y supp  .0.  )  C_  J )
125 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1266, 125eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .0.  e.  _V
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  .0.  e.  _V )
12890, 124, 50, 127suppssr 6720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C
)  /\  z  e.  ( I  \  J ) )  ->  ( y `  z )  =  .0.  )
129116, 119, 128syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( y `  z )  =  .0.  )
13096fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
1316, 130syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
132131ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
133129, 132eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( y `  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
134133oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y
) ( U `  z ) ) )
1353ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  Y  e.  LMod )
13611ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  z  e.  I )  ->  ( U `  z
)  e.  B )
137136adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  ( U `  z )  e.  B )
138137adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( U `  z )  e.  B
)
139 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)
1405, 108, 55, 139, 58lmod0vs 16981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U `  z )  e.  B )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y ) ( U `  z
) )  =  ( 0g `  Y ) )
141135, 138, 140syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  Y
) ) ( .s
`  Y ) ( U `  z ) )  =  ( 0g
`  Y ) )
142134, 141eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  =  ( 0g `  Y
) )
14367ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( K `  ( U " J
) )  e.  (
LSubSp `  Y ) )
14458, 4lss0cl 17028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K `  ( U " J ) )  e.  ( LSubSp `  Y )
)  ->  ( 0g `  Y )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
145135, 143, 144syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( 0g `  Y )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
146142, 145eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I ) )  /\  -.  z  e.  J
)  ->  ( (
y `  z )
( .s `  Y
) ( U `  z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
147113, 146pm2.61dan 789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y `  z
) ( .s `  Y ) ( U `
 z ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
14886, 147eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  ( y  e.  C  /\  z  e.  I
) )  ->  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) )
149148expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( z  e.  I  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) `
 z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) ) )
150149ralrimiv 2798 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  A. z  e.  I 
( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) `
 z )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
151 ffnfv 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) : I --> ( K `  ( U " J ) )  <-> 
( ( y  oF ( .s `  Y ) U )  Fn  I  /\  A. z  e.  I  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) `  z )  e.  ( K `  ( U
" J ) ) ) )
15279, 150, 151sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) : I --> ( K `  ( U " J ) ) )
1531, 6, 5frlmbasfsupp 18185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y finSupp  .0.  )
154153fsuppimpd 7627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  ( y supp  .0.  )  e.  Fin )
15550, 54, 154syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y supp  .0.  )  e.  Fin )
156 dffn2 5560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U )  Fn  I  <->  ( y  oF ( .s `  Y ) U ) : I --> _V )
15778, 156sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) : I --> _V )
15874adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  y  Fn  I )
15937ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  U  Fn  I )
160 simpll2 1028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  I  e.  V )
161 eldifi 3478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( I  \ 
( y supp  .0.  )
)  ->  x  e.  I )
162161adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  x  e.  I )
163 fnfvof 6333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  Fn  I  /\  U  Fn  I
)  /\  ( I  e.  V  /\  x  e.  I ) )  -> 
( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) `
 x )  =  ( ( y `  x ) ( .s
`  Y ) ( U `  x ) ) )
164158, 159, 160, 162, 163syl22anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
y  oF ( .s `  Y ) U ) `  x
)  =  ( ( y `  x ) ( .s `  Y
) ( U `  x ) ) )
165 ssid 3375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y supp 
.0.  )  C_  (
y supp  .0.  )
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( y supp  .0.  )  C_  ( y supp  .0.  )
)
167126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  .0.  e.  _V )
16872, 166, 76, 167suppssr 6720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( y `  x )  =  .0.  )
169131ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
170168, 169eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( y `  x )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
171170oveq1d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
y `  x )
( .s `  Y
) ( U `  x ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y
) ( U `  x ) ) )
1723ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  Y  e.  LMod )
17311adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  U : I --> B )
174 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U : I --> B  /\  x  e.  I )  ->  ( U `  x
)  e.  B )
175173, 161, 174syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( U `  x )  e.  B
)
1765, 108, 55, 139, 58lmod0vs 16981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U `  x )  e.  B )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ( .s `  Y ) ( U `  x
) )  =  ( 0g `  Y ) )
177172, 175, 176syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  Y
) ) ( .s
`  Y ) ( U `  x ) )  =  ( 0g
`  Y ) )
178164, 171, 1773eqtrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( I  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
y  oF ( .s `  Y ) U ) `  x
)  =  ( 0g
`  Y ) )
179157, 178suppss 6719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  B )  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g `  Y
) )  C_  (
y supp  .0.  ) )
18054, 179syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g `  Y
) )  C_  (
y supp  .0.  ) )
181 ssfi 7533 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y supp  .0.  )  e.  Fin  /\  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g
`  Y ) ) 
C_  ( y supp  .0.  ) )  ->  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) supp  ( 0g `  Y ) )  e.  Fin )
182155, 180, 181syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g `  Y
) )  e.  Fin )
183 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  I  e.  V )
1841, 17, 5frlmbasmap 18187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
185183, 89, 184syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
186 elmapfn 7235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  ->  y  Fn  I )
187185, 186syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  Fn  I )
18811adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  U : I --> B )
189188, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  U  Fn  I )
190187, 189, 50, 50, 77offn 6331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U )  Fn  I )
191 fnfun 5508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U )  Fn  I  ->  Fun  ( y  oF ( .s `  Y ) U ) )
192190, 191syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  Fun  ( y  oF ( .s `  Y ) U ) )
193 ovex 6116 . . . . . . . . 9  |-  ( y  oF ( .s
`  Y ) U )  e.  _V
194193a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U )  e. 
_V )
195 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  Y )  e. 
_V
196195a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( 0g `  Y
)  e.  _V )
197 funisfsupp 7625 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  ( y  oF ( .s `  Y ) U )  /\  ( y  oF ( .s `  Y ) U )  e.  _V  /\  ( 0g `  Y )  e. 
_V )  ->  (
( y  oF ( .s `  Y
) U ) finSupp  ( 0g `  Y )  <->  ( (
y  oF ( .s `  Y ) U ) supp  ( 0g
`  Y ) )  e.  Fin ) )
198192, 194, 196, 197syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( ( y  oF ( .s `  Y ) U ) finSupp 
( 0g `  Y
)  <->  ( ( y  oF ( .s
`  Y ) U ) supp  ( 0g `  Y ) )  e. 
Fin ) )
199182, 198mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) finSupp  ( 0g `  Y ) )
20058, 61, 50, 70, 152, 199gsumsubgcl 16406 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  ( Y  gsumg  ( y  oF ( .s `  Y
) U ) )  e.  ( K `  ( U " J ) ) )
20157, 200eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  ( K `
 ( U " J ) ) )
202201ex 434 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  (
y  e.  C  -> 
y  e.  ( K `
 ( U " J ) ) ) )
203202ssrdv 3362 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  C  C_  ( K `  ( U " J ) ) )
20448, 203eqssd 3373 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V  /\  J  C_  I )  ->  ( K `  ( U " J ) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oFcof 6318   supp csupp 6690    ^m cmap 7214   Fincfn 7310   finSupp cfsupp 7620   Basecbs 14174  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378    gsumg cgsu 14379  SubGrpcsubg 15675   Abelcabel 16278   Ringcrg 16645   LModclmod 16948   LSubSpclss 17013   LSpanclspn 17052   freeLMod cfrlm 18171   unitVec cuvc 18207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-hom 14262  df-cco 14263  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-prds 14386  df-pws 14388  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lmhm 17103  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-dsmm 18157  df-frlm 18172  df-uvc 18208
This theorem is referenced by:  frlmlbs  18225
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