Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsplit2 Structured version   Unicode version

Theorem frlmsplit2 18672
 Description: Restriction is homomorphic on free modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsplit2.y freeLMod
frlmsplit2.z freeLMod
frlmsplit2.b
frlmsplit2.c
frlmsplit2.f
Assertion
Ref Expression
frlmsplit2 LMHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem frlmsplit2
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . . . 6
2 simp2 997 . . . . . 6
3 frlmsplit2.y . . . . . . 7 freeLMod
4 frlmsplit2.b . . . . . . 7
5 eqid 2467 . . . . . . 7 ringLMod s ringLMod s
63, 4, 5frlmlss 18651 . . . . . 6 ringLMod s
71, 2, 6syl2anc 661 . . . . 5 ringLMod s
8 eqid 2467 . . . . . 6 ringLMod s ringLMod s
98, 5lssss 17454 . . . . 5 ringLMod s ringLMod s
10 resmpt 5329 . . . . 5 ringLMod s ringLMod s
117, 9, 103syl 20 . . . 4 ringLMod s
12 frlmsplit2.f . . . 4
1311, 12syl6eqr 2526 . . 3 ringLMod s
14 rlmlmod 17722 . . . . . 6 ringLMod
15 eqid 2467 . . . . . . 7 ringLMod s ringLMod s
16 eqid 2467 . . . . . . 7 ringLMod s ringLMod s
17 eqid 2467 . . . . . . 7 ringLMod s ringLMod s
18 eqid 2467 . . . . . . 7 ringLMod s ringLMod s
1915, 16, 8, 17, 18pwssplit3 17578 . . . . . 6 ringLMod ringLMod s ringLMod s LMHom ringLMod s
2014, 19syl3an1 1261 . . . . 5 ringLMod s ringLMod s LMHom ringLMod s
21 eqid 2467 . . . . . 6 ringLMod s s ringLMod s s
225, 21reslmhm 17569 . . . . 5 ringLMod s ringLMod s LMHom ringLMod s ringLMod s ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s
2320, 7, 22syl2anc 661 . . . 4 ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s
24143ad2ant1 1017 . . . . . 6 ringLMod
25 simp3 998 . . . . . . 7
262, 25ssexd 4600 . . . . . 6
2716pwslmod 17487 . . . . . 6 ringLMod ringLMod s
2824, 26, 27syl2anc 661 . . . . 5 ringLMod s
29 frlmsplit2.z . . . . . . 7 freeLMod
30 frlmsplit2.c . . . . . . 7
31 eqid 2467 . . . . . . 7 ringLMod s ringLMod s
3229, 30, 31frlmlss 18651 . . . . . 6 ringLMod s
331, 26, 32syl2anc 661 . . . . 5 ringLMod s
3411rneqd 5236 . . . . . 6 ringLMod s
35 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13
363, 35, 4frlmbasf 18663 . . . . . . . . . . . 12
372, 36sylan 471 . . . . . . . . . . 11
38 simpl3 1001 . . . . . . . . . . 11
39 fssres 5757 . . . . . . . . . . 11
4037, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
41 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12
42 elmapg 7445 . . . . . . . . . . . 12
4341, 26, 42sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
4443adantr 465 . . . . . . . . . 10
4540, 44mpbird 232 . . . . . . . . 9
46 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
473, 46, 4frlmbasfsupp 18660 . . . . . . . . . . 11 finSupp
482, 47sylan 471 . . . . . . . . . 10 finSupp
49 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10
5148, 50fsuppres 7866 . . . . . . . . 9 finSupp
5229, 35, 46, 30frlmelbas 18657 . . . . . . . . . . 11 finSupp
531, 26, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 finSupp
5453adantr 465 . . . . . . . . 9 finSupp
5545, 51, 54mpbir2and 920 . . . . . . . 8
56 eqid 2467 . . . . . . . 8
5755, 56fmptd 6056 . . . . . . 7
58 frn 5743 . . . . . . 7
5957, 58syl 16 . . . . . 6
6034, 59eqsstrd 3543 . . . . 5 ringLMod s
61 eqid 2467 . . . . . 6 ringLMod s s ringLMod s s
6261, 31reslmhm2b 17571 . . . . 5 ringLMod s ringLMod s ringLMod s ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s s
6328, 33, 60, 62syl3anc 1228 . . . 4 ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s s
6423, 63mpbid 210 . . 3 ringLMod s ringLMod s s LMHom ringLMod s s
6513, 64eqeltrrd 2556 . 2 ringLMod s s LMHom ringLMod s s
663, 4frlmpws 18650 . . . 4 ringLMod s s
671, 2, 66syl2anc 661 . . 3 ringLMod s s
6829, 30frlmpws 18650 . . . 4 ringLMod s s
691, 26, 68syl2anc 661 . . 3 ringLMod s s
7067, 69oveq12d 6313 . 2 LMHom ringLMod s s LMHom ringLMod s s
7165, 70eleqtrrd 2558 1 LMHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118   wss 3481   class class class wbr 4453   cmpt 4511   crn 5006   cres 5007  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmap 7432   finSupp cfsupp 7841  cbs 14507   ↾s cress 14508  c0g 14712   s cpws 14719  crg 17070  clmod 17383  clss 17449   LMHom clmhm 17536  ringLModcrglmod 17686   freeLMod cfrlm 18646 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lmhm 17539  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-dsmm 18632  df-frlm 18647 This theorem is referenced by:  frlmsslss  18673
 Copyright terms: Public domain W3C validator